“比例線段與相似圖形”要點精析

一、 線段的比

如果用同一個長度單位去量得兩條線段ａ、ｂ的長度分別是ｍ、ｎ，那么ａ、ｂ兩條線段的比就是ｍ∶ｎ，寫成ａ∶ｂ＝ｍ∶ｎ或 = . 其中ａ、ｂ分別叫做這個線段比的前項和后項.這里必須注意：

（1）兩條線段的比就是兩條線段長度的比，這個比與線段所用的長度單位沒有關(guān)系.

（2） 是線段ａ與線段ｂ的比值，它是一個正值，但沒有單位，一般情況下，要寫成既約的兩個正整數(shù)的比；特殊地，如果線段ａ與線段ｂ相等，那么它們的比值為1.

（3）在研究兩條線段比的問題中，兩條線段的長度單位要一致.如果不一致，那么首先必須把它們化為同一長度單位.

例1已知線段ａ＝10ｃｍ，ｂ＝1ｍ，則ａ∶ｂ＝.

分析由于兩條線段的長度單位不一致，因此應(yīng)把它們化為同一長度單位，再求比值.因為ａ＝10ｃｍ，ｂ＝1ｍ＝100ｃｍ，所以ａ∶ｂ＝10∶100＝1∶10.或因為ａ

＝10ｃｍ＝0.1ｍ，ｂ＝1ｍ，所以ａ∶ｂ＝0.1∶1＝1∶10.

二、比例線段及其性質(zhì)

若四條線段ａ、ｂ、ｃ、ｄ滿足ａ ∶ ｂ＝c∶ d，則稱四條線段ａ、ｂ、ｃ、ｄ成比例，其中ｄ叫做ａ、ｂ、ｃ的第四比例項.若ｂ＝ｃ，則ｂ（或ｃ）叫做ａ、ｄ的比例中項.這里必須注意：

（1）比例線段與線段的比是兩個完全不同的概念.線段的比是兩條線段之間的比的關(guān)系，比例線段是四條線段之間的關(guān)系：兩條線段的比與另兩條線段的比相等.

（2）比例線段中的四條線段有一定的順序.例如，如果ａ∶ｂ＝c∶d，那么叫做線段ａ、ｂ、ｃ、ｄ成比例；如果b∶a＝d∶c，那么叫做線段ｂ、ａ、ｄ、ｃ成比例.

比例的基本性質(zhì)是：ａ∶ｂ＝c∶d <=> ａｄ＝ｂｃ（符號“ <=> ”讀作“等價于”，表示兩邊可以相互推出），在解題時常用基本性質(zhì)把比例式（或等積式）化為等積式（或比例式）.由比例的基本性質(zhì)還可以得到：

（1）合（分）比性質(zhì)：如果 = ，則 = ， = .

（2）等比性質(zhì)：如果 = =…= (b+d+…+n≠0)，那么 = .

許多問題的解決都依賴于這些性質(zhì)的掌握與應(yīng)用，在應(yīng)用時，常用到比值法、方程思想、分類思想等，要認真體會，切實掌握，靈活應(yīng)用.

例2已知ｘ∶（ｘ-ｙ）＝2∶1，則ｘ∶ｙ＝（）.

Ａ.2∶1Ｂ.3∶2Ｃ.2∶3Ｄ.1∶2

分析方法1：由ｘ ∶（ｘ-ｙ）＝2∶1，有2（ｘ-ｙ）＝ｘ，即ｘ＝2ｙ，所以ｘ∶ｙ＝2∶1，選Ａ.

方法2：由ｘ∶（ｘ-ｙ）＝2∶1，有 = ，從而有１－ ＝ ，即 ＝ ，所以 ＝ .選Ａ.

例3已知ｘ= = = ，則ｘ的值為 .

分析當ａ＋ｂ＋ｃ≠0時，由等比性質(zhì)有ｘ＝ = .當ａ＋ｂ＋ｃ＝0時，ａ＋ｂ

＝-ｃ，ｂ＋ｃ＝-ａ，ｃ＋ａ＝-ｂ，所以ｘ＝-1.因此ｘ＝ 或-1.

必須注意：應(yīng)用等比性質(zhì)的前提條件是分母之和不為0，如題目中沒有這樣的條件，則必須分類討論，謹防漏解.

三、黃金分割及其性質(zhì)

點Ｃ將線段ＡＢ分割成大小兩條線段，并且小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長的比，這種分割稱為黃金分割，點Ｃ叫做線段ＡＢ的黃金分割點，此時有ＡＣ＝ ＡＢ≈0.618ＡＢ，ＢＣ＝ ＡＢ≈0.382ＡＢ.黃金分割的應(yīng)用非常廣泛，對此應(yīng)該引起重視.

例4已知線段ＡＢ，點Ｐ是它的黃金分割點，ＡＰ ＞ＰＢ，設(shè)以ＡＰ為邊的正方形面積為ｍ，以ＰＢ、ＡＢ為邊的矩形面積為ｎ，則（）.

Ａ.ｍ＞ｎＢ.ｍ＝ｎＣ.ｍ＜ｎＤ.ｍ、ｎ的大小關(guān)系不能確定

分析因為點Ｐ是線段ＡＢ的黃金分割點，且ＡＰ＞ＰＢ，所以ＡＰ 2＝ＰＢ·ＡＢ，而ｍ＝ＡＰ 2，ｎ＝ＰＢ·ＡＢ，所以m=n，選Ｂ.

四、相似圖形的概念

具有相同形狀的圖形稱為相似圖形.有些圖形有一部分相像，但不一定相似.相似圖形的縮小與放大，各個部位是“同步進行”的，變換后的圖形與原圖形相比較，線段之間的位置關(guān)系不變，各個內(nèi)角的大小關(guān)系不變.

例5根據(jù)圖1格點中的圖形，在圖2格點中畫出它的相似圖形.

分析本題答案不唯一，圖3是參考答案之一.

五、相似多邊形的特征與識別

對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等是相似多邊形的兩個重要特征，也是識別兩個多邊形是否相似缺一不可的條件.特別要注意：只滿足對應(yīng)邊成比例（如兩個菱形），只滿足對應(yīng)角相等（如兩個矩形），它們都不一定相似.此外，要注意最簡單的相似多邊形——相似三角形的特征與性質(zhì)，它是我們今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

例6如圖4，這兩個菱形相似嗎？說說你的理由.

分析這兩個菱形不相似，因為這兩個菱形的對應(yīng)角不相等，第一個菱形的內(nèi)角分別為45°，135°，45°，135°；而第二個菱形的內(nèi)角分別為60°，120°，60°，120°，它們不對應(yīng)相等.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文