一個量算兩次——例談列方程解應用題

刁　穎

列方程解應用題中尋找等量關系的方法很多，包括：①數(shù)量關系法：根據(jù)常見的數(shù)量關系(如：路程=速度×時間，工作量=效率×時間，利息=本金×利率等)、根據(jù)關鍵性語言(如：多、少、幾倍、幾分之幾等)、根據(jù)題目中的不變量用代數(shù)式直接表示出來；②線示法：用線段將題目中的數(shù)量關系形象地表示出來，利用數(shù)形結合的思想進行數(shù)與形的轉化，從而建立方程；③列表法：用表格把題目中的數(shù)量關系表示出來，挖掘題目中的隱含條件，建立方程；④圖示法：利用整體圖形把題目中的整體與部分的關系直觀地表示出來，發(fā)現(xiàn)題目中的相等關系，建立方程等.這幾種方法都是列方程解應用題中尋找等量關系的好方法，但是找等量關系列方程的實質就是抓住一個量，挖掘已知條件從兩種角度表示同一個量，進行兩次演算，即一個量，算兩次.

1 一個量算兩次的理論依據(jù)

美籍匈牙利數(shù)學家喬治·波利亞在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》中，給出了四個具體的解題模式：雙軌跡模式、笛卡兒模式、遞歸模式和疊加模式.

其中笛卡兒模式來源于笛卡兒的“萬能方法”.笛卡兒曾經設想過所謂的“萬能方法”，即認為按照以下的模式就可以有效地解決一切問題：第一，把任何問題都轉化為數(shù)學問題；第二，把任何數(shù)學問題轉化為代數(shù)問題；第三，把任何代數(shù)問題歸結為解方程.波利亞指出，笛卡兒的設想在某些情況下并不適用，因此不能被看成是一種萬能的方法；但是盡管笛卡兒的設想最后并未成功，仍然不失為一個偉大的思想.事實上，在波利亞看來，笛卡兒所給出的是一個十分有用的思維模式，而通常所謂的“代數(shù)方法”則可看成笛卡兒模式的典型例子.

波利亞對“笛卡兒模式”做了如下的概括：(1)要在很好地理解了問題的基礎上，把問題歸結為確定若干個未知的量；(2)用最自然的方式通盤考慮一下問題，設想它已經解出來了，把已知量和未知量之間根據(jù)條件所必須成立的一切關系式都列出來；(3)列出一部分條件，使得你能用兩種不同的方式去表示同一個量，這樣可以得出一個聯(lián)系未知量的方程式.這樣做下去最后就把條件分成了若干部分，從而得出方程式與未知量個數(shù)相等的一個方程組.

笛卡兒模式就是指通過“列方程、解方程”去解決問題，正如波利亞所指出的，列方程的關鍵就在于應當清楚地認識到“一個方程就是用兩種不同的方式去表示同一個量”.^[1]另外，在有多個未知量的情況下，我們又應當認識到：一個方程只表示了一個部分條件.對笛卡兒模式可以推廣：“在條件的分款沒有被翻譯成一個方程，或甚至x₁，x₂，…，x_n不是未知的數(shù)，而是任何類型的未知的事物的情況下，我們認為符號方程r(x₁，x₂，…，x_n)=0也表示了有問題的條件所決定的，包含了指定未知量(這里把一般的未知事物統(tǒng)稱為未知量x₁，x₂，…，x_n)的一個關系.”^[2]

2 例題分析

一個量算兩次這種方法的優(yōu)點是可以簡化找等量關系，只要在題目中確定一個量，并用兩種方法表示出來，中間用等號連接即可.

例1 一隊學生去校外參加勞動，以4千米/時的速度步行前往.走了半小時，學校有緊急通知要傳給隊長，通訊員騎自行車以14千米/時的速度按原路追上去.通訊員要多少分才能追上學生隊伍?

分析 本題屬于行程問題，涉及的量有路程、時間和速度，根據(jù)一個量算兩次的方法我們可以選擇其中的某一個量進行列方程求解.其中通訊員追趕學生隊伍所行時間是學生出發(fā)半小時后到被追趕上所用的時間；通訊員所行路程就是學生隊伍總的行程；學生隊伍的速度前后保持不變，為4千米/時.

解 設通訊員要x小時才能追上學生隊伍.

在列方程解應用題的教學中，教師強調通過找等量關系來列方程，常常是通過抓住題目中的關鍵詞或者關鍵句子來尋找等量關系.通過這種方法列方程解應用題，同學們列出的方程千篇一律，同時也沒有理解方程的真正含義.在上述三個例子中，根據(jù)一個量算兩次的方法來列方程，每道題都可以列出幾個方程，而且每個方程都具有自身不同的意義.雖然方程有繁有簡，有整式方程也有分式方程，但是方程左右兩端的意義相同，是通過兩次不同演算來表示同一個量的.

在列方程解應用題中，一個量算兩次與找等量關系本質上是相同的.一個量算兩次因為是用不同的方式表示同一個量，所以它肯定是相等的；而尋找等量關系建立方程，是通過挖掘題目中條件建立相等的關系.從例題中我們可以看到每道題根據(jù)基本量(如：路程、速度、時間，工作量、工作效率、時間等)的不同可以列出三個甚至更多的方程，而在傳統(tǒng)的教學中老師往往根據(jù)自己的習慣尋找等量關系，往往僅就關鍵語句列出一個方程，既限制了學生的思考空間，又增加了學生列方程的難度.一個量算兩次——這種列方程的方法既開闊了我們的思路，又為我們列方程解應用題提供了方便.

參考文獻

[1] 鄭毓信.數(shù)學方法論[M].南寧：廣西教育出版社，2003.15.

[2] 波利亞.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)(第一卷)[M].呼和浩特：內蒙古人民出版社，1980.213.

[3] 陳林香.列方程解應用題時如何尋找等量關系[J].初中數(shù)學教與學.2006，(4)：10-11.

[4] 曹術環(huán)，韓月芹.列方程解應用題中找等量關系的四種方法[J].數(shù)理化學習(初中版).2004，(3)：11-12.

作者簡介：刁穎，1983年10月出生，天津師范大學數(shù)學科學學院碩士研究生，專業(yè)是課程與教學論，主要研究方向是數(shù)學教育.

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