有趣的計(jì)數(shù)問(wèn)題

王曉梅

關(guān)于m個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽時(shí)總的比賽場(chǎng)數(shù)n的公式是七年級(jí)數(shù)學(xué)中有名的“單循環(huán)”比賽問(wèn)題。每個(gè)球隊(duì)都和其他球隊(duì)賽一場(chǎng)，共賽(m－1)場(chǎng)，則m個(gè)球隊(duì)總共賽m(m－1)場(chǎng)，但是每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間只需賽一場(chǎng)，上面的比賽場(chǎng)次重復(fù)計(jì)算一次，故總比賽場(chǎng)次是：n=m(m－1)／2。這個(gè)結(jié)果在七年級(jí)幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題中有許多有趣的應(yīng)用。

1計(jì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)

例1三條直線相交最多有幾個(gè)交點(diǎn)?四條直線相交最多有幾個(gè)交點(diǎn)?

分析：把三條直線視為三支球隊(duì)，因?yàn)閮蓷l直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)，因此任意一點(diǎn)可看成任何兩個(gè)球隊(duì)進(jìn)行的一場(chǎng)比賽，則三條直線相交最多有3×(3－1)／2＝3個(gè)交點(diǎn)，同理四條直線相交最多有4×(4－1)／2＝6個(gè)交點(diǎn)。

推廣平面內(nèi)n條直線相交最多有n(n－1)／2個(gè)交點(diǎn)。

2計(jì)線段的條數(shù)

例2在一條直線上畫(huà)4個(gè)點(diǎn)，共有條線段。畫(huà)2007個(gè)點(diǎn)共有______條線段。

分析：把A、B、C、D這四個(gè)點(diǎn)視為4支球隊(duì)，任何兩點(diǎn)間的線段看作任意兩支球隊(duì)進(jìn)行的一場(chǎng)比賽，則圖中線段的總條數(shù)為4×(4-1)／2=6；畫(huà)2007個(gè)點(diǎn)時(shí)有2007×(2007-1)／2=4026042條線段。

推廣一條直線上的n個(gè)點(diǎn)共可組成n(n-1)／2條線段。

3計(jì)直線的條數(shù)

例3有四個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不在同一條直線上，過(guò)其中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)畫(huà)直線，可以畫(huà)幾條?

分析：把四個(gè)點(diǎn)視為4支球隊(duì)，因?yàn)檫^(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，因此，過(guò)任意兩點(diǎn)的直線可看成任意兩支球隊(duì)進(jìn)行的一場(chǎng)比賽，則過(guò)四個(gè)點(diǎn)可畫(huà)4×(4－1)／2＝6條直線。

推廣平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，每三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，過(guò)其中兩點(diǎn)畫(huà)直線，共可畫(huà)出n(n－1)／2條。

4計(jì)角的個(gè)數(shù)

例4如圖1共有______個(gè)角，如圖2共有______個(gè)角(指0°～180°之間的角)。

分析：因?yàn)槊績(jī)蓷l射線組成唯一的一個(gè)角，所以任何兩條射線組成的角，可以看成任意兩支球隊(duì)進(jìn)行的一場(chǎng)比賽。

因此圖1中射線組成的角的個(gè)數(shù)為4×(4-1)／2=6。

圖2中射線組成的角的個(gè)數(shù)為50×(50-1)／2=1255。

推廣如圖3。過(guò)0點(diǎn)的n條射線可組成n(n-1)／2個(gè)角。

5計(jì)三角形的個(gè)數(shù)

例5圖4中有幾個(gè)三角形?

分析：把點(diǎn)B、D、E、C視為四支球隊(duì)，任意兩點(diǎn)和A點(diǎn)可組成唯一的一個(gè)三角形，因此任意兩點(diǎn)和A點(diǎn)組成的三角形可以看成任意兩支球隊(duì)進(jìn)行的一場(chǎng)比賽，所以圖4中有

4×(4－1)／2＝6個(gè)三角形。

推廣如圖5，直線上A1、A2，…。An共n個(gè)點(diǎn)和直線外一點(diǎn)0，可組成n(n-1)／2個(gè)三角形。