托勒密定理在代數(shù)中的應用

“圓內(nèi)接四邊形中兩組對邊的積的和等于兩對角線的積”，這是著名的托勒密定理. 眾所周知，它在幾何領域特別是圓這一內(nèi)容中有著極為重要的作用. 然而，很多人不清楚它其實在代數(shù)研究中也有著舉足輕重的作用，甚至在某些代數(shù)問題的解決中，特別在數(shù)學競賽輔導中扮演了一個非常活躍的角色.

1 定理內(nèi)容

圖１已知：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,則有：AC·BD=AB·CD+AD·BC.

證明：作∠2=∠1，顯然可得：△APB∽△ACD，△ADP∽△ABC，所以AB·CD=AC·BP,BC·AD=AC·PD,所以AB·CD+BC·AD=AC·（PB+PD）=AC·BD.

定理揭示了幾何元素間的有關關系,但我們完全不必要拘泥于幾何中,只要把相關的幾何量用習慣的數(shù)量關系來表示,即設AB=a,CD=b,BC=c,AD=d,AC=e,則定理即可寫成:ab+cd=ef(*).這樣原本幾何量間的關系式轉(zhuǎn)變成了數(shù)量間的結(jié)構(gòu)式(*)了,也就是說,凡滿足了(*)式的形式即可去嘗試構(gòu)造圖1的幾何圖形,很多問題也都能迎刃而解了.

2 證明等式問題

托勒密定理作為揭示圓內(nèi)接四邊形中邊與對角線的特定關系定理，在幾何中起著獨特的作用. 然而,我們將其“移植”到代數(shù)中，更是起到了如此“妙不可言”的作用，正所謂：數(shù)形結(jié)合、以形促數(shù)、其妙無比啊!

作者簡介 源穗寧，男，1962年出生畢業(yè)于浙江寧波師范學院數(shù)學系，本科學歷，中學數(shù)學高級教師現(xiàn)任教于寧波惠貞書院《提高學生想象力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維》2001年4月發(fā)表于《上海中學數(shù)學》，《一道習題教學的一些探索》2001年4月發(fā)表于《中學數(shù)學雜志》，《初中數(shù)學學困生觀察特征分析》2003年4月發(fā)表于《中學數(shù)學研究》《冷眼旁觀新課改》2007年6月發(fā)表于《中學數(shù)學研究》

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>