淺議高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的四種“概念”

概念是反映客觀事物特有屬性的思維形式,是思維的最基本的單位.而數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)學(xué)科系統(tǒng)的精髓和靈魂,也是對數(shù)學(xué)研究對象的高度抽象和概括,它反映了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性.筆者通過研究發(fā)現(xiàn),學(xué)生在形成正確概念的過程中,可能會形成三種中間概念,即前概念、替代概念及錯(cuò)誤概念,下文將就此進(jìn)行相關(guān)闡述.

1 四種概念含義的界定及其相互關(guān)系

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,前概念、替代概念、錯(cuò)誤概念以及正確概念（或稱為標(biāo)準(zhǔn)概念）這四種概念的含義均不相同,具有自身“鮮明”的特征.它們含義的界定如下所述.

教育科學(xué)研究表明,學(xué)生在學(xué)習(xí)某一數(shù)學(xué)知識之前,頭腦里并非一片空白,尤其是高中學(xué)生,他們通過初中數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí),對部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的理解和解釋,往往有一套自己的觀點(diǎn)和想法.這些觀點(diǎn)和想法許多時(shí)候與正確的概念、科學(xué)的思維并無沖突,但有時(shí)候與科學(xué)的概念或思維方式相去甚遠(yuǎn),甚至大相徑庭,因而稱之為“前概念”.

如果學(xué)生在新的學(xué)習(xí)活動中未能很好地利用自身已有的知識和經(jīng)驗(yàn),特別是,如果教師也未能幫助學(xué)生較好地去實(shí)現(xiàn)對概念的形式定義與其原先具有的直觀形象和經(jīng)驗(yàn)的必要整合,那么形式定義的學(xué)習(xí)在最初往往就只是學(xué)生原有的心理表征中加入了一個(gè)新的成分,從而形成標(biāo)準(zhǔn)概念的替代物——替代概念.

若學(xué)習(xí)者對所學(xué)習(xí)的概念的本質(zhì)和含義沒有充分理解或理解出現(xiàn)差錯(cuò),從而導(dǎo)致對概念的表征發(fā)生了偏離,影響了學(xué)習(xí)的效果,這樣產(chǎn)生的概念往往是錯(cuò)誤概念;而學(xué)習(xí)者通過對已有的知識系統(tǒng)與新信息之間的成功整合,掌握了概念的本質(zhì)與含義,從而使新概念納入了原有的知識系統(tǒng)中去,使兩者渾然一體,從而就形成了正確概念.

這四個(gè)概念的相互關(guān)系如圖1所示:

2 概念的產(chǎn)生、發(fā)展及其相互關(guān)系釋注

由于錯(cuò)誤概念與正確概念的意義眾所周知,其產(chǎn)生、發(fā)展過程與主體已有的知識系統(tǒng)以及對新信息的處理能力等方面皆有關(guān)聯(lián),并且所涉及的心理學(xué)知識和數(shù)學(xué)知識往往較為復(fù)雜,已遠(yuǎn)超出筆者的認(rèn)知范圍,故筆者下文主要對另外兩種概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程進(jìn)行闡述,并對四者的相互關(guān)系作初步的描述.

2.1 “前概念”的產(chǎn)生及發(fā)展

由圖可知,前概念可以向替代概念、錯(cuò)誤概念及正確概念轉(zhuǎn)化.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,這種前概念作為一種“資源”,既可以成為錯(cuò)誤概念產(chǎn)生的“溫床”,也可以成為正確的數(shù)學(xué)概念形成的“胚胎”.而從一定意義上說,數(shù)學(xué)教育的過程旨在最大限度地、卓有成效地將學(xué)生頭腦中的前概念轉(zhuǎn)變?yōu)榭茖W(xué)概念.這種概念轉(zhuǎn)變是新舊經(jīng)驗(yàn)或數(shù)學(xué)知識相互作用的集中體現(xiàn),是新經(jīng)驗(yàn)或新數(shù)學(xué)知識對已有經(jīng)驗(yàn)或數(shù)學(xué)知識的改造,它是通過學(xué)習(xí)者的交流、觀察、操作、思考及應(yīng)用,進(jìn)而引發(fā)解決認(rèn)知沖突的過程.進(jìn)一步地講,它是主體進(jìn)行積極主動地認(rèn)知建構(gòu)的過程.

初中學(xué)生在進(jìn)入高中學(xué)習(xí)之前,已經(jīng)學(xué)習(xí)過了函數(shù)概念.但初中時(shí)的函數(shù)概念是建立在連續(xù)變量的基礎(chǔ)上的,還停留在十八世紀(jì)人們的認(rèn)識程度上.函數(shù)這一概念體現(xiàn)了數(shù)學(xué)高度抽象化、邏輯化、形式化的特點(diǎn),學(xué)生由初中的函數(shù)概念要轉(zhuǎn)換成高中由映射角度出發(fā)的函數(shù)概念有著相當(dāng)?shù)睦щy.其實(shí),在數(shù)學(xué)史上有許多“火熱的思考”,正是經(jīng)過這些思考,將數(shù)學(xué)打造成一門邏輯性極強(qiáng),高度抽象的學(xué)科.正是這些思考將數(shù)學(xué)的本質(zhì)完完整整地呈現(xiàn)出來.教師如果將這些與函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容介紹給學(xué)生,將在學(xué)生所對應(yīng)的前概念的轉(zhuǎn)化、學(xué)生思維的建構(gòu)方面起到意想不到的作用.

這時(shí)就可以向?qū)W生介紹十八世紀(jì)時(shí)數(shù)學(xué)家們對函數(shù)概念的大討論,以加深學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識.

現(xiàn)在公認(rèn)的函數(shù)概念定義是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨給出的,這可能與他第一個(gè)引入“函數(shù)”一詞有關(guān).萊布尼茨把函數(shù)看作是隨著曲線上點(diǎn)的變動而變動的幾何量.由此可見,函數(shù)概念引入初期,人們對它的認(rèn)識還是相當(dāng)膚淺的.為了適應(yīng)和推動數(shù)學(xué)的發(fā)展,人們對它進(jìn)行了一次又一次的擴(kuò)展,使函數(shù)概念逐漸地完整起來.特別地,可以向?qū)W生介紹下面兩個(gè)函數(shù)：

（1）可以畫出函數(shù)圖象,（2）根本就畫不出圖象,是不是函數(shù)呢？就從當(dāng)時(shí)學(xué)生的認(rèn)識水平來看,可能就得出不是函數(shù)的結(jié)論.但這兩個(gè)函數(shù)在數(shù)學(xué)史上是兩個(gè)“有名”的函數(shù),參與了“真函數(shù)”與“假函數(shù)”的討論：當(dāng)時(shí)人們將只有一個(gè)解析式的稱為“真函數(shù)”,反之則稱為“假函數(shù)”,其實(shí)已經(jīng)看到“假函數(shù)”也是函數(shù)的一種,只是從當(dāng)時(shí)的函數(shù)定義來看,還不是“函數(shù)”.很快地隨著函數(shù)定義的擴(kuò)充,這一類“假函數(shù)”也成為函數(shù)中的一員,沒有人再對它們的身份產(chǎn)生懷疑了.（2）將“對應(yīng)”引入了函數(shù)的定義中,它根本就畫不出函數(shù)圖象,只能從對應(yīng)的角度考慮,并由此形成了現(xiàn)在高中的函數(shù)的概念.這樣引入既可使初高中函數(shù)知識渾然一體,又可促使學(xué)生所對應(yīng)的前概念向高中函數(shù)概念轉(zhuǎn)化.

2.2 “替代概念”的產(chǎn)生及發(fā)展

正如圖1所述,高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中往往會產(chǎn)生相對應(yīng)的“替代概念”,從而產(chǎn)生規(guī)律性錯(cuò)誤,導(dǎo)致學(xué)習(xí)障礙,影響了數(shù)學(xué)知識的掌握及數(shù)學(xué)能力的提高.“替代概念”也可能由“前概念”轉(zhuǎn)化而成.在概念教學(xué)中,應(yīng)重視各種“替代觀念”的產(chǎn)生過程與原因,并且制定正確的轉(zhuǎn)化策略,從而順利地建構(gòu)正確的概念.

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念或教師在概念教學(xué)時(shí),常利用學(xué)生自身已有的生活知識與經(jīng)驗(yàn),即利用已有的素樸觀念去說明或描述正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念.于是在此基礎(chǔ)上就產(chǎn)生了用“生活語言”去描述的“替代概念”,這給科學(xué)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)帶來不可忽視的、也可能是消極的影響.

例如,為了幫助學(xué)生較好地掌握極限的概念,我們無疑應(yīng)充分利用學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn),特別是,在對極限的概念進(jìn)行描述時(shí),我們不可避免地會用到“趨近”、“接近于”等日常用語——事實(shí)上,甚至連“極限”這一術(shù)語本身也是從自然語言中直接借用的——而這對于調(diào)動學(xué)生從日常生活中積累起來的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)顯然是十分有益的.但正如心理學(xué)家維納所指出的,日常意義在數(shù)學(xué)中的這種“滲透”也可能造成一些消極的后果,比如就其日常意義而言,“極限”這一概念往往包含“不可超越”的涵義（就如“速度的極限”等）.類似地,當(dāng)我們用“趨近”、“接近于”等概念來對數(shù)列的極限進(jìn)行說明時(shí),也很容易造成這樣的印象:作為一個(gè)過程,數(shù)列的項(xiàng)永遠(yuǎn)不可能與其極限相等.這就產(chǎn)生了如下極限概念的“替代概念”:極限值是一個(gè)無限接近的常數(shù),且數(shù)列的所有各項(xiàng)均不可達(dá)到這個(gè)常數(shù).

另外,由于學(xué)生關(guān)于數(shù)列的經(jīng)驗(yàn)主要局限于這樣的實(shí)例,即其各個(gè)項(xiàng)是由一個(gè)通項(xiàng)公式統(tǒng)一給出的,特別是,這又往往是所謂的單調(diào)數(shù)列,從而,在新的學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)以下的情況就不足為奇了,即學(xué)生認(rèn)為以下的數(shù)列并非是一個(gè)而是兩個(gè)數(shù)列: …;而諸多單調(diào)數(shù)列的實(shí)例無疑又進(jìn)一步加強(qiáng)了關(guān)于“數(shù)列的項(xiàng)永遠(yuǎn)不可能與其極限相等”這一不正確的概念.

在極限概念的教學(xué)中可適量增加形象的比喻以及實(shí)例的教學(xué),減少對概念形式的“糾纏”,即注重實(shí)質(zhì),適度形式化.從而使學(xué)生在認(rèn)知沖突中完成頭腦中所對應(yīng)的“替代概念”向正確的概念或思想方法轉(zhuǎn)化.

2.3 四種概念的相互關(guān)系釋注

由圖1可知,作為概念學(xué)習(xí)的基本過程,前概念往往處于學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中的初始位置,其發(fā)展方向不定,其他三種概念都可成為它的“生長點(diǎn)”.而替代概念與錯(cuò)誤概念皆可成為概念建構(gòu)過程中的“中間概念”,并且相互之間可以轉(zhuǎn)換.如果能夠?qū)η案拍罴疤娲拍钸M(jìn)行恰如其分地引導(dǎo)與修正,并且徹底根除相應(yīng)的錯(cuò)誤概念,然后把它們轉(zhuǎn)化為正確概念,那么概念學(xué)習(xí)就能獲得圓滿成功.

例如,在高中數(shù)學(xué)新教材必修3《概率》的新課教學(xué)時(shí),由于學(xué)生在初中已經(jīng)初步地接觸了統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)概念,那么就會產(chǎn)生概率的前概念,即概率值是所有頻率的平均值;但這種前概念是一種錯(cuò)誤概念,而有的學(xué)生在學(xué)習(xí)概率概念之后,也會產(chǎn)生如下的替代概念:概率值是實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)的所有頻率的平均值;概率值是實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)頻率的近似值;概率值是當(dāng)次數(shù)n→+∞時(shí),頻率 趨近的常數(shù).這些前概念與替代概念經(jīng)過教師的及時(shí)點(diǎn)拔之后,會轉(zhuǎn)化成正確的概率概念.

事實(shí)證明,有的學(xué)生對概念理解膚淺,對數(shù)學(xué)概念的形成、概念的內(nèi)涵和外延不甚了解或一知半解,造成對概念的“假性理解”,產(chǎn)生概念的理解“偏差”.可能就會出現(xiàn)與以上所述類似的前概念、替代概念以及錯(cuò)誤概念.在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中,筆者認(rèn)為應(yīng)充分利用書上的例題,讓學(xué)生與教師組成學(xué)習(xí)共同體,經(jīng)過激烈地討論與協(xié)作,針對以上的非正確概念,抓住其“病杜”所在,分析其產(chǎn)生根源,使學(xué)生達(dá)成對概念的共識.

參考文獻(xiàn)

[1] 鄭毓信、梁貫成編著. 認(rèn)知科學(xué)、建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[M]. 上海:上海教育出版社,2002

作者簡介 黃加衛(wèi),男,浙江省湖州市人,71年出生,中教一級,碩士學(xué)位,在《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》等省級以上雜志上發(fā)表論文近60篇.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>