有趣的“點(diǎn)猜想”證明

王美艷

“點(diǎn)猜想”是對(duì)數(shù)學(xué)家的一個(gè)有趣的挑戰(zhàn)，這個(gè)挑戰(zhàn)涉及一系列的點(diǎn)，它們彼此之間都有直線相連接.數(shù)學(xué)家們與之對(duì)峙了幾十年，很不幸，他們失敗了.此時(shí)，他們也許認(rèn)為這是一個(gè)非常難以攻克的大難題.可是，上天好好地捉弄了他們一次，一個(gè)聰明者找到了一個(gè)非常巧妙非常簡(jiǎn)單的方法，這讓數(shù)學(xué)家們對(duì)自己的行為啼笑皆非，因?yàn)榻庾C只涉及了極少的數(shù)學(xué)，只不過(guò)多用了幾分計(jì)謀，是每一個(gè)學(xué)過(guò)平面幾何的人都能輕易看懂的.

先來(lái)具體給出“點(diǎn)猜想”：在平面上給出有限個(gè)點(diǎn)（不能共線），且任意兩點(diǎn)之間都有直線相連，則至少有一條直線，上面僅有兩個(gè)點(diǎn).例如

圖1中有5個(gè)點(diǎn)，6條線，其中4條線上只有兩個(gè)點(diǎn)，圖2中有6個(gè)點(diǎn)，7條線，其中有3條線上只有兩個(gè)點(diǎn).

下面與大家一起分享這個(gè)猜想的有趣證明.

首先，對(duì)每個(gè)點(diǎn)做出它到最近的直線之間的距離，通過(guò)它的直線不算在內(nèi)，確定所有距離中最短的那個(gè)，不妨設(shè)此最短距離由點(diǎn)D和直線L確定，則L上至少有兩個(gè)點(diǎn)A,B，下面就可以很容易證明L上僅有兩個(gè)點(diǎn).

反正法.假設(shè)L上還有第三個(gè)點(diǎn)C，則在點(diǎn)C與點(diǎn)D之間有直線CD，分兩種情況討論.

（1） 點(diǎn)C在線段AB之外.

此時(shí)可得B點(diǎn)到直線CD的距離BF，我們說(shuō)一定有BF

那么，為什么一定有BF

（2） 點(diǎn)C在線段AB之內(nèi).

這里是不是也不用再羅嗦了？稍微動(dòng)一下聰明的腦筋，結(jié)論就出來(lái)了.

數(shù)學(xué)中還有很多很多有趣的問(wèn)題等待我們?nèi)ヌ接懭パ芯?比方說(shuō)，26是宇宙中唯一一個(gè)存在于平方數(shù)和立方數(shù)之間的數(shù)字（當(dāng)然是在整數(shù)范圍內(nèi)考慮）：25，26，27.是不是感覺(jué)有點(diǎn)不可思議？這是大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬早在17世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)結(jié)論，并給予證明.這些似乎都是在我們身邊的東西，并且天天與之接觸，怎么就沒(méi)有發(fā)現(xiàn)呢？

數(shù)學(xué)是個(gè)無(wú)窮的樂(lè)園，希望大家都能積極到里面去開(kāi)發(fā)自己的智慧，享受其中的美妙樂(lè)趣！

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>