新題薈萃

田彥武　宋　云　周少兵

題1 閱讀材料題

閱讀下列文字，完成下列各題：

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過(guò)x的最大整數(shù).在實(shí)數(shù)軸（箭頭向右）上[x]是在點(diǎn)x的左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，當(dāng)x是整數(shù)時(shí)，[x]就是x.這個(gè)函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”，也叫高斯（Gauss）函數(shù)，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用.例如在學(xué)習(xí)和使用計(jì)算機(jī)時(shí)，在算法語(yǔ)言中，就有這種取整函數(shù)；再如電話中的電信資費(fèi)和坐出租車(chē)時(shí)的路費(fèi)（超過(guò)起步價(jià)）等常常要用到這個(gè)函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 本題屬于閱讀理解性的信息遷移型試題，主要考查即時(shí)性定義問(wèn)題，考查方程、不等式的解法.信息遷移題是指以考生已有的知識(shí)為基礎(chǔ)，并給出一定容量的新的定義信息，通過(guò)閱讀獲取有關(guān)信息，捕捉解題資料，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)律，找出解決方案，并應(yīng)用于新問(wèn)題解答的一類(lèi)題目.本題以著名的高斯函數(shù)作為背景和資料，考查學(xué)生對(duì)新情景的適應(yīng)和對(duì)新情景中數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的理解，考查學(xué)生的學(xué)習(xí)閱讀理解能力、邏輯思維能力、應(yīng)用能力、創(chuàng)新能力和整合數(shù)據(jù)的能力，這種題型必將成為未來(lái)高考的熱門(mén)題型.尤其是一道題中涵蓋了選擇、填空和解答三種常見(jiàn)的題型，打破常規(guī)，頗有風(fēng)味.

題2 探究創(chuàng)新題

點(diǎn)評(píng) “以能力立意”是新高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想．高考在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，不刻意追求知識(shí)的覆蓋面．從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的“交匯點(diǎn)”處設(shè)計(jì)試題，是近年來(lái)高考數(shù)學(xué)命題的一大亮點(diǎn)．新課標(biāo)也“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式和注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”的基本理念.為此，新課標(biāo)教材中很多地方設(shè)置了“閱讀與思考”“信息技術(shù)應(yīng)用”“探究與發(fā)現(xiàn)”等欄目．教材設(shè)置這些欄目的主要目的不僅是為學(xué)生提供豐富的具有思想性、實(shí)踐性、挑戰(zhàn)性的，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的選學(xué)材料，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)空間，發(fā)展學(xué)生“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，而更重要的是通過(guò)這些欄目展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值．正如配套教師用書(shū)中的《說(shuō)明》所言：“在知識(shí)形成過(guò)程的‘關(guān)鍵點(diǎn)上，在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問(wèn)題策略的‘關(guān)節(jié)點(diǎn)上，在數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的‘聯(lián)結(jié)點(diǎn)上，在數(shù)學(xué)問(wèn)題變式的‘發(fā)散點(diǎn)上，在學(xué)生思維的‘最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，教材通過(guò)‘思考‘探究等欄目，提出恰當(dāng)?shù)?、?duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生的思考和探索活動(dòng)，使他們經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等理性思維的基本過(guò)程，切實(shí)改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式．”課標(biāo)同時(shí)指出：“數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過(guò)程，初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系，初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神；有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決問(wèn)題的能力；有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力．”本題正是基于這些基本理念的基礎(chǔ)上，通過(guò)人教A版（2005年6月第1版）教材選修2-1第45頁(yè)例6，第47頁(yè)B組題第2題，第48頁(yè)的“信息技術(shù)應(yīng)用”，第57頁(yè)例5和第59頁(yè)B組題第3題等改編而來(lái)，難度并不大，但可以作為今后高考命題的一種新嘗試.

（以上兩題均由寧夏銀川九中 750001 田彥武老師提供并作解答和點(diǎn)評(píng)）

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、奇偶性及三角函數(shù)的圖象變換等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)涉及到了待定系數(shù)法、分類(lèi)討論及化歸等數(shù)學(xué)思想方法.

（本題由寧夏銀川九中 750001 周少兵老師提供并作解答和點(diǎn)評(píng)）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>