利用函數(shù)教學，培養(yǎng)學生數(shù)學地學習數(shù)學意識的幾點思考

陳久貴　邵賢虎

江蘇省江浦高級中學 (211800)

按照新課程計劃，學生從初中跨入高中學習，首先用一個學段(半個學期)的時間學習必修1，而必修1的主要內(nèi)容是函數(shù).一方面，在學生初中已學過函數(shù)知識的基礎上，如何通過教學深化對函數(shù)的理解；另一方面，這個學段是面臨初高中學習方法銜接的首個學段，如何以函數(shù)教學為載體，加強對學生學習方法的指導，培養(yǎng)學生數(shù)學地學習數(shù)學的意識，獲取數(shù)學地學習數(shù)學的本領，為后續(xù)模塊的學習打下良好的基礎顯得尤為重要.這兩個方面的問題是我們廣大一線教師不得不認真思考的問題.結(jié)合自己的教學實踐，筆者就后一個問題談幾點思考，以期賜教.

一、用好符號語言

數(shù)學的發(fā)展已經(jīng)充分證明正確合理地使用形象、簡潔的數(shù)學符號語言能夠凸現(xiàn)數(shù)學問題的本質(zhì)，能使復雜的問題變得簡單、明了.由此可知學生要學好數(shù)學，首先應學會用好數(shù)學符號語言.所以通過函數(shù)的教學，在初中用字母表示數(shù)的基礎上，應進一步引領學生認識數(shù)學符號語言出現(xiàn)的必然性以及給數(shù)學的發(fā)展所帶來的概括性、簡潔性，這既是培養(yǎng)學生思維由具體到抽象的需要，也是培養(yǎng)學生數(shù)學表達與交流能力的需要.例如函數(shù)概念由初中的變量說發(fā)展到高中的對應說，就應指導學生用數(shù)學符號語言y=f(x)表示函數(shù)，用f(a)表示當x=a時函數(shù)y的值，以此讓學生感悟數(shù)學符號語言的概括性與簡潔性.在此基礎上再通過函數(shù)性質(zhì)的教學，指導學生合理地把初中用文字語言描述的性質(zhì)用數(shù)學符號語言來精確地表述.如函數(shù)的單調(diào)性在初中只是用文字語言表述成函數(shù)圖像的上升(下降)，而到了高中應使學生明白用數(shù)學符號語言“x1f(x2))”簡潔地表示.總而言之，教學中應通過函數(shù)中大量出現(xiàn)的用數(shù)學符號語言表示的諸如分段函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)等知識，培養(yǎng)學生用好數(shù)學符號語言的意識.

二、揭示概念本質(zhì)

數(shù)學中的概念、定理與公式是數(shù)學知識體系中最基本、也是最重要的組成部分.概念有內(nèi)涵和外延，概念的內(nèi)涵就是這個概念所反映事物的本質(zhì)屬性的總和，而概念的外延就是這個概念所涉及的范圍.在數(shù)學概念中，有的抽象，有的單調(diào)枯燥且文字冗長.基于學生在初中對概念的學習采用接受、記憶的成份要大于理解、領悟的成份這一背景，到了高中如何幫助學生加強對概念的學習，如何幫助學生理解概念、領悟概念，關鍵在于指導學生突出概念的本質(zhì)特性，抓住概念中最能體現(xiàn)本質(zhì)特征的關鍵詞語，努力培養(yǎng)學生揭示概念本質(zhì)的意識，以此幫助學生強化基礎.例如在函數(shù)概念教學中，首先指導學生從一些不同情境的實際問題中概括出這些實際問題的共同特性然后逐步歸納出函數(shù)概念.在此基礎上指導學生從多個角度理解函數(shù)概念：函數(shù)是一種重要的數(shù)學模型，用來描述客觀世界兩變量相互聯(lián)系、相互依存的變化規(guī)律；函數(shù)的表示不僅可用解析式表示，而且還可以用表格、圖像直觀地表示.由此揭示函數(shù)概念的本質(zhì)；函數(shù)是兩個變量之間的一種特殊的對應關系，即每一個自變量x的值，都對應唯一的因變量y的值.從這里不難看出，培養(yǎng)學生揭示概念本質(zhì)的意識，一是讓學生經(jīng)歷概念的發(fā)生與形成過程(從實際問題中概括出本質(zhì)特性，歸納出概念)；二是指導學生仔細閱讀概念，從多個角度理解概念，提煉出概念中的關鍵詞語(如函數(shù)概念中“每一個”、“唯一”等關鍵詞語)，幫助學生透徹領悟概念.

三、善于列舉反例

數(shù)學的發(fā)展離不開反例的作用，同樣學生學習數(shù)學也不容忽視反例的功能.在高中數(shù)學學習中，通過反例來澄清一些認識上的誤區(qū)，加深對概念、性質(zhì)與定理的理解有著十分重要的作用.由于學生在初中階段接觸反例較少，因此在高中數(shù)學學習中應不失時機地培養(yǎng)學生舉反例的意識，而函數(shù)的教學就有此獨特的功能.例如，在研究函數(shù)的單調(diào)性時，有些函數(shù)的單調(diào)增(減)區(qū)間不止一個，為什么不能用并集符號把它們“并”起來，而要將它們分開表達，學生認識不清.此時可通過反例來幫助學生進行理解.如f(x)=1x在(-∞，0)，(0，+∞)上是減函數(shù)，那么單調(diào)減區(qū)間為什么不能表示成(-∞,0)∪(0,+∞)?此時可舉反例：x1=-1,x2=1，顯然x1

四、掌握認識規(guī)律

事物的發(fā)展總是有著它的規(guī)律性，人們認識事物基本是循著這樣的規(guī)律去進行：這個事物是什么，它有著什么樣的特性；這個事物與其它事物有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系；這個事物有哪些用途，利用它能解決哪些問題等等.事實上高中數(shù)學教材每一章(節(jié))的內(nèi)容大都是按照這樣的方式來呈現(xiàn)相關的內(nèi)容：這一章(節(jié))中出現(xiàn)的新的概念是怎樣定義的，它有哪些性質(zhì)；這個概念所涵蓋的知識與數(shù)學中的其它知識有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系；最后再研究這些知識的應用.綜上所述，人們認識事物的這一基本規(guī)律，教材中呈現(xiàn)知識的這一結(jié)構(gòu)方式，需要我們廣大教師不失時機地從學生進入高中開始就向他們潛移默化進行滲透.學生一旦掌握了認識事物的基本規(guī)律，就能主動地去認識新事物，就能信心十足地投入到數(shù)學學習中去；學生一旦有了提煉每章(節(jié))知識結(jié)構(gòu)的意識與方法，就能自覺地去編織每章(節(jié))的知識網(wǎng)絡，就能有序地把課本中的知識納入到自己的知識結(jié)構(gòu)中去，變課本知識為“我”的知識.長此下去，他們的基礎知識就會更加扎實，學習起來信心也將更加充足.例如在函數(shù)第1節(jié)函數(shù)概念與圖像教學結(jié)束時，筆者要求學生小結(jié)本小節(jié)學習的內(nèi)容，同學們大都很快地按照概念——性質(zhì)——圖像(數(shù)與形的聯(lián)系)——應用這一規(guī)律構(gòu)建出知識框架，并能用自己的語言說出每一塊的具體內(nèi)容；再例如在學習指數(shù)函數(shù)前，筆者曾問學生：按照你的認識規(guī)律，你能說說指數(shù)函數(shù)我們該研究哪些內(nèi)容嗎?不少學生都能說出：概念、性質(zhì)、圖像、應用.在對數(shù)函數(shù)的教學時，筆者干脆讓學生循著這樣的規(guī)律去自主學習、合作交流，教師僅僅在個別地方作了點撥，同學們不僅學習的積極性很高，而且學習的效果十分明顯.

五、注重化歸思想

化歸的實質(zhì)是把陌生的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的或熟悉的問題來處理，把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題來解決.因此化歸的方法是人們解決問題的一種方法，更是處理數(shù)學問題的一種基本策略.所以，在函數(shù)教學中可結(jié)合教學內(nèi)容向?qū)W生滲透化歸的方法，以培養(yǎng)學生化歸的意識.(1)等價化歸.例如，在對數(shù)的教學中，應指導學生抓住指數(shù)式a琤=N(a>0且a≠1)與對數(shù)式b=玪og璦N的等價性，把對數(shù)運算法則的研究化歸為自己已經(jīng)熟悉的指數(shù)的運算進行處理；再例如求函數(shù)y=f(x)的零點，從“數(shù)”的角度可以等價化歸為求方程f(x)=0的實根；從“形”的角度可以等價化歸為求函數(shù)y=ゝ(x)的圖像與x軸的交點.(2)未知化歸為已知.如對于一些函數(shù)模型的實際應用問題，應指導學生弄清題目中所敘述的實際問題的意義，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中量與量之間的位置、數(shù)量等各種關系，領悟其中的數(shù)學本質(zhì)，進而指導學生把實際問題用字母符號、關系符號表示出來，建立函數(shù)模型，再化歸為已熟悉的函數(shù)問題來解決.(3)特殊化歸為一般.如映射概念的教學可從特殊的映射——函數(shù)入手，再來指導學生建立一般映射的概念，這樣學生學起來，既不感到抽象，又容易記得牢.學生一旦有了化歸的意識，就有了解決問題的一種基本方法.事實上解決數(shù)學問題的各種數(shù)學思想方法，實質(zhì)上都是數(shù)學模式之間進行化歸的一種手段.

六、勇于數(shù)學探究

新課程標準指出：學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探索、動手實踐等學習數(shù)學的方式.數(shù)學探究既是高中數(shù)學課程引入的一種新的學習方式，也是新課程的重要理念.因此在函數(shù)教學中，在力所能及的前提下，應努力培養(yǎng)學生數(shù)學探究的意識.例如在函數(shù)概念教學中，可以設計這樣的探究性課題，已知一個函數(shù)f(x)的值域為［0，4］，則這樣的函數(shù)有多少個?試寫出其中的兩個函數(shù).通過這樣的探究，不僅培養(yǎng)了學生自主探索、動手實踐的意識，而且使學生對函數(shù)概念涉及的三要素定義域、對應法則、值域有了更深入的了解.再例如：在函數(shù)概念與圖像這一小節(jié)學習結(jié)束后，筆者出了這樣一道開放性課題：利用你所學的知識研究函數(shù)f(x)=x+1x(x≠0)的性質(zhì).在研究函數(shù)的單調(diào)性時，同學們都知道利用對稱性化歸為著重研究函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上的單調(diào)性.為此設00)到直線l:y=x的距離為d=22x(見右圖，下同)，并指出隨著x的增大，d的值越來越?。辉诖嘶A上還有的課題小組得出這樣的結(jié)論：過點P作PM⊥l，垂足為M，作PN⊥y軸，垂足為N，則PM?PN=22，并求出了四邊形OMPN的面積解析式為S=12x2+14x2+1,……

學生從初中進入高中學習，不僅要幫助他們理解概念、掌握知識，還要培養(yǎng)他們良好的學習習慣，更重要的是培養(yǎng)他們數(shù)學地學習數(shù)學的意識.由于函數(shù)的內(nèi)容與初中有著密切的聯(lián)系，這也為通過函數(shù)的教學，培養(yǎng)學生數(shù)學地學習數(shù)學的意識提供了平臺.需要指出的是，培養(yǎng)

學生數(shù)學地學習數(shù)學的意識，還涉及其它方面，教學中要結(jié)合學生的認知規(guī)律、心智特點，有所選擇、有所側(cè)重，務求循序漸進、水到渠成.

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