設(shè)臺階，登高樓

有這樣一道數(shù)學(xué)習(xí)題：

如圖1，已知五邊形ABCDE中，AB//ED，∠A =∠B = 90°，如何確定一條直線將這個五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分？滿足條件的直線有多少條？

這是講完“旋轉(zhuǎn)”一章后布置的一道難度較高的習(xí)題，如果讓學(xué)生獨(dú)立完成很困難.為了分散難點(diǎn)，筆者在課堂教學(xué)過程中設(shè)計了幾個有一定梯度的問題，層層點(diǎn)撥.

問題1:如圖2 ，已知☉O，如何作一條直線L把☉O的面積等分？為什么？

學(xué)生很容易回答，過圓心O的任一條直線都能把☉O的面積等分，因?yàn)楱慜是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線都是它的對稱軸，同時☉O也是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.

問題2:如圖3，已知平行四形ABCD，如何作一條直線L把平行四邊形ABCD的面積等分？為什么？

學(xué)生也不難得出答案：經(jīng)過平行四邊形ABCD對角線交點(diǎn)O作一條直線L就能把平行四邊形ABCD面積等分，因?yàn)槠叫兴倪呅问且詫蔷€交點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形.

問題3:如圖4，已知梯形ABCD，AB//CD，如何作一條直線L把它的面積兩等分？為什么？

經(jīng)過學(xué)生討論，得出結(jié)論，過梯形中位線EF的中點(diǎn)O作直線L與上、下底相交，這樣得到的兩個四邊形面積相等，因?yàn)樘菪危ㄌ厥馇闆r形是平行四邊形）的面積等于中位線的長乘以高；或過梯形上下底中點(diǎn)的直線L分得兩個梯形面積相等，因?yàn)樘菪蚊娣e等于上下底和與高的積的一半，如圖5.

問題4:如圖6，五邊形ABCDE是張大爺承包的一塊土地的示意圖，圖中折線CDE是承包土地與開墾荒地的分界小路.張大爺想過E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多.請你用有關(guān)的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計出修路方案并說明理由.（不計分界小路與直路的占地面積.）

師生共同分析：如圖6，設(shè)線段EF為要修的直路，依題意知S_△CEF=S_△CED，則DF//EC，因此直路EF可以這樣來確定：連結(jié)EC，作DF//EC交CM于F，連結(jié)EF，則線段EF為要修的直路.

問題5:如圖７，一財主有一塊平行四邊形的土地，地里有一個圓形池塘。財主立下遺囑：要把這塊土地平分給他的兩個兒子，中間的池塘也平分，但不知怎么做，你能想個辦法嗎？

分析：這道題實(shí)際上是兩中心對稱圖形的組合圖形，要將其面積等分，只要找到一條直線，使其既等分平行四邊形的面積，又等分圓的面積即可.

有了以上問題1、2的鋪墊，學(xué)生會很快找到方法：連結(jié)平行四邊形的兩條對角線，其交點(diǎn)A就是平行四邊形的中心，找出圓的圓心B，過A、B作一條直線，這條直線就將地與池塘的面積平分了.

現(xiàn)回到一開始提出的問題，要確定一條直線，必須確定兩個點(diǎn).如何確定這兩個點(diǎn)呢？學(xué)生討論后回答，把這個五邊形ABCDE分解為一個矩形和一個直角梯形（兩種分解法），于是就有下面兩個答案：1.矩形AGDE、GDCB；2.矩形ABCF對角線的交點(diǎn)與梯形CFED中位線中點(diǎn)的連線（如圖8）.

除了以上這兩條直線外還有其他滿足條件的直線嗎？問題4給了我們“等積可以替換”的啟示：取已經(jīng)得到的能夠等分面積的線段MN的中點(diǎn)P，過P點(diǎn)，有無數(shù)條（并非所有）直線都能滿足條件（如圖9）.

解題后教師讓學(xué)生總結(jié)解題體會：①不規(guī)則圖形的面積計算可轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差，類似的，不規(guī)則圖形面積的等分問題可分割為規(guī)則圖形面積的等分問題；②要解決一個比較復(fù)雜的問題必須先會解最基本的最簡單的問題，這些最基本、最簡單問題解決了，較難的問題也就迎刃而解了，可見基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握何等重要.至此，學(xué)生在教師一步步有梯度的設(shè)問中興趣盎然，拾級而上，水到渠成地解決了復(fù)雜問題，同時也提高了分析問題、解決問題的能力，體驗(yàn)著成長的快樂.少數(shù)學(xué)生還意猶未盡，反復(fù)嘗試著將不規(guī)則圖形的面積計算轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積計算之差的具體方法.

這是筆者一節(jié)課中自感精彩的一個片段，事后寫下這樣的教學(xué)后記：

①數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上.教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，隱藏著巨大的潛能和創(chuàng)造力，教師必須當(dāng)好學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.

②一些重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的心理特征、知識背景和所學(xué)知識的特點(diǎn)，采用設(shè)臺階登高樓或螺旋上升的方式進(jìn)行.起點(diǎn)要低，步子要小，活動要多.要由淺入深，由易到難，要多采用啟發(fā)式和討論式教學(xué)，要展示思維過程，優(yōu)化思維品質(zhì)，授之以漁，要讓學(xué)生跳一跳能摘到樹上的桃子，建立進(jìn)一步學(xué)習(xí)的信心，體驗(yàn)成長的快樂.切忌使學(xué)生感到高不可攀，望而生畏.無論是新授課還是習(xí)題課都是如此.

（作者單位：江蘇省如東縣兵房鎮(zhèn)鞏王初級中學(xué)）