路程最短問題

路程最短問題在教學(xué)中是個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在解決此類問題時(shí)常不知如何分析，如能將這一類問題其歸納起來教學(xué)，便于學(xué)生掌握，有利于學(xué)生綜合復(fù)習(xí)，筆者現(xiàn)將其在以下幾個(gè)方面的應(yīng)用總結(jié)如下：

1．水管最短問題. 如圖（1）在河邊修一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊供水，問修在河邊什么地方可使所用的水管最短？說一說你的理由.

這個(gè)題的解法并不難，如圖2作A點(diǎn)關(guān)于河L的對稱點(diǎn)A'，連A'B交河岸L于C，則點(diǎn)C為水泵站.

因?yàn)樵诤舆吜硗馊我稽c(diǎn)C'建站，

所走的路程就是AC'+C'B，但是 AC'+C'B=A'C'+C'B＞A'B=A'C+CB=AC+CB.可見，在C點(diǎn)以外任何一點(diǎn)建站，所走的路程都要遠(yuǎn)一些.

2.將軍飲馬問題.如圖2，將軍每天從軍營A點(diǎn)出發(fā)先到河邊C處飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短，這就是廣泛流傳的“將軍飲馬問題”.解法同上.

3．正方形中線段最短問題.如圖 3，正方形ABCD的邊長為6，M在CD的延長線上，且DM=2，N為AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值是多少？

解決這題的關(guān)鍵是如何確定動(dòng)點(diǎn)N的位置，才能使DN+MN的值最小，如果引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，將D、M抽象成張村、李莊，AC為河邊，由正方形對稱性得D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為B，另一點(diǎn)M與B點(diǎn)的連線與AC的交點(diǎn)即為N點(diǎn). MN+DN=MB，由勾股定理很容易得出MB=10，即DN+MN的最小值為10.

4．菱形中線段最短問題.如圖4，已知菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=60°.E是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的 最小值是多少？

同樣也是要找出點(diǎn)P的位置，將B、E抽象成張村和李莊，AC是河邊，根據(jù)菱形的對稱性，B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為D，則連接ED交AC的點(diǎn)即為P點(diǎn)，PB+PE=ED，在Rt△ABC中，由勾股定理很容易得出 .

因此在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的實(shí)質(zhì)即當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)在一條直線同側(cè)時(shí)，在該直線上找一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到兩點(diǎn)距離最短問題時(shí)，只要結(jié)合不同變化的圖形，找出其中一點(diǎn)關(guān)于該直線的對稱點(diǎn)，再將另一點(diǎn)與該對稱點(diǎn)連接交該直線上的一點(diǎn)即為所要尋找的使線段最短的點(diǎn)，再結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)求出線段最短問題.

（作者單位：七臺(tái)河市逸夫中學(xué)）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。