初中數(shù)學操作型探究題的分類解析

隨著新課程改革的不斷深入，操作型探究題作為考查學生分析、解決問題以及創(chuàng)新意識的良好載體，而逐漸成為中考的熱點題型之一.

操作型探究題以幾何圖形為背景，通過平移、旋轉構造出新圖形，從圖形的形狀和位置的變化中去探求函數(shù)、方程、全等、相似、解直角三角形等知識間的內(nèi)在聯(lián)系.學生通過觀察圖形在變化過程中所隱含的規(guī)律，猜想所得結論，并進行證明及相關計算，是解決此類問題的基本策略.解決的過程要綜合到用到數(shù)形結合、函數(shù)與方程、特殊與一般等數(shù)學思想，通過分類討論、相似與全等、函數(shù)建模等方法實現(xiàn)問題的解決.圖形在運動變化中，是否保留或具備某種性質，這往往是通過操作、探索、猜想、歸納、證明才能體現(xiàn).從而凸顯了在中考中注重“方法和過程”的新理念.下面通過幾道題的具體分析，說明此類問題的解題策略.

一、與正方形有關的操作型探究題

范例1：已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一個銳角頂點與A點重合，將此三角板繞A點旋轉時，兩邊分別交直線BC、CD于M、N．

（1）當M、N分別在邊BC、CD上時（如圖1），求證： BM＋DN=MN；

（2）當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上（如圖2、圖3）時，線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出結論．

（3）在圖3中，作直線BD交直線AM、AN于P、Q兩點，若MN=10，CM=8，求AP的長．

【思路分析】從（1）問的結論上看，求證兩條線段的和等于第三條線段，易于想到“截長補短”法（如圖4），延長MB到E，使BE=DN，易證△ABE≌△AND，再證△AMN≌△AME，得到MN=ME=BM+DN.同理得到圖2的結論為：MN=BM-DN.圖3的結論為：MN=DN-BM.（3）問屬于運動到特殊情況時求AP的長(如圖5).在Rt△CMN中，利用勾股定理易求

【評析】這道試題設計精巧，新穎別致，考查的知識點包括圖形的旋轉、函數(shù)與方程、三角形的全等與相似、正方形的性質、勾股定理、銳角三角函數(shù)等；在求解的過程中可以考查學生的閱讀能力、建模能力、對圖形的直覺能力以及在圖形變化中看到不變實質的數(shù)學洞察能力和從特殊到一般的思想方法.即要求學生能靈活運用基本知識和基本技能，也要求學生具備一定的實踐操作經(jīng)驗和較開闊的思維品質，充分體現(xiàn)了中考方向和發(fā)展趨勢.

二、與圓有關的操作型探究題

范例2：點A在直線MN上，∠PAM=60°，AD平分∠PAM，AD=6，點C在射線AP上，過A、D、C三點作⊙O.

1.若⊙O與直線MN相切時，求AC長.（如圖1）

2.若⊙O經(jīng)過直線MN上除點A的另一個點B，當⊙O的大小變化時，給出兩個結論：①AC+AB為定值；② AC-AB為定值.當B在AM上時（如圖2）或當B在AN上時（如圖3），上述結論中是否有正確的結論？如果有，判斷并說明那一個結論成立，并求出定值是多少？

【評析】此題以圓為背景，結合圓的基本性質、三角形的全等、三角函數(shù)等知識，考查了學生對初中數(shù)學重要知識與技能的掌握情況，在解題思路上一脈相承，重點強調了學生對典型圖形的構造與應用.對知識的遷移與變式都有較高的要求，對學生的可持續(xù)發(fā)展大有裨益.

三、與三角板有關的操作型探究題

范例3：已知，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，BC=DC，∠BCD=60°.將直角三角板PMN的60°角的頂點放在該四邊形上，使得P點與A點重合.旋轉三角板PMN，在旋轉的過程中，三角板PMN的直角邊PM與直線BC交于點E，斜邊PN與直線DC交于點F，連接EF.

1.當E、F分別在BC、CD邊上時（如圖1），求證EF=BE+DF.

2.當E、F分別在直線BC、CD上時（如圖2、圖3），線段EF、BE、DF之間又有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出結論.

3.在圖3中，作直線BD，分別交直線AM、AN于點G、H.若AE=3，求AH的長.

【思路分析】從已知條件中可以證明△ABC≌△ADC，得到∠ABC=∠ADC=90°. AC平分∠BAD.而∠MPN= 60°，易于想到利用旋轉構造△ABE≌△ADQ（如圖4），進一步得到△AEF≌△AQF，得到EF=FQ=BE+DF.同樣的思路可以得到圖2的結論為：EF=DF-BE；圖3的結論為：EF= BE-DF.在問3中，連接AC后（如圖5），得到△ACE∽△ADH，AH∶AE=AD

【評析】此題通過旋轉變換，利用角平分線構造軸對稱圖形，圖1易于得到結論，而圖2、圖3只有借助解決圖1的基本思路，才能出現(xiàn)思維的轉向，從而產(chǎn)生頓悟.問3中，只給出AE=3一個數(shù)量關系，去求AH的長度，必然要深入挖掘原題中存在的數(shù)量關系，結合所求，構造相似三角形.這樣不斷反復認知與所求，調節(jié)思維方向，準確確定思路點，才會柳暗花明又一村.

操作型探究題為學生提供了猜想與探究的空間，展示了學生學習的思維過程，使學生在探究的過程中體驗了問題的提出、結論的探索與應用.不但獲得知識，而且培養(yǎng)了自信的科學精神、創(chuàng)新意識和實踐能力，改變了以往單純的依賴模仿與記憶的學習方式，有助于學生形成“動手實踐、自主探究與合作交流”新的學習方式，有助于學生個性發(fā)展.此類試題也必將推動中考試題的進一步發(fā)展.

（作者單位：哈爾濱市阿城區(qū)雙豐鎮(zhèn)第1中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。