關(guān)于哈爾濱市２００７年中考數(shù)學(xué)壓軸題創(chuàng)編設(shè)計(jì)的思考

2007年是哈爾濱市新課程改革以來的首次中考.在命題過程中，親耳聆聽了各位專家的教誨，與同伴共同學(xué)習(xí)、共同研究、交流思想，使我們對新課程的認(rèn)識獲得了新的提升.下面結(jié)合幾道中考題的命制，談?wù)劯邢?

一、中考數(shù)學(xué)第20題是一道區(qū)分度較高的創(chuàng)編題.此題以“能力為立意”，考查了學(xué)生分類討論的思想及綜合運(yùn)用幾何知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.試題創(chuàng)編過程如下：

（2）點(diǎn)C1從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動.同時點(diǎn)A1從點(diǎn)A出發(fā)，沿著BA的延長線運(yùn)動，點(diǎn)C1與點(diǎn)A1的運(yùn)動速度相同，（如圖6）A1F1平分∠BA1C1，交BD于點(diǎn)F1，過點(diǎn)F1作F1 E1⊥A1C1，垂足為E1，請猜想E1F1、A1C1與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

（3）在（2）的條件下，當(dāng)AB=4，A1E1=3， C1E1=2時，求BG的長.

【反思】

1.關(guān)于雙點(diǎn)運(yùn)動的問題，要特別注意同時、等速及運(yùn)動停止時的清晰表述.

2.要特別注意此題存在性的論證.

命題人員經(jīng)過研討發(fā)現(xiàn)，第2問中關(guān)于速度的表述確實(shí)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，并進(jìn)行了如下修改：

修改一：點(diǎn)C1從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動（不與點(diǎn)B重合），同時點(diǎn)A1從點(diǎn)A出發(fā)，沿著BA的延長線運(yùn)動，點(diǎn)C1與點(diǎn)A1的運(yùn)動速度相同，當(dāng)動點(diǎn)C1停止運(yùn)動時，另一動點(diǎn)A1也隨之停止運(yùn)動.如圖6，A1F1平分∠BA1C1，交BD于點(diǎn)F1，過點(diǎn)F1作F1E1⊥A1C1，垂足為E1，請猜想E1F1、A1C1與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【研究】

在研討第（3）問的過程中，發(fā)現(xiàn)了兩個問題：

①當(dāng)給出A1 E1=3， C1 E1=2的條件時，邊長AB已經(jīng)可求了，無需再給出AB=4的條件.

②求BG時需用到三角形相似的有關(guān)知識，而28題第3問也用到了三角形相似的有關(guān)知識，這樣知識點(diǎn)出現(xiàn)了重復(fù)，為了解決這一問題，經(jīng)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，在點(diǎn)A1與點(diǎn)C1的運(yùn)動過程中，DF1的長始終等于A1D的長，這樣，可運(yùn)用勾股定理及等腰三角形有關(guān)知識可求出DF1的長，為此，對第3問進(jìn)行了如下修改：

修改二：在（2）的條件下，當(dāng)A1E1=3， C1E1=2時，求DF1的長.

【啟發(fā)】 通過對題目的反復(fù)研究，可以使我們逐步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中最本性的問題，而這恰恰是提高解題能力的關(guān)鍵.

【反思】命題人員運(yùn)用平面解析幾何的知識，對第3問從新的角度給予了解答，并從中發(fā)現(xiàn)在求DF1時，只需給出條件A1C1 =5即可，無需再給出兩個條件A1E1=3，C1E1=2，但這樣問題又過于簡單了，為此對第3問做了進(jìn)一步的修改.

修改三：在（2）的條件下，當(dāng)A1 E1=3， C1E1=2時，求BD的長.

三、中考數(shù)學(xué)第28題將一次函數(shù)、三角函數(shù)、直角坐標(biāo)系、動點(diǎn)、相似三角形等有關(guān)問題比較自然地聯(lián)系起來，有計(jì)算、有探索，有效地考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力.此題是以動點(diǎn)問題與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合構(gòu)造的綜合題，有一定的層次性，也滲透了函數(shù)思想、方程思想及分類討論思想等.

28題初稿：

如圖，梯形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD//BC，點(diǎn)C（3，-2），D（2，2），直線y=kx-2，經(jīng)過點(diǎn)H（-1，-1），BC交y軸與點(diǎn)E.

【反思】①把AD∥BC改為上底與x軸平行，下底BC交y軸與E點(diǎn)更加嚴(yán)密，而直線y=kx-2可直接敘述為直線HE，故可將直線y=kx-2略去.

②第2問與第1問求解析式重復(fù)，考慮修改為“在動態(tài)幾何中建立函數(shù)關(guān)系式”比較合適.

③第3問改變點(diǎn)Q的運(yùn)動方向，及動點(diǎn)Q沿梯形各邊運(yùn)動一周，提高了題目的難度，但線段DC為無理數(shù)，為保證時間t為整數(shù)，故把D、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行調(diào)整.同時將已知條件BC和sin∠B設(shè)定為總條件，在問法上改為 “存在性探究題”.

修改一（題中字母有調(diào)整）：

（1）求直線AB的解析式.

（2）若點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-1，-1），動點(diǎn)G從B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿BC邊由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動（點(diǎn)G與點(diǎn)B、點(diǎn)C可以重合），設(shè)S△HNE=S，求△HNE的面積S與點(diǎn)G的運(yùn)動時間t′的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）.

【反思】①第（2）問中的點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時，△HNE的面積S=0，而這在初中解釋不通，因此需注明S≠0，同時要求寫出自變量的取值范圍.

②第（3）問中的“若存在，求出所有的符合條件的點(diǎn)；若不存在，請說明理由”，其中不存在的情況，需加以證明，問題過于復(fù)雜，因此需進(jìn)一步改變問法.

修改二：第（2）問：若點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-1，-1），動點(diǎn)G從B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿BC邊由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動（點(diǎn)G與點(diǎn)B、點(diǎn)C可以重合），求△HNE的面積S（S≠0）隨動點(diǎn)G的運(yùn)動時間t 變化的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）.

【反思】第（3）問中的“以P、Q、H為頂點(diǎn)的三角形與△HNE相似”，在課本中沒有找到出處，故改為 “求出所有能使∠PHM與∠HNE相等的t 的值.”

【反思】考慮到沿兩邊運(yùn)動難度不夠，最后將動點(diǎn)P設(shè)計(jì)為沿梯形各邊運(yùn)動一周.

總之，通過對此次中考數(shù)學(xué)題的命制與研究，我們切身感到，要想提高數(shù)學(xué)綜合題的解題能力，首先，要加強(qiáng)對數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的研究，對數(shù)學(xué)的本性問題認(rèn)識越清楚，就越能有效地把握解題規(guī)律；其次，要自覺經(jīng)歷“解題實(shí)踐——學(xué)習(xí)探索——反思與提高”的體驗(yàn)，從根本上提高數(shù)學(xué)綜合題的解題能力.

（作者簡介：

張雙慶：2003年黑龍江省中考數(shù)學(xué)命題員，2005年哈爾濱市中考數(shù)學(xué)命題員、2007年哈爾濱市中考數(shù)學(xué)命題員.

王慶躍：2006年哈爾濱市中考數(shù)學(xué)命題員，2007年哈爾濱市中考數(shù)學(xué)審題員.

林青：2007年哈爾濱市中考數(shù)學(xué)命題員.）