ＶａＲ的組合預(yù)測(cè)方法

摘 要：本文探討了組合預(yù)測(cè)方法對(duì)提高風(fēng)險(xiǎn)值預(yù)測(cè)表現(xiàn)的意義，給出了執(zhí)行風(fēng)險(xiǎn)值組合預(yù)測(cè)的具體方法，同時(shí)對(duì)預(yù)測(cè)表現(xiàn)進(jìn)行了實(shí)證分析。用歷史模擬法和風(fēng)險(xiǎn)矩陣法作為兩種單個(gè)預(yù)測(cè)方法，風(fēng)險(xiǎn)值組合預(yù)測(cè)的權(quán)重由分位數(shù)回歸來(lái)估計(jì)。針對(duì)我國(guó)上證綜合指數(shù)的實(shí)證分析表明合適的風(fēng)險(xiǎn)值組合預(yù)測(cè)能夠顯著地提高單個(gè)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)表現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：風(fēng)險(xiǎn)管理；風(fēng)險(xiǎn)值；組合預(yù)測(cè)；分位數(shù)回歸

中圖分類號(hào)：F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5192(2008)03-0075-06

Forecast Combination of Value-at-Risk

LIU Qi-hao

(School of Economics and Management，Beijing University of Technology，Beijing 100022，China)

Abstract：In this paper，we discuss the meaning of using forecast combination approach to improve the forecast performance of Value-at-Risk，present the method of estimating VaR forecast combination weights and give out the related empirical study. The two individual VaR approaches are historical simulation approach and RiskMetrics approach respectively，and the weights of forecast combination are obtained by quantile regression technique. The empirical study on the Shanghai Composite Index shows that the suitable VaR forecast combination can significantly improve VaR out-of-sample forecast performance.

Key words：risk management；Value-at-Risk；forecast combination；quantile regression

1 引言

風(fēng)險(xiǎn)值(Value-at-Risk，以下簡(jiǎn)稱VaR)是金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的一種度量標(biāo)準(zhǔn)，常被用于投資決策、金融監(jiān)管、風(fēng)險(xiǎn)資本分配等。關(guān)于VaR研究中的一個(gè)重要問(wèn)題是如何得到準(zhǔn)確的VaR預(yù)測(cè)。盡管預(yù)測(cè)VaR的方法很多，包括歷史模擬法(Historical Simulation)、風(fēng)險(xiǎn)矩陣法(RiskMetrics)、極值理論方法(Extreme Value Theory)以及條件自回歸法(CAViaR) 等^[1，2]，但是目前所提出的預(yù)測(cè)VaR方法并沒有給出一個(gè)令人滿意的答案，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)VaR(特別是99%水平的VaR)仍是一個(gè)統(tǒng)計(jì)難題^[2]。VaR本質(zhì)上是資產(chǎn)收益損失分布的一個(gè)分位數(shù)，在實(shí)踐中通常取95% 和99%兩種水平，或者說(shuō)VaR通常位于收益損失分布的尾部，致使可以利用的信息比較少，加之收益損失分布隨時(shí)間變動(dòng)的特性，因此VaR的預(yù)測(cè)往往缺乏穩(wěn)健性。一種可行的解決辦法是，對(duì)不同模型預(yù)測(cè)出的VaR進(jìn)行組合(類似于投資組合)，從而提取更多的信息，以使VaR的預(yù)測(cè)更穩(wěn)健。這種對(duì)預(yù)測(cè)進(jìn)行組合以提高預(yù)測(cè)表現(xiàn)的方法被稱為組合預(yù)測(cè)，該方法由Bates和Granger首先提出，現(xiàn)在已發(fā)展成為一個(gè)重要的研究領(lǐng)域。組合預(yù)測(cè)具有柔韌性，可以通過(guò)替換用于組合的某種單個(gè)預(yù)測(cè)或增加單個(gè)預(yù)測(cè)的數(shù)目等方法來(lái)提高組合預(yù)測(cè)的表現(xiàn)；另外組合預(yù)測(cè)具有使用簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，合適的組合預(yù)測(cè)能夠提高單個(gè)預(yù)測(cè)的表現(xiàn)也基本達(dá)成共識(shí)，因此組合預(yù)測(cè)方法在實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用^[3]。

在一般組合預(yù)測(cè)問(wèn)題中，我們能夠知道預(yù)測(cè)后被預(yù)測(cè)變量的實(shí)際發(fā)生值。但是VaR組合預(yù)測(cè)屬于分位數(shù)的組合預(yù)測(cè)，在預(yù)測(cè)后并不知道VaR的實(shí)際發(fā)生值，這就造成了估計(jì)其權(quán)重具有一定困難，因此關(guān)于VaR組合預(yù)測(cè)的研究并不多見。就分位數(shù)的組合預(yù)測(cè)而言，Granger，White和Kamstra首先探討了某經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的分位數(shù)組合預(yù)測(cè)，實(shí)證分析表明分位數(shù)的組合預(yù)測(cè)有助于提高估計(jì)分位數(shù)的準(zhǔn)確性。該研究所考慮的是對(duì)25%和75%等幾種沒有處于分布尾部的分位數(shù)的組合預(yù)測(cè)，提出用分位數(shù)回歸(Quantile Regression)方法估計(jì)分位數(shù)組合預(yù)測(cè)的權(quán)重，對(duì)研究VaR組合預(yù)測(cè)具有借鑒意義^[4]。一個(gè)直接關(guān)于VaR組合預(yù)測(cè)的研究是Giacomini和Komunjer給出的條件覆蓋檢驗(yàn)(CQFE test)，該檢驗(yàn)可用于判斷是否分位數(shù)的組合預(yù)測(cè)能夠從每種單個(gè)預(yù)測(cè)中提取信息；如果組合預(yù)測(cè)能夠比單個(gè)預(yù)測(cè)含有更多的信息，就可使用其來(lái)提高預(yù)測(cè)的表現(xiàn)。Giacomini和Komunjer的條件覆蓋檢驗(yàn)采取對(duì)組合預(yù)測(cè)的表現(xiàn)進(jìn)行間接評(píng)價(jià)方式，評(píng)價(jià)的準(zhǔn)確性依賴于該檢驗(yàn)的功效；采用廣義矩(GMM)方法估計(jì)VaR組合預(yù)測(cè)的權(quán)重，這與Granger，White和Kamstra的權(quán)重估計(jì)方法是不同的^[5]。

常用的評(píng)價(jià)組合預(yù)測(cè)方法是直接評(píng)價(jià)的方式，即直接對(duì)組合預(yù)測(cè)與單個(gè)預(yù)測(cè)進(jìn)行樣本外預(yù)測(cè)表現(xiàn)比較；如果組合預(yù)測(cè)能提高單個(gè)預(yù)測(cè)的樣本外預(yù)測(cè)表現(xiàn)就使用組合預(yù)測(cè)，否則不使用組合預(yù)測(cè)。本文就用組合預(yù)測(cè)方法來(lái)預(yù)測(cè)VaR的意義、組合權(quán)重的估計(jì)方法等問(wèn)題進(jìn)行了探討，并基于我國(guó)上證綜合指數(shù)對(duì)VaR組合預(yù)測(cè)的樣本外預(yù)測(cè)表現(xiàn)進(jìn)行了實(shí)證分析。本文的實(shí)證研究是從直接評(píng)價(jià)的角度出發(fā)，對(duì)組合預(yù)測(cè)與單個(gè)預(yù)測(cè)的樣本外預(yù)測(cè)表現(xiàn)進(jìn)行直接的比較，而不是Giacomini和Komunjer的間接比較方法^[5]。本文的實(shí)證分析發(fā)現(xiàn)合適的組合預(yù)測(cè)能夠顯著地提高單個(gè)方法預(yù)測(cè)VaR的樣本外預(yù)測(cè)表現(xiàn)。

2 方法

2.1 VaR的定義及組合預(yù)測(cè)的意義

VaR度量一種金融資產(chǎn)在給定置信水平下某一時(shí)間內(nèi)的最大可能損失。VaR可被定義為一種金融資產(chǎn)條件收益分布的τ分位數(shù)的相反數(shù)，即

其中下標(biāo)t為時(shí)刻，rt指該資產(chǎn)在時(shí)刻t的收益率，P表示概率運(yùn)算。1-τ被稱為VaR的水平，下文中1-τ水平的VaR被簡(jiǎn)稱為1-τVaR。在實(shí)際應(yīng)用中，τ經(jīng)常取為0.01和0.05，或者說(shuō)VaR取99%和95%兩種水平。在用于預(yù)測(cè)VaR的歷史樣本大小一定的情況下，預(yù)測(cè)99%VaR可以利用的信息要比預(yù)測(cè)95%VaR可以利用的信息少很多，因此99%VaR要比95%VaR更難以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)。一個(gè)解決方法似乎是通過(guò)增加歷史樣本信息來(lái)提高99%VaR的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性，但使用更多的歷史樣本信息，會(huì)存在較遠(yuǎn)的歷史信息可能與當(dāng)前市場(chǎng)上風(fēng)險(xiǎn)變化情況關(guān)系不大，即樣本缺乏代表性的問(wèn)題。另外，金融監(jiān)管機(jī)構(gòu)通常要求金融機(jī)構(gòu)報(bào)告99%水平的VaR，所以我們不能通過(guò)只預(yù)測(cè)95%水平的VaR來(lái)回避這一問(wèn)題。這就造成了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)99%VaR的困難，組合預(yù)測(cè)方法對(duì)解決這個(gè)問(wèn)題有所幫助。

VaR在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，探討它的組合預(yù)測(cè)方法具有一定的現(xiàn)實(shí)意義；同時(shí)從極端分位數(shù)組合預(yù)測(cè)的角度來(lái)說(shuō)，探討VaR的組合預(yù)測(cè)方法也具有一定的理論意義。具體意義表現(xiàn)為以下三個(gè)方面：

(1)VaR的組合預(yù)測(cè)有助于提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)健性。通過(guò)投資組合來(lái)分散風(fēng)險(xiǎn)已成為投資的基本方法；組合預(yù)測(cè)的思想類似于投資組合，目的在于分散使用單一預(yù)測(cè)模型可能導(dǎo)致的風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于一些預(yù)測(cè)，用于預(yù)測(cè)的信息可能比較充分，如果單個(gè)預(yù)測(cè)有著較好的預(yù)測(cè)表現(xiàn)，并不必一定使用組合預(yù)測(cè)。但對(duì)于VaR(特別是99%水平)的預(yù)測(cè)來(lái)說(shuō)，單個(gè)預(yù)測(cè)模型往往表現(xiàn)欠佳，并且其不足之處往往是很明顯的，因此更有必要通過(guò)組合預(yù)測(cè)的方式獲取更多信息來(lái)提高預(yù)測(cè)的表現(xiàn)^[4]。

(2)對(duì)VaR使用組合預(yù)測(cè)擴(kuò)大了預(yù)測(cè)VaR的可選模型范圍，并有助于減輕不同模型給出不同預(yù)測(cè)所導(dǎo)致的困惑。通過(guò)改變單個(gè)預(yù)測(cè)模型、增多單個(gè)預(yù)測(cè)模型的數(shù)量，以及改變確定權(quán)重的方法都相當(dāng)于給出了一個(gè)新的預(yù)測(cè)模型。在實(shí)際預(yù)測(cè)VaR時(shí)，面對(duì)不同模型給出的截然不同的預(yù)測(cè)，風(fēng)險(xiǎn)管理者可能對(duì)究竟使用哪種模型給出的預(yù)測(cè)感到困惑，組合預(yù)測(cè)有助于解決該問(wèn)題。

(3)VaR的組合預(yù)測(cè)方法簡(jiǎn)單易行，具有實(shí)際的可操作性。如果簡(jiǎn)單的單個(gè)預(yù)測(cè)模型的組合預(yù)測(cè)有較好的預(yù)測(cè)表現(xiàn)，我們可能就不必要去尋找復(fù)雜的單個(gè)模型來(lái)提高預(yù)測(cè)表現(xiàn)。因?yàn)橐话銇?lái)說(shuō)復(fù)雜的模型盡管預(yù)測(cè)表現(xiàn)可能較好，但是在實(shí)際中可能難以應(yīng)用。有效并且簡(jiǎn)單的方法往往更具實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，VaR的組合預(yù)測(cè)具有這一優(yōu)點(diǎn)。

2.2 兩種單個(gè)預(yù)測(cè)方法

如果假設(shè)在t時(shí)刻，我們想用組合預(yù)測(cè)方法來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)h時(shí)期的VaR，那么VaR的組合預(yù)測(cè)可表示為

其中下標(biāo)C表示組合預(yù)測(cè)，下標(biāo)i表示第i種VaR預(yù)測(cè)，f表示VaR的組合預(yù)測(cè)是n種單個(gè)VaR的函數(shù)。

盡管存在多種可行的預(yù)測(cè)VaR的方法，但基于方法的簡(jiǎn)單性和代表性來(lái)考慮，本文用歷史模擬法和風(fēng)險(xiǎn)矩陣法作為VaR的單個(gè)預(yù)測(cè)方法；同時(shí)為避免單個(gè)VaR預(yù)測(cè)的數(shù)目過(guò)多可能導(dǎo)致多重共線性的問(wèn)題，本文僅考慮對(duì)兩種單個(gè)預(yù)測(cè)進(jìn)行組合。實(shí)際上，這也是Granger，White和Kamstra在探討分位數(shù)組合預(yù)測(cè)時(shí)僅考慮對(duì)兩種單個(gè)預(yù)測(cè)進(jìn)行組合的一個(gè)原因^[4]。

實(shí)際上，評(píng)價(jià)VaR預(yù)測(cè)表現(xiàn)的方法不只是上面提到的Christofferson檢驗(yàn)，還有其它方法，它們大致可以分為兩類：一類是假設(shè)檢驗(yàn)方法^[9，10]，另一類是損失函數(shù)方法^{[11，12]}。假設(shè)檢驗(yàn)方法的優(yōu)點(diǎn)是有堅(jiān)實(shí)的統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)，缺點(diǎn)是樣本容量較小時(shí)檢驗(yàn)的功效較低；而損失函數(shù)法的出發(fā)點(diǎn)在于選擇那些使損失函數(shù)達(dá)到最小的模型，優(yōu)點(diǎn)是樣本容量較小時(shí)也可以進(jìn)行模型比較，缺點(diǎn)是損失函數(shù)的選擇具有一定的隨意性，并且最小化某個(gè)損失函數(shù)選擇出來(lái)的模型，可能導(dǎo)致Ht不滿足相互獨(dú)立、同服從參數(shù)為τ的Bernoulli分布的要求?？紤]到本文是要比較組合預(yù)測(cè)和單個(gè)預(yù)測(cè)間的樣本外預(yù)測(cè)表現(xiàn)，為提高比較結(jié)果的穩(wěn)健性應(yīng)在實(shí)證分析時(shí)使用較大的樣本容量，而假設(shè)檢驗(yàn)方法對(duì)于大的樣本容量來(lái)說(shuō)具有較高的功效。基于此，本文主要考慮使用假設(shè)檢驗(yàn)方法進(jìn)行模型比較。能同時(shí)考慮違背次數(shù)是否適當(dāng)以及是否出現(xiàn)波動(dòng)性集聚這兩個(gè)主要因素的一個(gè)檢驗(yàn)方法是Christofferson檢驗(yàn)，并且該檢驗(yàn)在假設(shè)檢驗(yàn)方法中具有一定的代表性，所以本文用其進(jìn)行模型比較。

3 實(shí)證分析

3.1 樣本

我們利用我國(guó)上證綜合指數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析(數(shù)據(jù)來(lái)源：Datastream)，時(shí)間跨度為1994年7月18日至2006年12月29日，共 3250個(gè)樣本。我們對(duì)指數(shù)的對(duì)數(shù)進(jìn)行一階差分，從而得到上證綜合指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率。表1給出了該收益率的一些描述性統(tǒng)計(jì)量。樣本偏度為1.9065，這表明收益損失分布是明顯非對(duì)稱的，再加上樣本峰度為32.3947，表明收益損失分布嚴(yán)重偏離正態(tài)分布，因此風(fēng)險(xiǎn)矩陣法的前提假設(shè)是基本不成立的，可以預(yù)計(jì)用風(fēng)險(xiǎn)矩陣法估計(jì)VaR可能不會(huì)有較好的預(yù)測(cè)表現(xiàn)。

我們采用一步向前的VaR預(yù)測(cè)，即預(yù)測(cè)未來(lái)一天的VaR；如果要預(yù)測(cè)某一天的VaR，本文用這一天的前250天(相當(dāng)于一年)的歷史收益率來(lái)預(yù)測(cè)VaR，因此可用于本文進(jìn)行分析的VaR預(yù)測(cè)序列為3000個(gè)樣本。在風(fēng)險(xiǎn)矩陣法中，估計(jì)波動(dòng)率時(shí)指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均法(EWMA)中的衰減因子λ為0.94。我們采用在實(shí)踐應(yīng)用中頗為流行的滾動(dòng)窗寬法(Rolling Window)來(lái)估計(jì)組合預(yù)測(cè)的權(quán)重。具體來(lái)說(shuō)，根據(jù)數(shù)量固定的歷史樣本來(lái)確定某一天組合預(yù)測(cè)的權(quán)重，該天過(guò)后，仍然保持用于預(yù)測(cè)的樣本量不變，但用最新的數(shù)據(jù)來(lái)替換時(shí)間上最遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)，這樣可使我們不斷更新信息。為使權(quán)重估計(jì)比較準(zhǔn)確，我們使用樣本量相對(duì)大一些的樣本來(lái)估計(jì)組合預(yù)測(cè)的權(quán)重，本文樣本量大小為1000。我們根據(jù)這些預(yù)測(cè)VaR方法的樣本外預(yù)測(cè)表現(xiàn)來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)，一共可以得到2000個(gè)樣本外預(yù)測(cè)表現(xiàn)數(shù)據(jù)，即Ht序列的長(zhǎng)度為2000。3.2 實(shí)證結(jié)果及分析

本文考慮99%和95%兩種水平的VaR(它們理論上的違背率分別為0.01和0.05)，用R 2.5.0版本進(jìn)行計(jì)算。表2給出了兩種單個(gè)VaR預(yù)測(cè)以及組合預(yù)測(cè)的檢驗(yàn)p值，本文用其評(píng)價(jià)模型的預(yù)測(cè)能力。p值越大表明所使用的模型在該檢驗(yàn)所考慮的因素上越有可能是正確的，或者說(shuō)模型的預(yù)測(cè)能力越強(qiáng)；盡管比較無(wú)條件覆蓋檢驗(yàn)p值的相對(duì)大小可大致推測(cè)出各自違背率的大小，但為清楚起見，表2也列出了在評(píng)價(jià)區(qū)間內(nèi)的違背率。表2中所給出的p值保留到小數(shù)點(diǎn)后四位，故p值為0.0000表示該值很小，接近于0。

從表2可以看出，對(duì)99%VaR而言，VaRHS和VaRRM預(yù)測(cè)分別在0.10和0.01的水平下被無(wú)條件覆蓋檢驗(yàn)拒絕；它們的組合預(yù)測(cè)VaRC的p值已接近于1，要明顯高于VaRHS和VaRRM的p值，因此從無(wú)條件覆蓋檢驗(yàn)的p值來(lái)看沒有證據(jù)表明VaRC的預(yù)測(cè)有很大偏差。對(duì)95%VaR而言，VaRHS和VaRRM預(yù)測(cè)的無(wú)條件覆蓋檢驗(yàn)p值均明顯小于它們的組合預(yù)測(cè)VaRC的p值，但它們?cè)?.10水平下沒有被拒絕；值得注意的是VaRRM的無(wú)條件覆蓋檢驗(yàn)p值為0.1090，已十分接近0.10水平。此外，與VaRHS和VaRRM相比，兩種水平下VaRC所產(chǎn)生的違背率最為接近他們的理論違背率，表2中列出的違背率的結(jié)果與無(wú)條件覆蓋檢驗(yàn)的結(jié)果基本一致?？紤]到99%VaR一般難以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)，此結(jié)果說(shuō)明組合預(yù)測(cè)具有吸引力。

獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果表明VaRC在預(yù)測(cè)99%VaR上要明顯優(yōu)于VaRHS和VaRRM，但這里VaRHS和VaRRM的獨(dú)立性檢驗(yàn)的p值明顯大于0.10，因此這種優(yōu)勢(shì)并沒有在違背的無(wú)條件覆蓋方面的優(yōu)勢(shì)大。就預(yù)測(cè)95%VaR而言，在違背發(fā)生的獨(dú)立性方面與預(yù)測(cè)99%VaR有明顯不同的結(jié)果。95%VaRC的獨(dú)立性檢驗(yàn)p值僅略微高于VaRRM的獨(dú)立性檢驗(yàn)p值，但它們都在0.01的水平下被拒絕；VaRHS的獨(dú)立性檢驗(yàn)p值略微高于0.10，這說(shuō)明VaRC在違背發(fā)生的獨(dú)立性方面表現(xiàn)不如VaRHS。因此對(duì)于預(yù)測(cè)95%VaR來(lái)說(shuō)，組合預(yù)測(cè)表現(xiàn)的提高只是體現(xiàn)在其違背率更接近理論值，而違背發(fā)生的獨(dú)立性沒有得到提高，實(shí)際上有所下降。這說(shuō)明使用組合預(yù)測(cè)并不必然在各個(gè)方面都提高預(yù)測(cè)表現(xiàn)。產(chǎn)生這種情況的主要原因在于本文是對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行樣本外表現(xiàn)評(píng)價(jià)，而預(yù)測(cè)方法的表現(xiàn)受數(shù)據(jù)生成過(guò)程未來(lái)變化的影響，這個(gè)結(jié)論與其它組合預(yù)測(cè)文獻(xiàn)中的結(jié)論是一致的。

表2中條件覆蓋檢驗(yàn)的結(jié)果綜合反映了無(wú)條件覆蓋檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果。VaRC在預(yù)測(cè)99%VaR上有很好的表現(xiàn)，但對(duì)于預(yù)測(cè)95%VaR來(lái)說(shuō)，VaRC在0.01的水平被檢驗(yàn)拒絕。值得注意的是，此時(shí)VaRHS在0.10的水平上也是被檢驗(yàn)拒絕的。

4 結(jié)論

對(duì)VaR進(jìn)行組合預(yù)測(cè)是解決VaR難以得到準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)這一問(wèn)題的主要方法之一。本文探討了VaR的組合預(yù)測(cè)的意義、具體操作方法，基于上證綜合指數(shù)的實(shí)證分析表明合適的組合預(yù)測(cè)能夠顯著提高VaR的預(yù)測(cè)表現(xiàn)。實(shí)證分析的主要結(jié)果是針對(duì)99%VaR而言的；考慮到99%VaR一般難以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)，這個(gè)結(jié)果說(shuō)明組合預(yù)測(cè)在實(shí)際應(yīng)用上是具有吸引力的。實(shí)證分析同時(shí)表明組合預(yù)測(cè)受到單個(gè)預(yù)測(cè)的表現(xiàn)等因素影響，并不必然提高預(yù)測(cè)表現(xiàn)。基于這種結(jié)果，在實(shí)際使用中應(yīng)該具體問(wèn)題具體分析，通過(guò)樣本外預(yù)測(cè)表現(xiàn)評(píng)價(jià)等程序來(lái)選擇模型；必要時(shí)可替換某些單個(gè)預(yù)測(cè)或?qū)Χ喾N單個(gè)預(yù)測(cè)進(jìn)行組合來(lái)提高預(yù)測(cè)表現(xiàn)，而組合預(yù)測(cè)的柔韌性使這樣做簡(jiǎn)單易行。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1] 王春峰.金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理[M].天津：天津大學(xué)出版社，2001.204-216.

[2]Engle R F，Mangaelli S. CAViaR：conditional autoregressive value at risk by regression quantiles[J]. Journal of Business Economic Statistics，2004，(22)：367-381.

[3]Bates J M，Granger C W. The combination of forecasts[J]. Operation Research Quarterly，1969，(20)：451-468.

[4]Granger C W J，White H，Kamstra M. Interval forecasting and analysis based upon ARCH-quantile estimators[J]. Journal of Econometrics，1989，(40)：87-96.

[5]Giacomini R，Komunjer I. Evaluation and combination of conditional quantile forecasts[J]. Journal of Business Economic Statistics，2005，4(23)：416-431.

[6]Elliott G，Timmermann A. Optimal forecast combinations under general loss functions and forecast error distributions[J]. Journal of Econometrics，2004，(122)：47-80.

[7]Koenker R，Bassett G W. Regression quantiles[J]. Econometrica，1978，(46)：33-50.

[8]Taylor J，Bunn D W. Combining forecast quantile using quantile regression：investigating the derived weights，estimator bias and imposing constraints[J]. Journal of Applied Statistics，1998，(25)：193-206.

[9]Christofferson P. Evaluating interval forecasts[J]. International Economic Review，1998，(39)：841-862.

[10]Kupiec P. Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models[J]. Journal of Derivatives，1995，(3)：73-84.

[11]Lopez J A. Methods for evaluating value-at-risk estimates[J]. FRBSF Economic Review，1999，(2)：3-18.

[12]Lopez J A. Regulatory evaluation of value-at-risk model[J]. Journal of Risk，1999，(1)：37-63.

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