基于強(qiáng)度模型的住房抵押貸款的定價與分析

摘 要：Kau、Keenan和Smurov以美國個人住房抵押貸款市場為研究對象，建立了住房抵押貸款強(qiáng)度定價模型（簡稱KKS模型）。但此模型不盡完善，不能完全適合中國市場。因此，本文從中國個人住房抵押貸款市場的實際出發(fā)，改進(jìn)KKS模型的三個關(guān)鍵因素：折現(xiàn)方法、追償值計算和利率隨機(jī)模型，建立了基于強(qiáng)度模型的住房抵押貸款定價模型。為了驗證新模型的適用性，利用蒙特卡羅方法，給出了一份10年期、首付50%、本金10萬元的住房抵押貸款的價值，分析了房價趨勢、首付比例、貸款利率、貸款期限對住房抵押貸款價值的影響。研究結(jié)論對我國銀行制定合理的住房抵押貸款政策具有重要的借鑒價值。

關(guān)鍵詞：強(qiáng)度模型；住房抵押貸款；定價；蒙特卡羅模擬

中圖分類號：F830.53 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5192（2008）05-0075-06

Valuation Mortgage for Housing and Its Implications 

with An Intensity Approach

ZHOU Ying-ying， QIN Xue-zhi， SHANG Qin， WANG Yue

(School of Management， Dalian University of Technology， Dalian 116024， China)

Abstract:Kau， Keenan and Smurov research American individual mortgage market and design a mortgage pricing intensity model. But this model isn’t perfect and doesn’t fit for Chinese market. So， according with Chinese individual mortgage market， this paper designs a mortgage for housing pricing model with an intensity approach which improves three key factors of KKS model: discounting method， calculate approach of recovery value and interest rate stochastic model. For validating applicability of new model， this paper calculates the value of a 10000 yuan loan whose term is 10 years and proportion of initial payment is 50%， and analyses influence of house price trend， the proportion of initial payment to principal， loan interest rate and term to mortgage value with Monte Carlo method. Results are very useful to banks in China to draw up or execute mortgage policy.

Key words:intensity model; mortgage for housing; pricing; Monte Carlo method

1 引言

自1998年住房體制改革以來，商業(yè)銀行不斷擴(kuò)大個人住房抵押貸款業(yè)務(wù)，持續(xù)火爆的房地產(chǎn)市場掩蓋了該業(yè)務(wù)的潛在風(fēng)險——違約風(fēng)險和提前償付風(fēng)險。國外銀行常用MBS（Mortgage Backed Securities）管理這兩種風(fēng)險。但目前我國金融市場流動性過剩，股票市場、房地產(chǎn)市場投資回報率顯著高于此類固定收益證券，種種原因使MBS近期內(nèi)失去了迅速、廣泛推行的動力。因此，如何及時發(fā)現(xiàn)、準(zhǔn)確衡量、積極防控這兩種風(fēng)險成為我國商業(yè)銀行迫切需要解決的問題。本文首先從微觀視角出發(fā)，衡量出違約和提前償付風(fēng)險對一份貸款價值的影響程度，進(jìn)而揭示我國房貸市場的宏觀風(fēng)險。最后以貸款價值最大化為目標(biāo)，對個人住房抵押貸款政策提出合理建議。

依據(jù)描述貸款人行為方法不同，住房抵押貸款定價模型可分為兩類：結(jié)構(gòu)化模型和簡約化模型。結(jié)構(gòu)化模型假定貸款人在最優(yōu)時點(diǎn)執(zhí)行期權(quán)，貸款人行為是由期權(quán)理論內(nèi)生給定的。結(jié)構(gòu)化模型的代表文獻(xiàn)有：Kau等［1］， Kariya、Kobayashi［2］， Nakagawa、Shouda［3］，戴建國、黃培清［4］，唐文進(jìn)、陳勇［5］，王明好等［6］。結(jié)構(gòu)化模型在經(jīng)濟(jì)環(huán)境波動大時適應(yīng)性較好，能準(zhǔn)確地捕捉到環(huán)境給貸款人選擇行為帶來的變化。然而，除重新募集資金外，貸款人提前償付的原因還有很多（例如，貸款人的某些不理性行為），導(dǎo)致結(jié)構(gòu)化模型的計算結(jié)果不能完全與觀測數(shù)據(jù)相吻合［7］。為了彌補(bǔ)這些不足，簡約化模型應(yīng)運(yùn)而生，代表文獻(xiàn)有：Stanton［8］，Downing等［9］。在簡約化模型中，通過外生化違約或提前償付概率，似乎解決了非理性的提前償付和違約問題，模型與實際數(shù)據(jù)也吻合得較好。但是簡約化模型是否能在不同的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中都有好的表現(xiàn)尚存疑問。

Kau、Keenan和Smurov［10，11］將強(qiáng)度模型引入住房抵押貸款定價研究（簡稱KKS模型）。Duffie等［12~14］創(chuàng)立的強(qiáng)度模型是簡約化模型與結(jié)構(gòu)化模型的有效整合，但其研究對象大都是企業(yè)債券和信用衍生品。強(qiáng)度模型放棄了對公司資產(chǎn)價值的假設(shè)，將公司的違約現(xiàn)象視為服從泊松過程的隨機(jī)事件，通過泊松過程的特征參數(shù)刻畫違約事件發(fā)生的可能性，即公司違約現(xiàn)象的發(fā)生取決于某些風(fēng)險強(qiáng)度［15］。KKS模型吸收強(qiáng)度模型的優(yōu)點(diǎn)，利用美國個人住房抵押貸款的歷史數(shù)據(jù)，更準(zhǔn)確地對其定價。但是此模型不盡完善，且它以美國個人住房抵押貸款市場為研究對象，不能完全適合中國市場。因此，本文從中國個人住房抵押貸款市場的實際出發(fā)，改進(jìn)了KKS模型的三個關(guān)鍵因素：折現(xiàn)方法、追償值計算和利率隨機(jī)模型。對每月的還款金額采用不同的折現(xiàn)率，用抵押房產(chǎn)價格和未償付本金的最小值取代KKS模型中的追償值，用雙曲利率模型取代KKS模型中的兩因素CIR利率模型。

2 定價模型的構(gòu)建

這里的研究對象是固定利率個人住房抵押貸款。為使模型更加符合實際，下面系統(tǒng)考察違約風(fēng)險、提前償付風(fēng)險和房產(chǎn)抵押三個因素對貸款價值的綜合影響。本文首先給出只存在違約風(fēng)險且追償值為零的普通貸款定價模型；進(jìn)而考慮抵押房產(chǎn)對貸款價值的提升作用，建立只存在違約風(fēng)險住房抵押貸款的定價模型；最后考慮提前償付風(fēng)險對貸款價值的影響，建立完整的固定利率住房抵押貸款強(qiáng)度定價模型。

2.1 存在違約風(fēng)險且追償值為零的普通貸款定價模型

考慮最簡單的情況，為無房產(chǎn)抵押只存在違約風(fēng)險且貸款追償值為零的普通貸款定價。假設(shè)貸款違約事件服從強(qiáng)度為λ(t)的泊松過程。在s時刻預(yù)測t時刻貸款的瞬時違約概率為h(s，t)：h(s，t)≈P(t<τt+Δt｜Fs，τt)，其中τ表示違約發(fā)生的時刻，F(xiàn)s表示s時刻可獲得的信息集，則λ(t)=h(t，t)。依據(jù)Duffie、Singleton的零息票債券定價模型［12］，假設(shè)違約率是一個外生隨機(jī)變量，且違約損失為違約發(fā)生時貸款市場價值的一部分，即違約發(fā)生時，按照貸款市價進(jìn)行補(bǔ)償。這樣就可以用無違約風(fēng)險的零息票債券的定價方法來對有違約風(fēng)險的債券進(jìn)行定價，貼現(xiàn)率是由無風(fēng)險瞬時利率r(t)加上違約強(qiáng)度λ(t)組成的調(diào)整利率。由于貸款現(xiàn)金流與零息票債券不同，貸款人每月償還部分本金和利息，所以本貸款定價模型與Duffie、Singleton的零息票債券定價模型不同的是對每月還款金額采用不同的折現(xiàn)率。在風(fēng)險中性測度Q下，期限為T、存在違約風(fēng)險、追償值為零的普通貸款在s時刻的價值為

其中M(i)表示貸款人第i月還款額。

2.2 存在違約風(fēng)險的個人住房抵押貸款定價模型

在(1)式基礎(chǔ)上，考慮房產(chǎn)抵押對貸款價值的影響。若貸款人違約，銀行可拍賣貸款人的抵押房產(chǎn)來償還貸款。設(shè)t時刻抵押房產(chǎn)價值為S(t)，S(t)既可設(shè)為靜態(tài)變量，也可隨時間動態(tài)變化?？蛇`約無提前償付的住房抵押貸款的價值Vdr(s，T)應(yīng)在(1)式基礎(chǔ)上增加抵押房產(chǎn)帶來的價值升水［11，13］，即

我國現(xiàn)行法律系統(tǒng)下，貸款人違約后銀行有權(quán)拍賣其抵押房產(chǎn)，拍賣所得款項首先用于支付貸款余額，剩余部分歸貸款人所有?；诖?，本文選用與以往研究不同的追償值計算方法：違約時刻t抵押房產(chǎn)價格S(t)和未償付本金Mt的最小值，即min(s(t)，Mt)。

2.3 存在違約風(fēng)險和提前償付風(fēng)險的個人住房抵押貸款定價模型

基于Duffie［14］的思想，將(2)式中的λ(t)用λd(t)+λp(t)取代后便可得到擴(kuò)展模型，其中λd(t)表示違約強(qiáng)度，λp(t)表示提前償付強(qiáng)度。只是貸款人提前償付時，銀行得到的追償值是未償付本金Mt，與違約時不同，需要分開計算。故在風(fēng)險中性測度Q下，期限為T、存在違約風(fēng)險和提前償付風(fēng)險的個人住房抵押貸款在s時刻的價值為

Vdrp(s，T)=EQ{∑T×12[]i=1e-∫i/12s［(r(u)+λd(u)+λp(u)］duM(i)}+EQ{∫Tse-∫ts［(r(u)+λd(u)+λp(u)］du［λd(t)min(s(t)，Mt)+λp(t)Mt］dt}(3)

3 某些參數(shù)變量的刻畫

違約強(qiáng)度λd(t)、提前償付強(qiáng)度λp(t)、無風(fēng)險利率r(t)、抵押房產(chǎn)的價格S(t)四個隨機(jī)變量的變動規(guī)律和還款方式的選擇直接影響貸款價值，下面將詳細(xì)考察這四個隨機(jī)變量的變動規(guī)律和兩種常用還款方式的M(i)計算公式。

3.1 違約強(qiáng)度和提前償付強(qiáng)度模型的選擇 

與多數(shù)簡約化模型一樣，本文模型也蘊(yùn)含著雙隨機(jī)的特征：貸款合同終止的時刻不能確定，且各時刻合同終止的可能性也無法預(yù)先確定，所以模型中實際的違約停時和這些違約停時出現(xiàn)的概率都定義為隨機(jī)過程。(3)式中的違約強(qiáng)度和提前償付模型都采用比例危險模型。

λl(t)=eβlXTλ0l(t)l=d，p(4)

其中X表示違約強(qiáng)度或提前償付強(qiáng)度的影響因素向量，βl表示這些影響因素對應(yīng)的系數(shù)向量。影響因素向量X=（初始LTV，初始LTV的平方，貸款利率，貸款利率的平方，價差，價差的平方，貸款規(guī)模對數(shù)，貸款規(guī)模對數(shù)的平方，基點(diǎn)，基點(diǎn)的平方）［10］。其中LTV是loan to value的縮寫，表示貸款價值比；價差是貸款利率和十年期國債收益率之差；基點(diǎn)為銀行收取的前期費(fèi)用與貸款本金之比?，F(xiàn)有應(yīng)用比例風(fēng)險模型來估計違約和提前償付風(fēng)險的文獻(xiàn)大都只關(guān)注風(fēng)險影響因素向量X，往往忽視基線函數(shù)λ0l(t)的選取，導(dǎo)致貸款定價模型的模擬結(jié)果不夠準(zhǔn)確。因此，本文采用Cox、Ingersoll和Ross(CIR)過程作為基線函數(shù)［11］，即

其中λ0d(t)表示違約強(qiáng)度的基線函數(shù)，λ0p(t)表示提前償付強(qiáng)度的基線函數(shù)；WQd(t)和WQp(t)表示兩個相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動。在實際估計中，依據(jù)先前的經(jīng)驗估計和結(jié)構(gòu)化模型的模擬，貸款違約概率隨時間變化的趨勢表現(xiàn)為從貸款簽定時一個很小的值較快地增大到頂點(diǎn)，然后再慢慢地減小。所以(5)式中的θd(t)可以假定服從不規(guī)則的χ2分布

而提前償付強(qiáng)度基線函數(shù)的系數(shù)θp(t)采用六次多項式模型來求解。

3.2 利率模型的選擇

(3)式中的利率模型r(t)擬選用雙曲模型，因為文獻(xiàn)［16］論證雙曲模型是描述中國貨幣市場利率動態(tài)變化的最佳單因子利率模型。文獻(xiàn)［16］使用Ait-Sahalia提出的近似極大似然估計得到參數(shù)估計值，在去掉一般模型Ait-Sahalia模型的兩個不顯著異于零的參數(shù)(α1，α2)之后，得到一個非線性單因子利率模型——雙曲模型

dr(t)=［α-1/r(t)+α0］dt+σr［r(t)］3/2dWQt(8)

這一模型的漂移項是一雙曲線方程，r(t)>0，因此它只包括雙曲線橫軸以上部分。

3.3 房產(chǎn)價格模型的選擇

本文假定房產(chǎn)價格S(t)符合幾何布朗運(yùn)動。

dS(t)=aS(t)dt+ σSS(t)dWQt(9)

3.4 貸款現(xiàn)金流的選擇

現(xiàn)在銀行采用的個人住房抵押貸款還款方式主要有以下兩種：等額本金還款方式和等額本息還款方式。貸款人第i月還款額為

M(i)=M0[]n+M01-(i-1)[]nR*[]12等額本金還款方式M0R*[]12（1+R*[]12）n[]（1+R*[]12）n-1 等額本息還款方式(10)

其中M0表示貸款本金，R*表示住房抵押貸款年利率，n表示住房抵押貸款期限的月數(shù)。

4 定價的蒙特卡羅模擬

住房抵押貸款結(jié)構(gòu)化定價模型的求解基本上只能采用倒向遞推法。而強(qiáng)度模型可以簡單地采用正向遞推法求解，例如蒙特卡羅方法。倒向遞推法在驅(qū)動變量的數(shù)目上有更多的限制，在實際計算時驅(qū)動變量的數(shù)目都限制在兩個或三個。正向遞推法就沒有這種限制，強(qiáng)度模型的利率和違約強(qiáng)度期限結(jié)構(gòu)可以選擇更多變量，使擬合更加符合實際要求。

4.1 參數(shù)設(shè)置

依據(jù)國家統(tǒng)計局提供的1998年到2006年每季度的商品房銷售價格指數(shù)，(9)式參數(shù)估計的結(jié)果是a=0.401，σS=0.892。

依據(jù)文獻(xiàn)［10］的參數(shù)估計結(jié)果，結(jié)合我國金融市場實際，設(shè)置參數(shù)如表1所示。

圖1 1998~2006年每季度商品房銷售價格指數(shù)

注：國家統(tǒng)計局提供的商品房銷售指數(shù)是在假設(shè)上年同期指數(shù)等于100的前提下得到的，所以本文按季度畫出四條1998年到2006年的商品房銷售價格指數(shù)曲線，利用這四條指數(shù)曲線分別估計出四組(9)式的參數(shù)值，分別對參數(shù)a和參數(shù)σS的四個估計結(jié)果求均值作為(9)式參數(shù)a和參數(shù)σS的取值。

4.2 穩(wěn)定性測試

按照表1的參數(shù)重復(fù)計算一份采用等額本息還款方式、貸款利率7%、10年期的10萬元個人住房抵押貸款價值20次，得到的貸款價值在［1.107×105，1.1075×105］區(qū)間內(nèi)，均值為1.10712×105，方差為4.556×103。結(jié)果表明，本住房抵押貸款定價模型穩(wěn)定性較好，可滿足商業(yè)銀行住房抵押貸款定價的要求。

4.3 結(jié)果分析

(1)房價趨勢對住房抵押貸款價值的影響?yīng)?/p>

由于個人住房抵押貸款的貸款周期較長，此間我國經(jīng)濟(jì)環(huán)境可能發(fā)生重大改變，比如房價出現(xiàn)迅速下滑，所以非常有必要考察房價趨勢變化對住房抵押貸款價值的影響程度。通過改變蒙特卡羅模擬定價程序中房屋價格變動隨機(jī)過程（9）式的參數(shù)a和σS的大小，得到圖2。圖2表明，住房抵押貸款的價值隨著a的減小而減小，隨著σS的減小而增大。當(dāng)房屋價格的波動率σS比較小（即σS<0.2）且趨勢上漲（即a>0）時，房屋價格增速的變化對住房抵押貸款的價值影響不大。這是因為此種情況下，貸款人違約時房價總是大于未償付貸款余額，銀行可以收回全部本金。但是當(dāng)a小于某一值后貸款價值迅速下降，σS=0.2時，轉(zhuǎn)折點(diǎn)為a=0；轉(zhuǎn)折點(diǎn)的位置隨著σS的增大而上移。通過前面的分析可見住房抵押貸款價值受房地產(chǎn)市場影響巨大，一旦我國房產(chǎn)價格出現(xiàn)下滑或波動增大，住房抵押貸款價值將跌破本金，令銀行遭受巨大損失。所以銀行在積極擴(kuò)展個人住房抵押貸款業(yè)務(wù)時，必須充分防范房地產(chǎn)市場風(fēng)險。

(2)首付比例、貸款利率、貸款期限對住房抵押貸款的影響?yīng)?/p>

本文的住房抵押貸款強(qiáng)度模型共有47個參數(shù)，許多參數(shù)是通過歷史數(shù)據(jù)估計出來的，而不是人為設(shè)置的，因此，這些參數(shù)的變化對住房抵押價格的影響本文不做研究。本文主要分析可人為調(diào)控的參數(shù)——首付比例、貸款利率、貸款期限，對住房抵押貸款價值的影響。

圖3的橫坐標(biāo)是貸款與抵押房產(chǎn)價格的比例，等于1減去貸款首付比例。在其他影響因素不變的情況下，住房抵押貸款的價值和貸款與抵押房產(chǎn)價值的比例負(fù)相關(guān)，和首付比例正相關(guān)。首付比例大于30%時，貸款價值受首付比例的影響不大； 首付比例小于30%時貸款價值隨首付比例的下降迅速減小。為了保證信貸資產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)性，控制信貸風(fēng)險，銀行在制定個人住房抵押貸款政策時，應(yīng)把最小首付比例定為30%。不能為了擴(kuò)大貸款業(yè)務(wù)，而降低最小首付比例。

圖4顯示，若其他影響因素保持不變，住房抵押貸款價值與貸款利率成正比。貸款利率每升高1%，規(guī)模為10萬元的住房抵押貸款的價值大約增加0.2萬元。

圖5顯示，當(dāng)貸款期限小于30年時，住房抵押貸款的價值隨著貸款期限的增加緩慢升高；當(dāng)貸款期限超過30年時，住房抵押貸款價值隨著貸款期限的增加而迅速降低。為了控制信貸風(fēng)險，保證信貸資產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)性，個人住房抵押貸款最長期限應(yīng)嚴(yán)格限定為30年。

5 結(jié)論

本文從中國個人住房抵押貸款市場的實際出發(fā)，發(fā)展了KKS住房抵押貸款強(qiáng)度定價模型。對每個月的還款金額M（i）采用不同的折現(xiàn)率，用抵押房產(chǎn)價格S(t)和未償付本金的最小值取代KKS模型中的追償值W（t），用雙曲模型取代KKS模型中的兩因素CIR利率模型。為了驗證方法的適用性，應(yīng)用蒙特卡羅方法對新模型進(jìn)行模擬檢驗，得出了一份10年期、首付50%、本金10萬元的住房抵押貸款的價值為11萬元左右。并且考察了房價趨勢、首付比例、貸款利率、貸款期限的變化對住房抵押貸款價值的影響程度。需要強(qiáng)調(diào)的是，為了保證信貸資產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)性，嚴(yán)防信貸風(fēng)險，銀行在制定個人住房抵押貸款政策時，應(yīng)把最小首付比例定為30%，最長貸款期限定為30年。關(guān)于貸款定價的研究還有很多方面的工作需要開展，我們將利用投資組合方法［17］研究貸款組合的定價，利用跳躍-擴(kuò)散過程［18］模擬房價變動。參 考 文 獻(xiàn)：

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