基于提前支付強(qiáng)度過程的抵押貸款定價(jià)與均衡

摘 要：基于提前支付強(qiáng)度過程考察了固定利率抵押貸款合同的定價(jià)和市場均衡問題。將均衡問題描述成代表性抵押人與市場之間的博弈。均衡由市場決定的內(nèi)生抵押貸款利率和抵押人的最優(yōu)再融資策略描述。在時(shí)齊Markov鏈利率及正線性比例再融資成本假設(shè)下，抵押人的規(guī)劃問題可以簡化成一個(gè)僅包含三個(gè)離散狀態(tài)變量的Markov決策鏈，且一定存在唯一解。從而，均衡可由一個(gè)抵押利率決定函數(shù)和抵押人的最優(yōu)再融資策略組成。一個(gè)簡單的數(shù)值例子說明了計(jì)算均衡的迭代算法。結(jié)果表明，抵押人選擇再融資往往是不明智的短視行為。

關(guān)鍵詞：抵押貸款；提前支付強(qiáng)度過程；Markov決策鏈；內(nèi)生抵押貸款利率

中圖分類號：F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5192（2008）05-0069-06

Valuation and Equilibrium of Mortgage: An Intensity-based Approach

QIAN Yan-xiang

(School of Finance， Shanghai University of Finance and Economics， Shanghai 200433， China)

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Abstract:Based on prepayment intensity process， the valuation of fixed-rate mortgage contracts is studied and an equilibrium model is built with the specification of a game between the representative mortgagor and the market whose optimal strategy are about the endogenous mortgage rates and whether to refinance a new contract or continue with the current one， respectively. Under the assumption of the rate process of time-homogeneous Markov chain and positive linear refinancing cost， the dynamic programming problem of the mortgagor is simplified to a Markov decision chain with only three discrete state variables which is proved， by standard dynamic programming theory， to have a unique solution. Thus， the equilibrium can be given by a pair of the endogenous rate and the optimal refinancing strategy of the mortgagor. A simple numerical example with an iteration algorithm is finally provided to show how to compute the equilibrium. The results show that the mortgagor is usually too hasty to refinance， thus refinancing is typically a myopic behavior.

Key words:mortgage; prepayment intensity process; Markov decision chain; endogenous mortgage rate

1 引言

抵押貸款（mortgage）的定價(jià)是抵押貸款證券化的核心問題。一般認(rèn)為，抵押貸款合同的價(jià)值依賴于提前支付風(fēng)險(xiǎn)（prepayment risk）和違約風(fēng)險(xiǎn)（default risk）。前者指貸款人（如銀行）允許抵押人（mortgagor）在到期日之前就償還當(dāng)前的貸款余額。后者指抵押人選擇放棄抵押財(cái)產(chǎn)而不繼續(xù)還款。如果不存在違約風(fēng)險(xiǎn)，那么僅僅包含提前支付風(fēng)險(xiǎn)的抵押貸款合同的價(jià)值等于未來現(xiàn)金流（抵押人的付款）的期望現(xiàn)值。抵押貸款可以分為固定利率抵押貸款（fixed-rate mortgage）和浮動(dòng)利率抵押貸款（floating-rate mortgage）。這里的固定和浮動(dòng)是針對合同約定的貸款利率而言的。對于固定利率抵押貸款，抵押人每期支付一個(gè)固定的金額（coupon）。浮動(dòng)利率抵押貸款的估值可以非常復(fù)雜，所以關(guān)于抵押貸款合同估值的文獻(xiàn)大多是考察固定利率的情況。

已有文獻(xiàn)通常采用兩類方法來計(jì)算抵押貸款合同價(jià)值。一種稱為結(jié)構(gòu)模型（structured models），將提前支付看成一種期權(quán)，稱之為再融資（refinancing）期權(quán)。因此，這種方法也稱為期權(quán)法。抵押人將作出再融資決策，這類似于美式期權(quán)的提前執(zhí)行（early exercise）決策。Dunn and McConnell較早采用基于期權(quán)的方法對抵押貸款進(jìn)行估值［1］。后來的Stanton也通過考察抵押人理性提前支付行為對抵押貸款估值［2］。Kalotay et al.通過利率的網(wǎng)格模型，利用逆向計(jì)算得到合同價(jià)值［3］。以上這三篇文獻(xiàn)都假設(shè)抵押貸款利率服從外生的隨機(jī)過程。而Stanton and Wallace以及Dunn and Spatt的模型中包含了內(nèi)生的抵押貸款利率，這些內(nèi)生抵押利率依賴于模型中的其他參數(shù)［4，5］。然而，這些模型的一個(gè)缺陷是假設(shè)條件不夠清晰。另外，黃培清和戴建國在充分研究抵押貸款價(jià)值對于提前支付行為的二階性質(zhì)的基礎(chǔ)上，確定了有關(guān)提前支付的無風(fēng)險(xiǎn)利率臨界條件，得到了提前支付概率的精確公式和抵押貸款定價(jià)的期望值模型［6］。唐文進(jìn)和陳勇運(yùn)用交替方向隱性有限差分法對住房抵押貸款合同的價(jià)值進(jìn)行數(shù)值分析，結(jié)果表明，由于提前支付期權(quán)和違約期權(quán)的存在，貸款合同的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于貸款總額。另外，他們還發(fā)現(xiàn)，房屋價(jià)格的波動(dòng)幅度與抵押貸款合同的價(jià)值負(fù)相關(guān)，而利率波動(dòng)幅度與抵押貸款合同的價(jià)值正相關(guān)。從而，他們認(rèn)為減少商業(yè)銀行面臨的提前償還風(fēng)險(xiǎn)和違約風(fēng)險(xiǎn)，住房抵押貸款合同需要使用浮動(dòng)利率貸款［7］。關(guān)于“需要采用浮動(dòng)利率貸款來減少風(fēng)險(xiǎn)”這一觀點(diǎn)，還存在可商榷之處。

另一種方法稱為簡約模型（reduced-form models），一般建立的是抵押貸款合同的價(jià)值關(guān)于若干服從外生隨機(jī)過程的風(fēng)險(xiǎn)因子的統(tǒng)計(jì)模型。Schwartz and Torous引入風(fēng)險(xiǎn)率（hazard rate）的概念，通過一個(gè)二因子模型導(dǎo)出抵押貸款合同價(jià)值滿足的偏微分方程［8］。另外，Deng以及Deng et al.也采用了類似的處理方法［9，10］。袁桂秋等分別考察了固定利率和浮動(dòng)利率抵押貸款定價(jià)問題［11，12］；王明好等利用跳躍—擴(kuò)散模型模擬利率隨機(jī)過程，結(jié)合我國借款人行為特點(diǎn)建立提前償還比例危險(xiǎn)模型，運(yùn)用Monte Carlo模擬方法研究了浮動(dòng)利率抵押貸款支持證券（MBS）的定價(jià)。他們的模擬結(jié)果表明，利率跳躍的頻率、跳躍幅度的波動(dòng)越大，證券價(jià)格越大；而利率跳躍幅度的均值越大，證券價(jià)格卻越?。?3］。

風(fēng)險(xiǎn)率被廣泛用于信用風(fēng)險(xiǎn)的違約模型中，一個(gè)重要的概念是所謂的強(qiáng)度過程（intensity process）。Goncharov最近將強(qiáng)度過程引入抵押貸款合同的估值模型，將抵押貸款的提前支付時(shí)點(diǎn)類比為信用風(fēng)險(xiǎn)中考慮的違約時(shí)點(diǎn)，并在一個(gè)連續(xù)時(shí)間框架下計(jì)算出內(nèi)生的抵押貸款利率［14］。Goncharov的一個(gè)重要特點(diǎn)是兩種流行估值方法的統(tǒng)一，即考察最優(yōu)再融資決策，其中又包含反映風(fēng)險(xiǎn)率的強(qiáng)度過程。另外，Gorovoy and Linetsky也基于強(qiáng)度過程對住房抵押貸款進(jìn)行估值，提出了一個(gè)易于進(jìn)行解析處理的模型［15］。

本文采用類似于Goncharov的方法，即引入強(qiáng)度過程來描述抵押人的提前支付行為，不同的是采用離散時(shí)間框架，即：（1）假定相關(guān)參數(shù)服從離散的隨機(jī)過程（Markov鏈）；（2）采用離散復(fù)利。連續(xù)復(fù)利一般更便于理論分析，本文采用離散復(fù)利的目的在于使得問題處理方法及結(jié)果與金融機(jī)構(gòu)的實(shí)踐更加接近。本文的模型中也包含對內(nèi)生抵押貸款利率的計(jì)算，但與Stanton and Wallace以及Dunn and Spatt模型中依賴于合同年齡（合同簽訂之日到當(dāng)前時(shí)間所經(jīng)歷的時(shí)期數(shù)）的內(nèi)生抵押利率不同。

由于抵押貸款利率的內(nèi)生性，如果抵押人改變最優(yōu)再融資行為，則市場上的抵押貸款利率會發(fā)生變化，也就是說，內(nèi)生的抵押貸款利率是依賴于抵押人的最優(yōu)再融資行為的。因此，這里面存在一個(gè)均衡問題。

本文接下來的結(jié)構(gòu)安排如下：首先，提出均衡問題的基本特征和分析思路。事實(shí)上，這里的均衡問題可以看成一個(gè)博弈模型，博弈的一方為代表性抵押人，另一方為市場。代表性抵押人在給定的抵押貸款利率下選擇最優(yōu)的再融資策略；市場對代表性抵押人的最優(yōu)策略作出反應(yīng)，選擇一個(gè)使得競爭性市場無套利機(jī)會的抵押貸款利率。其次，分別考察抵押人的最優(yōu)再融資決策和市場的反應(yīng)。其中，抵押人的最優(yōu)決策問題用一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃來描述。接著，利用某些隱含關(guān)系，對動(dòng)態(tài)規(guī)劃進(jìn)行簡化，從而允許在可接受的計(jì)算復(fù)雜性（computational complexity）下求解最優(yōu)策略。隨后給出一個(gè)簡單的數(shù)值例子，從中可以發(fā)現(xiàn)一些博弈參與者的基本行為特征。最后對本文的模型和分析結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，并提出一個(gè)可能的再研究方向。

2 均衡問題的描述

考慮一個(gè)固定利率抵押貸款市場。無風(fēng)險(xiǎn)利率和抵押貸款利率服從時(shí)齊的Markov鏈（r，M），其中r={rt：t=1，2…}為可預(yù)測的無風(fēng)險(xiǎn)利率過程，M={Mt：t=0，1，2，…}為抵押貸款利率過程。注意，這里的抵押貸款利率指的是從當(dāng)前時(shí)間t開始生效的期限為N的固定利率抵押貸款合同的約定利率。這里定義的兩個(gè)隨機(jī)過程的時(shí)間指標(biāo)與貸款合同固定支付的時(shí)間指標(biāo)是一致的。比如，若約定每月末支付，則以上兩個(gè)利率表示的是在支付日的隨機(jī)值。一個(gè)合理的假設(shè)是兩種利率均只能取有限個(gè)可能值，從而（r，M）的狀態(tài)空間是有限的。合同約定的固定貸款利率為m，抵押人每期支付固定金額c，共需支付N期。

假定貸款沒有違約風(fēng)險(xiǎn)，僅包含提前支付風(fēng)險(xiǎn)，即合同允許抵押人在到期日之前提前支付貸款余額。提前支付滿足如下特性：（1）只能在某次固定支付發(fā)生后立即提前支付；（2）提前支付的金額必須等于貸款余額；（3）每次提前支付伴隨著一次再融資，即重新獲得一個(gè)固定利率為Mt期限為N的貸款，并需要支付一定比例的再融資成本，即如果當(dāng)前貸款余額為P，則再融資成本為kP，其中，k為一個(gè)嚴(yán)格正的常數(shù)。

在這樣的設(shè)定下，均衡問題可以由下面兩部分描述：

第一，抵押人的問題：在既定的外生利率Markov鏈下，選擇具有最小期望現(xiàn)值的再融資計(jì)劃。這可以描述為一個(gè)Markov決策鏈。狀態(tài)變量包括：（1）無風(fēng)險(xiǎn)利率r；（2）抵押貸款利率M；（3）合同約定利率m；（4）每期固定支付c；（5）已支付的時(shí)期數(shù)n；（6）當(dāng)前貸款余額P。

第二，市場的問題：給定抵押人的最優(yōu)再融資決策，利用無套利條件設(shè)定一個(gè)競爭性的內(nèi)生抵押貸款利率。這個(gè)內(nèi)生利率可以從抵押貸款合同的估值模型中導(dǎo)出。

這樣，最終的均衡可以表示為{m（#8226;）；s}，其中，函數(shù)m（#8226;）為市場的最優(yōu)策略，即對內(nèi)生抵押貸款利率的設(shè)定方案；s為代表性抵押人的最優(yōu)再融資策略，即對于狀態(tài)向量的每一個(gè)取值，都給出最優(yōu)的選擇：繼續(xù)持有貸款或進(jìn)行再融資。

3 市場的問題：內(nèi)生抵押貸款利率

先考察市場的問題。內(nèi)生利率由抵押貸款合同的價(jià)值方程在無套利條件下決定。為了給出合同的價(jià)值，首先對抵押人的提前支付行為作出更正式的描述，即定義一個(gè)提前支付強(qiáng)度過程。若提前支付在第t次固定支付后立即發(fā)生，而且在這次固定支付之前從來沒有發(fā)生，則強(qiáng)度過程可以定義為z={zt：t=1，2，…，N}，其中

在競爭性市場上，無套利條件要求任何抵押貸款合同的初始價(jià)值必須等于貸款初始余額，即V=P0。將這一等式代入(7)式，很容易發(fā)現(xiàn)，內(nèi)生抵押貸款利率必須滿足下式

r1-m=E［∑N-1[]i=1(m-ri+1)βi∏i[]j=1dj+1(1-zj)］(11)

注意到，由利率的時(shí)齊Markov鏈假設(shè)，(11)式中的期望可看作是以r1的當(dāng)前值為條件的。這一特征可以作為后面簡化動(dòng)態(tài)規(guī)劃狀態(tài)變量的一個(gè)前提。

4 抵押人的問題：最優(yōu)再融資策略

下面進(jìn)一步考察抵押人的最優(yōu)再融資問題?？梢园l(fā)現(xiàn)，抵押人的Markov決策鏈包含6個(gè)狀態(tài)變量，其中有連續(xù)變量（如P）和離散變量。不過，利用某些隱含條件和假設(shè)可以減少部分變量，從而簡化動(dòng)態(tài)規(guī)劃的求解。

首先，注意到問題中包含的兩個(gè)特征：（1）內(nèi)生抵押貸款利率關(guān)于無風(fēng)險(xiǎn)利率的條件依賴性；（2）利率隨機(jī)過程與固定支付時(shí)間指標(biāo)的一致性，從而可以假設(shè)當(dāng)前的抵押貸款利率與隨后市場的無風(fēng)險(xiǎn)利率之間存在一個(gè)確定的函數(shù)關(guān)系m(#8226;)，即

Mt=m(rt+1)， t=0，1，2，…(12)

因此，可以將Mt從狀態(tài)變量集中去掉。

其次，由貸款余額方程可知，固定支付c、約定抵押利率m、已支付次數(shù)n及貸款余額P之中，可以去掉一個(gè)變量。這里我們保留m、n和P。

至此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃僅剩4個(gè)狀態(tài)變量r、m、n和P，這樣可以大大減少動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的計(jì)算量。令v(m，n，P，r)表示動(dòng)態(tài)規(guī)劃的價(jià)值函數(shù)，則動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程為

這意味著，若抵押人進(jìn)行再融資，則合同的期望現(xiàn)值將大于不進(jìn)行再融資時(shí)的值。因此，抵押人可能會過于關(guān)注每期的固定支付，往往會僅僅為了更少的固定支付選擇了再融資。他并沒有看到新產(chǎn)生的貸款具有完整的期限，而現(xiàn)有的貸款可能已經(jīng)接近到期日了。從而，新貸款產(chǎn)生的期望現(xiàn)值往往大于現(xiàn)有貸款剩余的期望現(xiàn)值。所以，抵押人作出再融資決策可能是非常不明智的。

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6 結(jié)論

本文基于提前支付強(qiáng)度過程考察了固定利率抵押貸款合同的定價(jià)和市場均衡問題。將均衡問題描述成代表性抵押人與市場之間的博弈，代表性抵押人在給定的抵押貸款利率下選擇最優(yōu)的再融資策略；市場對代表性抵押人的最優(yōu)策略作出反應(yīng)，選擇一個(gè)使得競爭性市場無套利機(jī)會的抵押貸款利率。均衡由市場決定的內(nèi)生抵押貸款利率和抵押人的最優(yōu)再融資策略描述。在無風(fēng)險(xiǎn)利率和抵押貸款利率服從時(shí)齊Markov鏈的假設(shè)條件下，抵押人的問題由一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃（Markov決策鏈）表達(dá)。在線性比例再融資成本假設(shè)下，規(guī)劃問題可以簡化成一個(gè)僅包含三個(gè)離散狀態(tài)變量的等價(jià)規(guī)劃。這個(gè)等價(jià)規(guī)劃一定存在唯一解。從而，均衡可由一個(gè)抵押利率決定函數(shù)和抵押人的最優(yōu)再融資策略組成。一個(gè)簡單的數(shù)值例子說明了計(jì)算均衡的迭代算法。結(jié)果表明，抵押人選擇再融資往往是不明智的。

本文給出的例子似乎過于簡單，比如，利率的狀態(tài)空間可能包含更多的狀態(tài)；貸款的期限可能更長，從而固定支付次數(shù)要大得多。此時(shí)，問題的計(jì)算量將會非常大。因此，求解動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算均衡需要更有效的算法。

參 考 文 獻(xiàn)：

［1］Dunn K B， McConnell J J. Valuation of gnma mortgage-backed securities［J］. The Journal of Finance， 1981， 36(3): 599-616.

［2］Stanton R. Rational prepayment and the valuation of mortgage-backed securities［J］. Review of Financial Studies， 1995， 8(3): 677-708.

［3］Kalotay A， Yang D， Fabozzi F J. An option-theoretic prepayment model for mortgages and mortgage-backed securities［J］. International Journal of Theoretical and Applied Finance， 2004， 7(8): 949-978.

［4］Stanton R， Wallace N. Mortgage choice: what’s the point［J］. Real Estate Economics， 1998， 26(2): 173-205.

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［6］黃培清，戴建國.住房抵押貸款的提前支付特性及其定價(jià)［J］.系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用，2001，10(2):33-36.

［7］唐文進(jìn)，陳勇.住房抵押貸款定價(jià)模型與數(shù)值分析［J］.數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2006，23(3):59-67.

［8］Schwartz E S， Torous W N. Prepayment and the valuation of mortgage-backed securities［J］. The Journal of Finance， 1989， 44(2): 375-392.

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［10］Deng Y， Quigley J M， van Order R. Mortgage terminations， heterogeneity and the exercise of mortgage options［J］. Econometrica， 2000， 68(2): 275-307.

［11］袁桂秋，姜禮尚，羅俊.固定支付利率的抵押貸款定價(jià)理論——限于在支付日提前支付或違約［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐， 2003，23(9):49-56.

［12］袁桂秋，金能.無違約風(fēng)險(xiǎn)的可調(diào)支付利率抵押貸款定價(jià)原理［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2004，19(2):27-32.

［13］王明好，陳忠，李麗.基于跳躍-擴(kuò)散利率模型的浮動(dòng)利率抵押貸款支持證券定價(jià)研究［J］.管理工程學(xué)報(bào)， 2007，21(1):82-87.

［14］Goncharov Y. An intensity-based approach to the valuation of mortgage contracts and computation of the endogenous mortgage rate［J］. International Journal of Theoretical and Applied Finance， 2006， 9(6): 889-914.

［15］Gorovoy V， Linetsky V. Instensity-based valuation of residential mortgages: an analytically tractable model［J］. Mathematical Finance， 2007， 17(4): 541-573.