GeoGebra與高中數(shù)學(xué)課程融合探究
——以圓錐曲線與方程為例

陳俊藝

(福建省晉江市毓英中學(xué)，福建晉江，362251)

圓錐曲線與方程是平面解析幾何中的重要內(nèi)容，重點(diǎn)研究圓錐曲線方程的建立以及利用方程研究曲線的幾何性質(zhì).基本思路是基于所研究圖形的幾何特性，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并代數(shù)化表達(dá)幾何圖形，借助代數(shù)運(yùn)算變形等手段分析圖形的代數(shù)表征，獲得并解釋代數(shù)結(jié)論，了解幾何圖形的性質(zhì)并解決問題.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:“教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合, 實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.” Geogebra是一款兼具代數(shù)與幾何功能的動態(tài)作圖軟件，在圓錐曲線教學(xué)中通過Geogebra直觀展示圖形的變化過程，探索運(yùn)動變化過程中的不變性與規(guī)律性，再通過代數(shù)的方法加以證明. 引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，幫助他們理解數(shù)學(xué).下面通過幾個案例，探究GeoGebra與高中數(shù)學(xué)課程融合的方式.

1 案例分析

1.1 軌跡問題

探究動點(diǎn)的軌跡問題是解析幾何中的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，如何根據(jù)已知條件，尋找點(diǎn)運(yùn)動的規(guī)律，構(gòu)建出軌跡，求出軌跡方程，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)都有較高的要求.借助GeoGebra可以把軌跡的形成過程動態(tài)地呈現(xiàn)出來，實(shí)現(xiàn)問題的可視化探究，這是傳統(tǒng)教學(xué)方式比較難于達(dá)到的.

案例1圓O的半徑為定長r,A是圓O內(nèi)一定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

教學(xué)分析：我們可以先通過實(shí)驗(yàn)觀察，直覺地猜想出軌跡，再進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明.

具體操作：

(1) 在繪圖區(qū)的空白位置使用“圓(圓心與一點(diǎn))”工具繪制圓O,在圓O內(nèi)任取一點(diǎn)A，同時在圓O上任取一點(diǎn)P；

(2) 使用“線段”工具繪出線段AP，使用“直線”工具繪出OP；

(3) 使用“中垂線”工具，點(diǎn)擊線段AP，得到中垂線l；

(4) 使用“交點(diǎn)”工具繪制直線l與OP的交點(diǎn)Q；

(5) 使用“軌跡”工具，依次點(diǎn)選點(diǎn)Q和點(diǎn)P，得到點(diǎn)Q的軌跡，通過觀察可以得出點(diǎn)Q的軌跡是一個橢圓(如圖1所示).

圖1

代數(shù)證明：因?yàn)閨QP|=|QA|，而|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=r(定值).

因A在圓內(nèi)，所以|OA|<|OP|=r.

由橢圓的定義知，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓.

借助GeoGebra我們還可以探究以下變式：

變式：將線段OP改為直線，“A是圓O內(nèi)一定點(diǎn)”，改為“A是圓O外一定點(diǎn)”，其余條件不變，再觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象變化，又能得到什么樣的軌跡？

1.2 圓錐曲線的性質(zhì)

洞察幾何對象的幾何特征，并選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系將其準(zhǔn)確地代數(shù)化，從而通過代數(shù)運(yùn)算獲得曲線的幾何性質(zhì)，這對于學(xué)生理解解析幾何的基本思想方法和積累問題解決的經(jīng)驗(yàn)都是非常有益的.利用GeoGebra既可以方便作圖，又可以向?qū)W生演示動點(diǎn)的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生探究曲線的性質(zhì).

案例2離心率對橢圓形狀的影響

具體操作：

(1) 創(chuàng)建滑動條，定義參數(shù)e，并調(diào)整參數(shù)e的變化范圍；

(2) 作兩定點(diǎn).使用“描點(diǎn)”工具在坐標(biāo)系橫軸上任意繪制一點(diǎn)F1作為一個定點(diǎn)(即橢圓的一個焦點(diǎn))，再使用“中心對稱”工具，依次點(diǎn)選對稱的對象點(diǎn)F1和對稱中心點(diǎn)O，得到另一個定點(diǎn)F2(即橢圓的另一個焦點(diǎn))；

(4) 作點(diǎn)的軌跡——橢圓.

在x軸上繪制任意一點(diǎn)C，使用“線段”工具分別作它與A1和A2的連線段，使用“圓規(guī)(半徑與圓心)”工具，依次點(diǎn)選其中一條線段和F1，得到圓F1；再使用該工具，依次點(diǎn)選另外一條線段和F2，得到圓F2.調(diào)整點(diǎn)C的位置，使得得到的兩圓有兩個交點(diǎn)，使用“交點(diǎn)”工具描繪出這兩個交點(diǎn)，再使用“軌跡”工具，依次點(diǎn)選其中一個交點(diǎn)和點(diǎn)C，得到這個交點(diǎn)的軌跡，使用同樣的方法得到另外一個交點(diǎn)的軌跡，這樣就得到了所求的軌跡——橢圓；

(5) 研究離心率e對橢圓形狀的影響.

(為了觀察方便，隱藏一些無關(guān)的圖形因素)拖動滑動條，改變e的大小，觀察e對橢圓形狀的影響.拖動焦點(diǎn)F1的位置，觀察橢圓形狀的變化.(如圖2所示)

圖2

案例3圓錐曲線的統(tǒng)一定義

拋物線是到定點(diǎn)F和定直線l的距離之比e=1的點(diǎn)P的軌跡.這不禁使人思考：當(dāng)這個比值e(e>0)是一個不等于1的常數(shù)時，動點(diǎn)P的軌跡又是什么曲線呢？

教學(xué)分析：和案例1一樣，可以先通過實(shí)驗(yàn)觀察，猜想出軌跡，再進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明.

具體操作：

(1) 創(chuàng)建滑動條，定義參數(shù)e，并調(diào)整參數(shù)e的變化范圍；

(2) 使用“描點(diǎn)”工具和“直線”工具作出定點(diǎn)F和直線l；

(3) 依次點(diǎn)選點(diǎn)P和直線l使用“垂線”工具得到垂線PA，垂足為A，使用“線段”工具作出線段PA；

(4) 在輸入框內(nèi)輸入：D=(A+e*P)/(1+e),繪制點(diǎn)D，則點(diǎn)D為線段PA的定比分點(diǎn)；

(5) 依次點(diǎn)選點(diǎn)D，點(diǎn)A，使用“圓(圓心與一點(diǎn))”工具繪制圓D，使用“對象上的點(diǎn)”工具在圓上作出的動點(diǎn)E；

(6) 連接線段DE，使用“直線”工具作出直線PE與直線l交于點(diǎn)G，點(diǎn)選點(diǎn)G，作出直線l的垂線k；

(7) 依次點(diǎn)選F和線段DE，使用“平行線”工具作出直線f，與直線k交于點(diǎn)P；

(8) 使用“軌跡”工具，依次點(diǎn)選點(diǎn)P和點(diǎn)E，得到點(diǎn)P的軌跡，(為了觀察方便，隱藏一些無關(guān)的圖形因素)拖動滑動條，改變e的大小,觀察軌跡的變化.

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們可以對圓錐曲線下一個統(tǒng)一的定義：

任意給定常數(shù)e(e>0)、點(diǎn)F和直線l(F?l)，設(shè)動點(diǎn)P到F的距離與到直線l的距離之比等于e，則P的軌跡是圓錐曲線(不包括圓)，其中F是這條圓錐曲線的焦點(diǎn)，l稱為它的準(zhǔn)線.

當(dāng)0

當(dāng)e>1時，P的軌跡是雙曲線；

當(dāng)e=1時，P的軌跡是拋物線.

圖3

1.3 試題探究

很多圓錐曲線試題蘊(yùn)含豐富的性質(zhì)，運(yùn)用GeoGebra軟件對這類題目進(jìn)行探索和拓展，可以幫助學(xué)生認(rèn)識和把握數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)， 發(fā)展直觀想象與數(shù)學(xué)建模的學(xué)科素養(yǎng).

案例4拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l:x=1交C于P,Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ．已知點(diǎn)M(2,0)，且⊙M與l相切．

(1) 求C，⊙M的方程；

(2) 設(shè)A1,A2,A3是C上的三個點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．

教學(xué)分析：根據(jù)題意容易得出拋物線C的方程為y2=x，⊙M的方程為(x-2)2+y2=1(過程略).下面利用GeoGebra軟件來探究第二問.利用Geogebra在拋物線C作出動點(diǎn)A1，再運(yùn)用“切線”命令作出⊙M的兩條切線，即可發(fā)現(xiàn)直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系.

具體操作：

(1) 在輸入框內(nèi)輸入：y^2=x,繪制拋物線C，輸入:(x-2)^2+y^2=1,繪制⊙M;

(2) 選擇拋物線C，使用“對象上的點(diǎn)”工具在拋物線C上作出動點(diǎn)A1.選擇點(diǎn)A1和⊙M，運(yùn)用“切線”命令作出⊙M的兩條切線，與拋物線C的兩個交點(diǎn)為A2,A3，并選取點(diǎn)A2,A3作出直線A2A3;

(3) 拖動A1點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)A1A2⊥x軸時，不滿足題意，其余位置直線A2A3與⊙M保持相切.如圖4所示.

圖4

通過觀察可以得出直線A2A3與⊙M相切的結(jié)論.下面還需要進(jìn)行代數(shù)的證明.從點(diǎn)A1引出圓的兩條切線，可以通過引入點(diǎn)A2,A3坐標(biāo),求出直線AB,AC的方程，再利用直線與圓相切這一條件構(gòu)造出兩個同構(gòu)方程，進(jìn)而解決問題.

代數(shù)證明： 設(shè)A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)，則y1,y2,y3兩兩互不相等.

直線A1A2的方程為：(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1).

整理得：x-(y1+y2)y+y1y2=0.

同理直線A1A3的方程為x-(y1+y3)y+y1y3=0.

直線A2A3的方程為x-(y2+y3)y+y2y3=0.

所以圓心M到直線A2A3的距離

所以直線A2A3與圓M相切.

2 結(jié)束語

GeoGebra軟件能在課堂上更好地促進(jìn)師生互動交流，也進(jìn)一步提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.軟件憑借其強(qiáng)大的功能，使學(xué)生產(chǎn)生探究知識的驅(qū)動力，為解析幾何的教與學(xué)提供了新的路徑，也為學(xué)生的解題提供新的思路，讓學(xué)生可以輕松地在數(shù)學(xué)海洋里暢爽遨游，這必然對提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)大有裨益.