解涉及彈簧類題的基本策略

用輕彈簧將物體連接起來(lái)，組成一個(gè)系統(tǒng)——這里我們把這類題為了方便敘述叫彈簧類題。解決這類題往往要涉及動(dòng)量守恒、動(dòng)量定理、機(jī)械能守恒、能量守恒等多種動(dòng)力學(xué)規(guī)律，綜合性強(qiáng)，難度大。所以深入剖析彈簧類綜合題，對(duì)幫助同學(xué)們弄清這類題物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出正確解決這類題的途徑，提高綜合解題能力，具有很好的指導(dǎo)作用。

1明確物體不同作用過(guò)程及滿足規(guī)律

我們先來(lái)看一個(gè)例題。

例1如圖1所示，設(shè)滑塊A，B的質(zhì)量m1=m2=2kg，用輕彈簧將二者連接起來(lái)，在光滑的水平面上以共同的速度v1=6m/s滑行，與靜止在同一直線上質(zhì)量m3=4kg的滑塊C碰撞并粘合在一起，求以后的運(yùn)動(dòng)中，彈簧的彈性勢(shì)能的最大值？

解析碰撞階段：設(shè)B、C粘合成一體時(shí)，速度為v2，由于碰撞過(guò)程極短彈簧還未來(lái)得及壓縮，水平方向不受外力，由動(dòng)量守恒有：

彈簧的壓縮階段：設(shè)彈簧被壓縮至最短時(shí)，共同速度為v3，由于水平方向不受外力，由動(dòng)量守恒得：

m1v1+(m2+m3)v2=(m1+m2+m3)v3②

設(shè)彈簧壓縮至最短時(shí)彈性勢(shì)能為Ep，由于在這個(gè)過(guò)程中只有彈簧的彈力做功，由機(jī)械能守恒得：

代入數(shù)字由①②③式聯(lián)立可得：

說(shuō)明只有在碰撞以后的過(guò)程中，機(jī)械能才是守恒的，因?yàn)锽、C的碰撞過(guò)程是完全非彈性碰撞，要損失機(jī)械能。

2高考實(shí)例解析

例2質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧的下端固定在地面上，平衡時(shí)，彈簧的壓縮量為x0，如圖2所示，一物體從鋼板的正上方距離為3x0的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，已知物塊質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)。若物塊的質(zhì)量為2m，仍從A處自由落下，若物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)，還具有向上的速度，求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離。

解析我們把整個(gè)過(guò)程分解為以下幾個(gè)階段：A的自由下落階段→A與m的碰撞階段→彈簧被壓縮至最短階段→彈簧的恢復(fù)至碰前位置階段→A、m分離→A做豎直上拋運(yùn)動(dòng)。

第一階段：物體由A自由下落3x0到達(dá)鋼板，設(shè)物塊到達(dá)鋼板的速度為v1，則由自由落體運(yùn)動(dòng)公式得：

第二階段：物體打在鋼板上，在極短時(shí)間內(nèi)與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，把物塊與鋼板看成系統(tǒng)，系統(tǒng)外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)物塊質(zhì)量為m時(shí)，共同向下的速度為v2，由動(dòng)量守恒得：

若物塊的質(zhì)量為2m，則共同向下運(yùn)動(dòng)的速度為v3，由動(dòng)量守恒得：

第三階段：物塊與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)會(huì)使彈簧進(jìn)一步壓縮，物塊與鋼板向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物塊質(zhì)量為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中，把物塊、鋼板、彈簧、地球看成系統(tǒng)，只有重力、彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)打擊時(shí)的彈性勢(shì)能為Ep，則有：

當(dāng)物塊的質(zhì)量為2m時(shí)，系統(tǒng)回到O點(diǎn)還具有向上的速度，設(shè)為v4，打擊時(shí)的彈性勢(shì)能還是Ep，由于在這個(gè)過(guò)程中，只有重力、彈力做功，所以機(jī)械能守恒，所以有：

第四階段：質(zhì)量為2m的物塊與鋼板回到O點(diǎn)具有向上的速度v4，一過(guò)O點(diǎn)，鋼板受彈簧向下的彈力，加速度大于重力加速度g，物塊只受重力的作用，加速度為g，所以物塊與鋼板在O點(diǎn)分離，物塊以豎直向上的初速度v4由O點(diǎn)作豎直向上拋體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知，物塊向上運(yùn)動(dòng)的最大高度h為：

聯(lián)立①②③④⑤⑥解得物塊向上運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)距O點(diǎn)的距離為：

例3在原子核物理中，研究核子關(guān)聯(lián)的最有效的途徑是“雙電荷交換反應(yīng)”。這類反應(yīng)的前半部分過(guò)程和下述力學(xué)模型類似。兩個(gè)小球A和B用輕彈簧相連，在光滑的水平直軌道上處于靜止?fàn)顟B(tài)。在它們的左邊有一垂直與軌道的固定擋板P，右邊有一小球C沿軌道以速度v0射向B球，如圖3所示。C與B發(fā)生碰撞并立即結(jié)成一個(gè)整體D。在它們繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度變到最短時(shí)，長(zhǎng)度突然被鎖定，不再改變。然后，A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰后A、D都靜止不動(dòng)，A與P接觸而不粘連。過(guò)一段時(shí)間，突然解除鎖定（鎖定及解除鎖定均無(wú)機(jī)械能損失）。已知A、B、C三球的質(zhì)量均為m。

（1）求彈簧長(zhǎng)度剛被鎖定后A球的速度。

（2）求在A球離開(kāi)擋板P之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能。

解析根據(jù)題目描述的情景，我們可以把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分解為以下幾個(gè)階段。

C、B的碰撞階段：

設(shè)C球與B球粘結(jié)成D時(shí)，D的速度為v1，由于碰撞過(guò)程極短，彈簧還未來(lái)得及壓縮，所以由動(dòng)量守恒得：

彈簧被壓縮階段：

當(dāng)彈簧壓至最短時(shí)，D與A的速度相等，設(shè)此速度為v2，由動(dòng)量守恒得：

由①②兩式得A的速度：

設(shè)彈簧長(zhǎng)度被鎖定后，貯存在彈簧中的彈性勢(shì)能為Ep。由能量守恒得：

彈簧的解鎖恢復(fù)階段：

解除鎖定后，當(dāng)彈簧剛恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)變?yōu)镈的動(dòng)能，設(shè)D的速度為v3，則有：

彈簧的伸長(zhǎng)階段：

彈簧伸長(zhǎng)，A球離開(kāi)擋板P，并獲得速度。當(dāng)A、D的速度相等時(shí)，彈簧伸至最長(zhǎng)。

設(shè)此時(shí)的速度為v4，由動(dòng)量守恒得：

當(dāng)彈簧伸到最長(zhǎng)時(shí)，其彈性勢(shì)能最大，設(shè)此勢(shì)能為E′p，由能量守恒得：

解以上各式得：

3鞏固練習(xí)

1、如圖4所示，A、B、C三個(gè)物塊的質(zhì)量均為m，置于光滑的水平面上，B、C間夾有原已完全不能再壓縮的彈簧，兩物塊用細(xì)繩相連，使彈簧不能伸展，物塊A以初速度v0沿B、C連線方向向B運(yùn)動(dòng)，相碰后，A與B粘合在一起，然后連接B、C的細(xì)繩因受擾動(dòng)而突然斷開(kāi)，彈簧伸展從而使C與A、B分離，脫離彈簧后C的速度為v0。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。