勻變速直線運動紙帶的處理

利用電磁打點計時器打出的紙帶測物體做勻變速運動的加速度，是高中階段的一個重要實驗。實驗操作完后從三條紙帶中選擇一條比較理想的，舍掉開頭比較密集的點子，在后邊便于測量的地方找一個開始點，我們把每打五次點的時間作為時間的單位，也就是T=0.02×5=0.1s，在選好的開始點下面標(biāo)明0，在第六點下面標(biāo)明1，在第十一點下面標(biāo)明2，在第十六點下面標(biāo)明3……標(biāo)明的點0，1，2，3……叫做記數(shù)點，如圖1所示，兩個相鄰記數(shù)點間的距離分別是s1、s2、s3……本文擬談?wù)勅绾卫眠@些數(shù)據(jù)求物體的加速度。

1逐差法及演繹

1.1逐差法

由此看出，此法在取平均值的表象下，實際上只有s1和s6兩個數(shù)據(jù)被利用，其余的數(shù)據(jù)s2、s3、s4、s5都沒有用，因而失去了多個數(shù)據(jù)正負偶然誤差互相抵消的作用，算出的結(jié)果的誤差較大。

例1某同學(xué)做測定勻變速直線運動物體的加速度實驗時，挑出的紙帶如圖2所示，他每隔4個點取一記數(shù)點，并標(biāo)明了各記數(shù)點間的測量數(shù)據(jù)，已知電源頻率為50Hz，通過計算，求物體的加速度a。

解析由逐差法知

（2）逐差法對奇數(shù)段數(shù)據(jù)的處理

由前述分析知道，用逐差法處理時，需用實驗數(shù)據(jù)的長度段數(shù)為偶數(shù)，若為奇數(shù)段，應(yīng)舍去一段長度數(shù)據(jù)，而變成偶數(shù)段，按誤差最小分析，理應(yīng)舍去正中間一段，但對要求不高的中學(xué)階段也可以任意舍掉第一段數(shù)據(jù)或最后一段數(shù)據(jù)，再按以上方法處理，但要注意舍掉正中間的數(shù)據(jù)時兩組相應(yīng)數(shù)據(jù)之間的實際間隔大小。

例2圖3為做勻變速直線運動的小車帶動的紙帶記錄的一些點，在每相鄰的兩點中都有4個點未畫出，按時間順序取0、1、2、3、4、5六個點，計時器所用電源頻率為50Hz，用刻度尺量出每個點到0點的距離分別是（單位：cm)：8.78、16.08、21.87、26.16、28.94，通過計算求出小車的加速度，說明小車運動的方向。

顯然，得到的計算結(jié)果②式和前面的①式完全相同，但這種做法卻避免了“逐差法”求多個a，再求平均值的麻煩，思路上更清晰、計算更簡捷，有一步到位的感覺?！斑B續(xù)相等時間里的位移”中“相等時間”的長度可任意選取，而不必拘泥于紙帶上已給的相鄰計數(shù)點間的時間間隔T。我們把這種方法稱為“一分為二法”。

“一分為二法”有以下優(yōu)越性

（1）易于操作，可以快速求得計算結(jié)果

“一分為二法”的思路比較清晰，只需記住公式Δs=aT2，取合適的“時間間隔T”即可，因此這種方法易于學(xué)生理解和掌握，運用起來也比較方便、快捷。

（2）提高計算結(jié)果的準(zhǔn)確性

用“一分為二法”求加速度a的過程中，只存在一次計算結(jié)果的近似，而“逐差法”在求多個a值時，會存在多次計算結(jié)果的近似，從而增大了最后結(jié)果的誤差。

（3）可以減小測量誤差

若用“一分為二法”，我們就可以只進行兩次測量，測出sⅠ和sⅡ，與“逐差法”相比，測量次數(shù)減少了，也就是減少了測量誤差的次數(shù)；而且，sⅠ和sⅡ比s1、s2、s3、……的數(shù)值更大，測量的相對誤差也會減小。

綜上所述，“一分為二法”使用起來更方便，也更準(zhǔn)確，有著比前述“逐差法”更大的優(yōu)越性。

例3如圖5所示是用打點計時器打出的一條紙帶，其計數(shù)周期為T，則加速度a為多大？

2圖象法

由勻變速直線運動的速度公式和平均速度公式可以推出，做勻變速運動的物體在某段位移中間時刻的瞬時速度，就等于物體在這段位移上的平均速度。先根據(jù)測定的位移數(shù)據(jù)利用公式vn=sn+sn+12T求出打第n點時紙帶的瞬時速度，如求出自第一點到第5點各點的瞬時速度，即 ，然后用橫坐標(biāo)表示時間t，縱坐標(biāo)表示瞬時速度v，在坐標(biāo)平面上標(biāo)出（T、v1)、（2T、v2)……各點，把這些點連接起來可畫出一條直線，它就是物體運動的速度圖像。理論上可以證明勻加速直線運動的v-t圖線是一條直線。直線的斜率是加速度數(shù)值的大小。若這些點不在一條直線上，要讓盡量多的點在直線上，不在直線上的點對稱分布于直線的兩側(cè)。圖線的斜率k=tanα=Δv/Δt=a，即為物體運動的加速度。

圖像法可以減小偶然誤差對實驗的影響。因為作圖時要求實驗點要落在直線上或均勻分布在直線兩側(cè)，所以作圖本身就是一個取平均的過程。

例4利用打點計時器測定勻加速直線運動的小車的加速度，如圖6給出了該次實驗中，從0點開始，每5個點取一個計數(shù)點的紙帶，其中0，1，2，3，4，5，6都為記數(shù)點。測得：s1=1.40cm，s2=1.90cm，s3=2.38cm，s4=2.88cm，s5=3.39cm，s6=3.87cm。

3直方圖法

把紙帶上的s1、s2……s6各段準(zhǔn)確地剪開成6段，按圖那樣貼在坐標(biāo)紙上，彼此不留間隙也不重疊，使紙帶下端與橫軸重合。s1段的左邊與縱軸重合。橫軸為時間軸，令每段紙帶的寬度表示一個周期T=0.1s的值?？v軸為速度軸，每段紙帶的高度sn跟對應(yīng)的速度成正比（把時間T內(nèi)的平均速度n=snT當(dāng)作其中間時刻的瞬時速度）。這樣T=0.1s時，縱坐標(biāo)上1cm高就表示10cm/s的速度。在每段紙帶的上邊緣中點畫一個小“+”作為數(shù)據(jù)點，由于存在誤差，所以這6個“+”不會都在同一條直線上，畫一條直線使之通過盡可能多的數(shù)據(jù)點，并使直線兩側(cè)的數(shù)據(jù)點大體相等，這樣就起了取平均值的作用，這條直線就是小車做勻加速直線運動的v-t圖像，在這條直線上任取兩個距離較遠的點，如圖中的b和c，讀出它們的坐標(biāo)數(shù)值（tb，vb)、（tc，vc)，就可以代入公式a=vb-vctb-tc算出a值。用這種方法求a值和利用逐差法求a值得到的結(jié)果是一致的

例6學(xué)生在一次實驗中，打點計時器在紙帶上打出一系列的點，0，1，2，3，4，5，6為我們在紙帶上所選的計數(shù)點，相鄰計數(shù)點間的時間間隔為T=0.08s，并測得相鄰的計數(shù)點間的位移s1=2.2cm，s2=3.1cm，s3=3.8cm，s4=5cm，s5=5.8cm，s6=6.6cm，求加速度a。

解析把紙帶上的s1、s2……s6各段剪開成6段，把6段紙帶貼在坐標(biāo)紙上，如圖8所示，縱軸為速度軸，t=0.08s時，縱軸坐標(biāo)上1cm高表示12.5cm/s的速度。在每段紙的上邊緣中點畫一個小“+”。連接各點得到一直線，它就是物體運動的速度圖像。在直線上選取a、c兩點，其坐標(biāo)為（33.75，0.08)和（78.75，0.4)，加速度a=78.75-33.750.4-0.08=141cm/s2=1.41m/s2

綜上所述，在測定勻變速直線運動的加速度實驗中，由打好了點的紙帶求加速度，方法有多種，其中，“逐差法”著眼于局部，偏重于數(shù)學(xué)方法，物理意義不明顯；“一分為二法”著眼于全程緊扣物理意義，計算簡單明了；“圖像法”和“直方圖法”直觀，物理意義明確。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。