各向異性介質界面模式轉換波II：仿真驗證

法 林,王家樂,趙 琳,李玉霞，鄒 驍，胡凱利，李 曉，張曉琳，法曉雪，趙梅山

(1.西安郵電大學 電子工程學院，陜西 西安 710121；2.西安翻譯學院 信息工程學院，陜西 西安 710105；3.中國石油集團測井有限公司 陜西 西安 710061；4.莒縣發(fā)展和改革局 山東 日照 276599；5.長慶石油分公司 伴生氣綜合利用項目部，陜西 西安 710021；6.芝加哥大學詹姆斯·弗蘭克研究所 化學系 伊利諾伊 芝加哥 60637)

地震勘探數(shù)據(jù)振幅隨偏移距變化(Amplitude Variation with Offset,AVO)的反演分析是尋找地球內部資源的一項重要技術。這一技術在近年來逐步發(fā)展成熟，例如，文獻[1]采用文獻[2]給出的模式轉換波極化符號規(guī)則研究了各向同性地層界面的反射率，以進行地震勘探數(shù)據(jù)的AVO反演分析；一些學者針對實際地層的不同狀況,研究了地層的反射特性[3-6]。在地球物理勘探過程中，絕大數(shù)地層都具有一定程度的宏觀各向異性，并且地層的這種宏觀各向異性大多表現(xiàn)出橫向各向同性的特點，可以采用六方晶系的剛度系數(shù)矩陣來描述其力學特性[7-8]?；趯Φ貙痈飨虍愋缘难芯砍晒鸞9-11]，文獻[7]提出了地震波的射線追蹤理論，文獻[8]研究了真實各向異性地層的波場，提出了在考慮地層各向異性的情況下的地震勘探數(shù)據(jù)的AVO反演分析技術[12]。文獻[13-16]報道了與先前理論預測有關的分析和數(shù)值研究。然而，針對在兩種不同各向異性介質界面上產生的模式轉換波的極化狀態(tài)的復雜計算還有待進一步研究。

文獻[17]對各向異性介質界面模式轉換波進行了理論分析，研究了各向異性介質界面的反射/折射特性，以及各向異性介質界面上產生的模式轉換波的極化等現(xiàn)象，并且為各向異性地層中測量地震勘探數(shù)據(jù)的精確AVO反演分析時間域—深度域轉換提供了理論依據(jù)。

在文獻[17]的基礎上，擬進一步對各向異性介質界面的模式轉換波進行仿真驗證。應用實際測量巖樣各向異性參數(shù)和物理參數(shù)，構造折射介質具有不垂直對稱軸的各向異性頁巖-泰勒砂巖界面和各向異性頁巖-油質頁巖界面兩種具有垂直對稱軸和傾斜對稱軸的橫向各向同性(Transverse Isotropy with a Vertical Axis of Symmetry-Transverse Isotropy with a Tilted Axis of Symmetry,VTI-TTI)介質界面。計算在這兩種界面上產生的模式轉換波的慢度曲線和極化狀態(tài)以及界面的反射/折射特性，對仿真結果進行分析和比較，以及合理的解釋。

1 模型構建

構造兩個界面系統(tǒng)，一個是各向異性頁巖-泰勒砂巖界面，另一個各向異性頁巖-油質頁巖界面。為了討論和分析方便，定義各向異性頁巖-泰勒砂巖界面為系統(tǒng)I，各向異性頁巖-油質頁巖界面為系統(tǒng)II。構成系統(tǒng)I和系統(tǒng)II巖石的各向異性參數(shù)和物理參數(shù)如表1所示[10-11]。其中，ρ表示巖石的密度，參數(shù)α和β分別表示巖石對稱軸方向的P波(Primary Wave)和SV(Shear Vertical)波的相速度，ε、δ和γ分別為VTI介質的各向異性參數(shù)。

表1 各向異性頁巖、油質頁巖和泰勒砂巖的相關參數(shù)

各向異性頁巖、油質頁巖和泰勒砂巖地層的剛度系數(shù)矩陣可以表示為[9]

式中，cjh(j,h=1,2,…,6)表示巖石地層的彈性常數(shù)分量，其計算表達式分別為[10]

c13=

(1)

c33=ρα2

(2)

c11=(2ε+1)ρα2

(3)

c44=ρβ2

(4)

c66=(γ+1)2ρβ2

(5)

依據(jù)表1的各向異性參數(shù)和物理參數(shù)，由式(1)—式(5)可以得到各向異性頁巖、泰勒砂巖和油質頁巖等3種VTI介質地層的剛度矩陣。然后，利用Bond變換[17]，即可得到TTI折射介質泰勒砂巖和油質頁巖的剛度矩陣。

2 仿真及分析

在兩個不同VTI-TTI界面中，利用仿真工具MATLAB，對其所有模式轉換波的慢度、各向異性參數(shù)、極化系數(shù)和質點位移反射/折射系數(shù)的關系、入射波/反射波/折射波的極化狀態(tài)性能進行仿真和分析。

2.1 入射波和模式轉換波的慢度

作為相速度的倒數(shù)，慢度提供關于具有不同物理參數(shù)和各向異性參數(shù)的地層分層性質的重要信息[18]。 在理論方面，一些VTI-TTI界面系統(tǒng)似乎有一個對應折射SV波的入射臨界角，即第二入射臨界角，但是，實際上該第二入射臨界角卻并不存在。對于該問題，還有待進一步進行科學解釋。

分析在界面系統(tǒng)I和界面系統(tǒng)II這兩個不同VTI-TTI界面產生的模式轉換波的慢度。顯然，界面系統(tǒng)I和界面系統(tǒng)II的入射介質均為各向異性頁巖，且均為VTI介質。泰勒砂巖和油質頁巖分別為界面系統(tǒng)I和界面系統(tǒng)II的折射介質，兩者均為TTI介質。根據(jù)文獻[17]中求解相速度的計算公式和表1所示的3種巖石的各向異性參數(shù)和物理參數(shù)，取TTI折射介質的傾斜角φ=30°，仿真出涉及到界面系統(tǒng)I和界面系統(tǒng)Ⅱ的慢度，P波和SV波的慢度曲線仿真結果如圖1所示。其中，θ為在無限大各向異性地層中的P波和SV波的相速度方向與垂直軸之間的夾角，θ(0)為P波入射到VTI-TTI界面的入射角。圖1(a)和圖1(c)均為以θ為自變量的慢度曲線。圖1(a)和圖1(c)中的曲線①和曲線③分別為在無限大各向異性頁巖中P波和SV波的慢度曲線。圖1(a)中的曲線②和曲線④分別為在無限大泰勒砂巖中P波和SV波的慢度曲線。圖1(c)中曲線②和曲線④分別是在無限大油質頁巖中P波和SV波的慢度曲線。圖1(b)和圖1(d)均為以入射角θ(0)為自變量的入射P波和在VTI-TTI界面上所有模式轉換波的慢度曲線。點A和點B表示入射臨界角對應的慢度。圖1(b)中的曲線①和曲線③分別為在界面系統(tǒng)I中產生的反射P波和反射SV波的慢度曲線，曲線②和曲線④分別對應的折射P波和折射SV波的慢度曲線。圖1(d)中的曲線①和曲線③分別為在界面系統(tǒng)II中產生的反射P波和反射SV波的慢度曲線，曲線②和曲線④分別對應折射P波和折射SV波的慢度曲線。

圖1 P波和SV波的慢度曲線仿真結果

圖1顯示，界面系統(tǒng)I和界面系統(tǒng)II在入射介質中的反射P波的慢度曲線相同，即圖1(b)的曲線①和圖1(d)的曲線①相同。同樣，兩個界面系統(tǒng)中的反射SV波的慢度曲線也相同，即圖1(b)的曲線③和圖1(d)的曲線③相同。對于VTI-TTI介質界面上產生的折射P波和折射SV波，每種波的慢度曲線特性均由TTI介質的物理特性和各向異性以及傾斜角等幾何結構決定。比較界面系統(tǒng)I的各向異性頁巖-泰勒砂巖界面與界面系統(tǒng)II的各向異性頁巖-油質頁巖界面發(fā)現(xiàn)，這兩個系統(tǒng)具有其各自不同的特征。值得注意的是，一個系統(tǒng)是否存在入射臨界角可能只取決于界面兩側介質的物理性質，例如，若P波入射角θ(0)小于P波反射角θ(2)，則可能存在對應折射P波的入射臨界角，即第一入射臨界角；反之，若θ(0)>θ(2)，則系統(tǒng)可能不存在任何入射臨界角。

對于折射P波，如圖1(b)中的曲線②和圖1(d)中的曲線②，界面系統(tǒng)I和界面系統(tǒng)II的入射臨界角的位置B顯示出了顯著折射特征。界面系統(tǒng)I的特征折射點B對應的入射臨界角為54.05°，界面系統(tǒng)II的特征折射點B對應于的入射臨界角為35.95°。

為了更好地理解各向異性地層界面出現(xiàn)的有關入射臨界角的物理現(xiàn)象，以界面系統(tǒng)II各向異性頁巖-油質頁巖界面為例，分析和討論折射P波的慢度曲線。圖1(d)顯示在入射P波的慢度曲線(曲線①)和折射SV波之間的慢度(曲線④)之間的39.125°處存在一個交叉點。

圖1(a)和圖1(c)還表明，無限大各向異性頁巖VTI介質內的P波和SV波的慢度曲線(曲線①和曲線③)關于垂直軸對稱，而無限大泰勒砂巖和油質頁巖TTI介質內的P波和SV波的慢度曲線(曲線②和曲線④)僅關于不平行于垂直軸的對稱軸對稱。

觀察圖1(b)和圖1(d)后還可以發(fā)現(xiàn)，在VTI-TTI界面上產生的折射P波和折射SV波的慢度曲線關于垂直軸對稱。其原因是，入射介質其對稱軸為垂直軸的VTI介質，具有特性[18]

界面系統(tǒng)II中的P波反射角的正弦sinθ(2)以及SV波折射角的正弦sinθ(4)與入射角θ(0)之間的關系的仿真結果如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)II中sinθ(0)和sinθ(4)與θ(0)之間的關系

圖2(b)表明，在入射角θ(0)=39.125°處存在折射SV波的正弦和入射P波正弦的交叉點P3。在入射角θ(0)<35.125°的入射角區(qū)域，折射SV波的相速度大于入射P波的相速度；在入射角θ(0)=35.125°處，油質頁巖中折射SV波的相速度等于各向異性頁巖中入射P波的相速度；在入射角θ(0)>35.125°的區(qū)域內，折射SV波的相速度小于入射P波的相速度。雖然入射角θ(0)=35.125°接近但不等于折射P波對應的第一臨界角θ(2)=35.95°。在整個入射角θ(0)∈(0°,90°)的區(qū)域內，都存在sinθ(4)<1，由此可以得出結論，界面系統(tǒng)II各向異性頁巖-油質頁巖不存在對應折射SV波的入射臨界角(即第二臨界角)。θ(0)=39.125°的入射角既不是第一臨界角，也不是第二臨界角。另外，由于界面系統(tǒng)的折射TTI介質中P波的相速度大于入射VTI介質中P波的相速度，所以僅存在第一臨界角。

2.2 地層各向異性參數(shù)對其入射臨界角的影響

為了分析界面兩側地層介質的各向異性和TTI折射介質傾斜角對界面系統(tǒng)的入射臨界角的影響，與界面系統(tǒng)I類似，構建一個改進的Daley-Hron各向異性地層界面模型[19-20]。改進的Daley-Hron各向異性地層界面模型的參數(shù)如表2所示。其中，φ為TTI折射介質的傾斜角。

表2 改進的Daley-Hron各向異性地層界面模型的參數(shù)

對于改進的Daley-Hron各向異性地層界面模型，由斯奈爾定律[21]可得

(6)

(7)

其中，

其中，

其中，

其中，

其中，

圖3 各向異性參數(shù)和φ關系曲線的仿真結果

2.3 反射/折射、極化系數(shù)和質點位移

文獻[17]中已經給出了VTI-TTI介質界面上產生的模式轉換波極化系數(shù)的解析表達式和計算該界面反射/折射系數(shù)的矩陣方程。在VTI-TTI介質界面上，模式轉換波的質點位移和極化態(tài)與反射/折射系數(shù)密切相關。

根據(jù)文獻[17]中計算反射/折射系數(shù)和相位角的方法和表1中的參數(shù)，選擇TTI介質的不同傾斜角，在φ分別為0°,30°,60°的條件下，仿真界面系統(tǒng)I和界面系統(tǒng)II的反射/折射系數(shù)R(m)、相位角φ(m)(m=1,2,3,4，分別表示反射P波、折射P波、反射SV波和折射SV波)，仿真結果分別如圖4和圖5所示。

圖4 不同φ，系統(tǒng)I中R(m)及φ(m)的仿真結果

圖5 不同φ，系統(tǒng)II中R(m)及φ(m)的仿真結果

圖6 入射波極化系數(shù)和位移矢量分量及相位角仿真結果

仿真界面系統(tǒng)I中的反射P波、折射P波、反射SV波和折射SV波等4種模式轉換波的極化系數(shù)和位移矢量的分量及相位角與入射角θ(0)之間的關系，仿真結果分別如圖7—圖10所示。從圖7(a)和圖7(c)中，以及從圖9(a)和圖9(c)中可以看出，在TTI介質中，當傾斜角的φ分別為0°,30°和60°時，不同傾斜角下的反射P波和反射SV波的極化系數(shù)分量與入射角θ(0)之間的關系相同，關系曲線疊加在一起。

圖7 系統(tǒng)I中反射P波極化系數(shù)和位移矢量的分量及相位角

圖8 系統(tǒng)I中折射P波極化系數(shù)和位移矢量的分量及相位角

圖9 系統(tǒng)I中反射SV波極化系數(shù)和位移矢量的分量及相位角

圖10 系統(tǒng)I中折射SV波極化系數(shù)和位移矢量的分量及相位角

仿真界面系統(tǒng)II中的反射P波、折射P波、反射SV波和折射SV波等4種模式轉換波極化系數(shù)和位移矢量的分量及相位角與入射角θ(0)之間的關系，仿真結果分別如圖11—圖14所示。從圖11(a)和圖11(c)中，以及從圖13(a)和圖13(c)中可以看出，當傾斜角的φ分別為0°,30°和60°時，不同傾斜角下反射P波和反射SV波的極化系數(shù)分量與入射角θ(0)之間的關系相同，關系曲線疊加在一起。

圖11 系統(tǒng)II中反射P波極化系數(shù)和位移矢量的分量及相位角

圖12 系統(tǒng)II中折射P波極化系數(shù)和位移矢量的分量及相位角

圖13 系統(tǒng)II中反射SV波極化系數(shù)和位移矢量的分量及相位角

圖14 系統(tǒng)II中折射SV波極化系數(shù)和位移矢量的分量及相位角

從圖7—圖14的仿真結果可知，TTI介質的傾斜角可能會影響VTI-TTI界面的特性(如反射系數(shù))，但是，不會改變反射P波和反射SV波在VTI介質中的傳播特性。因此，對于各向異性頁巖內的反射P波和反射SV波，其極化系數(shù)與傾斜角無關，如圖7(a)和圖7(c)、圖9(a)和圖9(c)、圖11(a)和圖11(c)、圖13(a)和圖13(c)所示。改變TTI介質的傾斜角不僅會改變VTI-TTI介質界面的折射特性(如折射系數(shù))，還會改變折射P波和折射SV波在TTI介質中的傳播特性，因此，會影響折射P波和折射SV波的極化系數(shù)，如圖8(a)和圖8(b)、圖10(a)和圖10(c)、圖12(a)和圖12(b)、圖14(a)和圖14(c)所示。

從圖8(e)和圖8(f)以及圖12(e)和圖12(f)表明，對于界面系統(tǒng)I和界面系統(tǒng)II，在過第一臨界角區(qū)域，非均勻折射P波的極化系數(shù)的x分量和z分量之間存在一個90°的相位差，即過第一臨界角區(qū)域入射可以導致折射P波的極化系數(shù)的x分量和z分量之間產生90°的相移，從而使得折射P波從線極化波變成了橢圓極化波。

圖15 系統(tǒng)I中功率流密度z分量的實數(shù)部分

圖16 系統(tǒng)II中功率流密度z分量的實數(shù)部分

對計算出的極化系數(shù)以及反射和折射系數(shù)的正確性的另一種檢查是，觀察相關系數(shù)是否滿足VTI-TTI巖石界面的邊界條件。在入射VTI介質內存在入射P波S(0)，反射P波S(1)和反射SV波S(3)等3種波。在折射TTI介質內存在折射P波S(2)和折射SV波S(3)兩種波。

圖17 系統(tǒng)I中的邊界條件驗證

圖18 系統(tǒng)II中的邊界條件驗證

2.4 入射波/反射波/折射波的極化狀態(tài)

圖19 系統(tǒng)I中和與θ(0)關系的仿真結果

圖20 系統(tǒng)II中和與θ(0)關系的仿真結果

圖21 系統(tǒng)I中和與θ(0)關系的仿真結果

圖22 系統(tǒng)II中和與θ(0)關系的仿真結果

圖19—圖22的仿真結果表明，TTI介質的傾斜角變化會改變線極化折射P波和線極化折射SV波的極化方向，但是，對線極化反射P波和線極化反射SV波的極化角沒有影響。這個物理現(xiàn)象的原因可能是，TTI介質的傾斜角是折射TTI介質本身的物理特性，其只會影響在TTI介質中的折射P波和折射SV波的特性，而不會影響在VTI入射介質中反射P波和反射SV波的特性。

圖23 系統(tǒng)I中橢圓極化波隨入射角變化的仿真結果

圖24 系統(tǒng)II中橢圓極化軌跡隨入射角變化的仿真結果

從圖23和圖24的仿真結果可以看出，VTI-TTI界面系統(tǒng)的物理參數(shù)和各向異性參數(shù)，對于非均勻折射P波的物理特性和橢圓極化波軌跡特征有著重要的影響。另外，橢圓極化波軌跡還隨著TTI介質傾斜角的變化而變化。與TTI介質傾斜角的作用相比較，入射角對橢圓偏振軌跡有更大的影響，TTI介質傾斜角和入射角不僅影響橢圓偏振波軌跡的大小，而且還影響它的形狀。

3 結論

以各向異性頁巖-泰勒砂巖界面和各向異性頁巖-油質頁巖界面構成了兩種VTI-TTI各向異性介質界面系統(tǒng)，并且得到了與P波為入射角相對應的4種模式轉換波。使用MATLAB對文獻[17]推導出的求解相速度的解析表達式和極化系數(shù)解析表達式進行數(shù)據(jù)仿真，得到如下結論。

1) 以改進后的Daley-Hron各向異性介質為界面系統(tǒng)，仿真出的慢度曲線解釋了VTI-TTI介質界面系統(tǒng)似乎有一個對應折射SV波的第二臨界角，而在實際中卻沒有的物理現(xiàn)象。界面系統(tǒng)的入射臨界角是否存在，由界面兩側介質本身的物理特性(物理參數(shù)和各向異性參數(shù))和幾何結構(TTI介質的傾斜角)決定。

2) 在無限大的TTI介質中，P波和SV波的慢度曲線關于垂直軸不對稱，而在VTI-TTI介質界面上產生的折射P波和SV波的慢度曲線作為入射角的函數(shù)關于垂直軸對稱。

3) 第一臨界角與入射角無關，其完全由入射/折射介質的各向異性參數(shù)和折射介質的傾斜角所決定，各向異性參數(shù)和TTI折射介質的傾斜角的值越大，入射臨界角就越大。

4) 對于各向異性頁巖內的反射P波和反射SV波，其極化系數(shù)與傾斜角無關，但不同的傾斜角會影響折射P波和折射SV波的極化系數(shù)。并且，依據(jù)能量守恒和聲學邊界條件，對計算出的反射系數(shù)、折射系數(shù)、極化系數(shù)和質點位移進行了雙重驗證。

5) TTI介質的傾斜角和入射角對橢圓偏振波軌跡和其形狀都有影響，與TTI介質傾斜角的作用相比較，入射角對橢圓偏振軌跡的影響更大。