基于數(shù)學(xué)文化的高考試題特征分析

王 婷 李 祎

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 350117)

1 數(shù)學(xué)文化及其重要性

關(guān)于數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，不同人有不同的觀點(diǎn).比如，顧沛教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展”；黃秦安教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)文化是以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域?yàn)橛袡C(jī)組成部分的一個(gè)具有特定功能的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)”;等等.但無論哪種看法，一種普遍的觀點(diǎn)是，數(shù)學(xué)文化是一種理性思維方式在實(shí)踐中的不斷探索所形成的有關(guān)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及數(shù)學(xué)應(yīng)用等的統(tǒng)稱.

李大潛院士曾說過：“數(shù)學(xué)是一種先進(jìn)的文化，是人類文明的重要基礎(chǔ).它的產(chǎn)生和發(fā)展在人類文明的進(jìn)程中起著重要的推動(dòng)作用，占有舉足輕重的地位.”[1]2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中明確將數(shù)學(xué)文化納入數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值[2].在《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》中，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科的修訂內(nèi)容中，也增加了數(shù)學(xué)文化的要求，這是在全國高中生學(xué)業(yè)水平測試命題指導(dǎo)文件中，首次明確提出“在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)更是強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)文化的重要性.在教學(xué)提示與學(xué)業(yè)要求中指出，數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入課程內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)文化，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用；在學(xué)業(yè)水平考試與高考命題原則中，同樣建議應(yīng)融入和加強(qiáng)對數(shù)學(xué)文化的考查[3].

近年來，數(shù)學(xué)文化被廣泛關(guān)注，逐漸成為高考考查的熱點(diǎn)，足以引起廣大師生的高度重視.為此，筆者對近十年來全國各地高考數(shù)學(xué)試卷中與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的試題進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)了基于數(shù)學(xué)文化的高考試題的命題特征，并給出了高考試題命制中對數(shù)學(xué)文化的考查建議.

2 基于數(shù)學(xué)文化的高考試題統(tǒng)計(jì)分析

筆者以近10年的全國卷、北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷、海南卷、山東卷的文理科高考試卷共計(jì)158份作為文本分析對象.樣本的選取，是基于以下的考慮，即：北京、上海、天津、浙江、海南堅(jiān)持高考自主命題且于2020年均已成為新高考試點(diǎn)；山東于2018年加入使用全國高考試卷，于2020年踐行新高考，使用新高考全國卷Ⅰ.

2.1 近10年基于數(shù)學(xué)文化的高考試題特征統(tǒng)計(jì)

以下將從試卷與題號、題型、背景、試題類型、知識點(diǎn)與核心素養(yǎng)等六個(gè)角度對這些試題進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì).其中對于“試題類型”，依據(jù)不同的文化載體形式，可分為數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)美等四大類.

表1 近10年基于數(shù)學(xué)文化的高考試題統(tǒng)計(jì)

2.2 近10年基于數(shù)學(xué)文化的高考試題特征分析

根據(jù)以上的統(tǒng)計(jì)，并進(jìn)行深入的系統(tǒng)分析，不難看出近十年高考試題對數(shù)學(xué)文化的考查，呈現(xiàn)出以下六個(gè)方面的特征：

第一，從數(shù)量特征角度來看，基于數(shù)學(xué)文化的高考試題共25道，平均每年2-3道.2011-2013年以數(shù)學(xué)文化為背景的高考試題較少出現(xiàn)，即使出現(xiàn)也只是以隱性形式來體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化；2014年的高考試題中無涉及數(shù)學(xué)文化相關(guān)背景的試題.從2015年開始，數(shù)學(xué)文化受到了高考考查的青睞，且對數(shù)學(xué)文化的考查，均以顯性形式來呈現(xiàn).所謂數(shù)學(xué)文化的隱性考查，是指不直接給出數(shù)學(xué)文化背景，但試題中隱含著與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和思想方法；所謂數(shù)學(xué)文化的顯性考查，是指直接給出數(shù)學(xué)文化背景作為試題的情景或引子，但解答又與數(shù)學(xué)文化背景基本無關(guān)的試題[4].

第二，從試題題型角度來看，大多試題以選擇題的形式進(jìn)行考查，共有19道；其次是填空題，共有5道；最后是解答題，僅有1道.自1978年恢復(fù)高考以來，數(shù)學(xué)高考考查題型由原來單純的解答題，逐漸發(fā)展為以選擇題、填空題和解答題為主的三大題型，題型的發(fā)展意味著高考越來越重視對學(xué)生的全面考查，題型的多樣性對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著積極意義.但從表中數(shù)據(jù)可以看出，數(shù)學(xué)文化相關(guān)試題絕大多數(shù)以選擇題的形式呈現(xiàn)，填空題極少，解答題更是寥寥無幾.

第三，從素材選取角度來看，以數(shù)學(xué)美為背景的高考試題數(shù)量最多，共計(jì)有8道；以數(shù)學(xué)名著為背景的高考試題位居第二，共計(jì)有7道；以數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)名題為背景的高考試題，各有5道.不難看出，各類型試題分布相對較為均勻，且中西方的數(shù)學(xué)文化素材滲透涇渭分明，中國以數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)美為主，西方則是數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)名題類偏多.其中，數(shù)學(xué)名著類素材大多摘自《九章算術(shù)》，數(shù)學(xué)美方面的素材多以中國經(jīng)典建筑或圖案為背景；但以西方數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)名題為素材的試題，沒有呈現(xiàn)出規(guī)律性的特點(diǎn).

第四，從文理差異角度來看，在這些數(shù)學(xué)文化類試題中，理科試題相比文科試題偏多，理科試題共計(jì)有17道，文科試題共計(jì)有11道，其中有9道為文理科共用試題 (不含6道新高考試題).從各地高考數(shù)學(xué)試卷來看，全國卷的高考試題中每年均有涉及數(shù)學(xué)文化背景的試題，理科試題明顯多于文科試題；自2017年實(shí)施不分文理科的新高考以來，滬、浙、京、津、魯、瓊的各地高考試卷中，每年都有新高考試卷涉及數(shù)學(xué)文化試題，且試卷中的試題位置在逐漸前移，近兩年均處在第4題的位置.

第五，從知識考查角度來看，若將高中數(shù)學(xué)知識劃分為代數(shù)(向量、數(shù)列、函數(shù)、三角、算法、線性規(guī)劃、其他)、幾何(立體幾何、平面幾何)、概率與統(tǒng)計(jì)(概率、統(tǒng)計(jì))、微積分(導(dǎo)數(shù)、定積分)等四個(gè)領(lǐng)域，則不難發(fā)現(xiàn)，在這些數(shù)學(xué)文化類試題中：代數(shù)類試題數(shù)量最多，共計(jì)有13道；幾何類試題次之，共計(jì)有7道；概率與統(tǒng)計(jì)類試題，合計(jì)有5道；微積分類試題中，均未涉及到對數(shù)學(xué)文化的考查.從具體內(nèi)容來看，在這些試題中，數(shù)列有3道，函數(shù)有3道，算法有2道，三角有2道，其他有3道(其中比例2道、方程1道)，平面幾何有2道，立體幾何有5道，概率有5道，向量、線性規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)、定積分等內(nèi)容的試題均未涉及到對數(shù)學(xué)文化的考查.

第六，從核心素養(yǎng)角度來看，數(shù)學(xué)文化相關(guān)的高考試題中，大量滲透了對數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理這兩大核心素養(yǎng)的考查，其次是直觀想象、數(shù)學(xué)抽象，而數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析則從未涉及.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中反映，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的綜合體現(xiàn)，這些核心素養(yǎng)既相對獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體[3].從表中統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，每道題平均考查2-3個(gè)核心素養(yǎng)，以數(shù)學(xué)文化為載體來考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可以為如何彰顯數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的積極作用提供更多有益的思考.當(dāng)然，研究數(shù)學(xué)文化不是因?yàn)樗浅绷?，而是因?yàn)樗拇_關(guān)乎學(xué)生的終身發(fā)展，數(shù)學(xué)文化“搭臺”核心素養(yǎng)“唱戲”，這正體現(xiàn)了旨在培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的教學(xué)目標(biāo).

3 基于數(shù)學(xué)文化的高考試題考查建議

3.1 正確對待數(shù)學(xué)文化的考查

《課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)[3].但目前人們對數(shù)學(xué)文化的理解仍存在分歧.比如，部分研究者將數(shù)學(xué)應(yīng)用試題全盤納入數(shù)學(xué)文化的相關(guān)試題中，把數(shù)學(xué)與生活、其他學(xué)科等的聯(lián)系“強(qiáng)行”理解為數(shù)學(xué)文化，然而有的學(xué)者并不認(rèn)同這一觀點(diǎn).這也是對數(shù)學(xué)文化的一種庸俗化、簡單化的理解，異化了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，窄化了數(shù)學(xué)文化的外延，不僅沒有觸及數(shù)學(xué)文化的精神實(shí)質(zhì)，難以實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)文化的真正考查，還會(huì)無形之中增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)[5].

數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)文化的載體，數(shù)學(xué)文化影響著學(xué)生的思維方式.數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)的顯性成分，而數(shù)學(xué)精神、思想方法等則是數(shù)學(xué)的隱性成分.數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的融入、數(shù)學(xué)考試中數(shù)學(xué)文化的考查成為了教學(xué)的重要目標(biāo)，但首要的任務(wù)是確立起正確對待數(shù)學(xué)文化的態(tài)度.數(shù)學(xué)文化不僅包括了各種具體的知識成分，即問題、方法、語言和理論，還包括相應(yīng)的觀念成分即數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，包括核心思想、規(guī)范性成分、啟發(fā)性成分[6].只有對數(shù)學(xué)文化有正確的認(rèn)識，才能更好地把握數(shù)學(xué)文化，接受數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)精神、思維方式等潛移默化的積極影響.

3.2 合理地對數(shù)學(xué)文化進(jìn)行考查

自《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》中首次明確提出“在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”以來，數(shù)學(xué)文化成為了高考的“寵兒”，怎么考、考什么成為了廣大師生關(guān)注的焦點(diǎn).據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，近10年的31套高考試題中數(shù)學(xué)文化相關(guān)試題僅有25道.一方面，試題數(shù)量偏少，且大多以選擇題的形式出現(xiàn)，以填空題形式出現(xiàn)的也較少，解答題更是寥寥無幾(僅2013年全國卷Ⅰ中出現(xiàn)一次)，因此在今后的數(shù)學(xué)高考中，可考慮適當(dāng)增加數(shù)學(xué)文化類試題的數(shù)量，豐富數(shù)學(xué)文化類試題的題型；另一方面，試題背景大多與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)名著和數(shù)學(xué)名題等相關(guān)，并以顯性形式呈現(xiàn)試題，試題中大篇幅數(shù)學(xué)文化素材的出現(xiàn)，無疑增加了學(xué)生閱讀和理解數(shù)學(xué)試題的負(fù)擔(dān)，因此如何簡化素材背景的選取，將數(shù)學(xué)文化“隱性化”，真正立足于數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)對學(xué)生的核心素養(yǎng)進(jìn)行考查，是今后需要探索和研究的重要課題.

同時(shí)，從文理分科的角度來看，在人們的習(xí)慣認(rèn)知里，與理科生相比，文科生更擅長人文閱讀，導(dǎo)致了高考在文科命題上有所疏忽，造成了理科試題較文科試題偏多的現(xiàn)象，這顯然是有失偏頗的.因此，在文理不分科的新高考背景下，在高考試卷中適當(dāng)增加數(shù)學(xué)文化類試題，不僅具有必要性，而且具有可行性.從數(shù)學(xué)知識和核心素養(yǎng)考查的角度來看，也可進(jìn)一步拓寬考查的知識領(lǐng)域和能力目標(biāo).此外，無論對數(shù)學(xué)文化怎么考查，我們必須讓學(xué)生牢記的是，數(shù)學(xué)文化僅僅是一種命題載體，大可不必恐慌和畏懼，只要在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，積累數(shù)學(xué)文化知識，加強(qiáng)閱讀訓(xùn)練，提高理解能力，那么在解題時(shí)就可以通過快速的閱讀和理解，從背景材料中迅速獲取有關(guān)數(shù)學(xué)知識的信息，實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)文化載體到知識素養(yǎng)的有效轉(zhuǎn)換，從而使數(shù)學(xué)問題在“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”中獲得成功解決.

總之，數(shù)學(xué)文化作為一種重要的文化，對學(xué)生的素養(yǎng)形成和品格完善具有重要作用，因此在高考中考查數(shù)學(xué)文化必要且重要，如何考查、考查什么便成為了值得研究的課題.本文以近10年六省市高考卷及全國卷的數(shù)學(xué)試題為研究對象，通過從數(shù)量特征、試題題型、素材選取、文理分科、知識考查、核心素養(yǎng)等六個(gè)方面的統(tǒng)計(jì)分析，旨在探索基于數(shù)學(xué)文化的高考試題命題的特點(diǎn)和規(guī)律，為進(jìn)一步提高和完善高考對數(shù)學(xué)文化的考查提出合理化的意見和建議.