合情推理

貫忠喜

全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標準》明確指出：“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習(xí)必不可少的工具。”“數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象能力和創(chuàng)造能力等方面有著獨特的作用?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生“認識通過觀察、實驗、歸納、類比、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想，體驗數(shù)學(xué)活動所具備的探索性和創(chuàng)造性”。由上面的敘述我們不難看出，在新課程數(shù)學(xué)教學(xué)改革全面實施的今天，“傳道、授業(yè)、解惑”這千百年來一直被中國人視為教師神圣使命的內(nèi)涵已經(jīng)發(fā)生了全新的變化。在新的課程理念下，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中不但要承擔(dān)傳授基礎(chǔ)知識的任務(wù)，更承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的教學(xué)使命。

那么，什么是數(shù)學(xué)推理呢?數(shù)學(xué)推理包括演繹推理與合情推理，演繹推理通常依賴于抽象思維，推理的證據(jù)充分，判斷的結(jié)果準確；合情推理通常依賴于形象思維與直覺思維，推理過程跳躍性強，推理的結(jié)果有待驗證。從推理的形式看，合情推理即合乎情理的推理，物理學(xué)家的歸納推理、律師的案情推理、歷史學(xué)家的史料論證和經(jīng)濟學(xué)家的統(tǒng)計論證都屬于合情推理之列。波利亞說：“數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明，但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。”

由此可見，合情推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，因而關(guān)注學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神。許多重大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)，包括數(shù)學(xué)中的許多著名定理、法則及公式的發(fā)現(xiàn)都發(fā)端于對事物的觀察、比較、歸納、類比，即通過合情推理提出猜想，再通過演繹推理論證它的合理性。長期以來，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力方面，我國數(shù)學(xué)教育工作者做了很多努力，也取得了令人矚目的成績，這些做法和成績雖凝聚了眾多數(shù)學(xué)教師的心血和智慧，但歸納起來看，大多還只是停留在“如何引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)論進行推導(dǎo)與論證”上，應(yīng)該說這些都屬于演繹推理的范疇。《數(shù)學(xué)課程標準》強調(diào)學(xué)生要“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動的過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”“讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用過程”，合情推理比演繹推理更容易滿足學(xué)生希望自己成為一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的需求。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力是學(xué)生身心健康發(fā)展的需要，是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)改革順利實施的需要，從這個意義上說，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力應(yīng)該成為我們實施新課程的有效途徑，成為一種新鮮的教學(xué)模式，成為數(shù)學(xué)教學(xué)文化的一部分，更確切地說，在實施新課程數(shù)學(xué)教學(xué)改革中，合情推理應(yīng)成為教師培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的教學(xué)方法之一。

那么，如何培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力呢?這要從合情推理的形式上看。在數(shù)學(xué)中，合情推理是多種多樣的，其中歸納推理和類比推理是兩種用途最廣泛、最特殊的合情推理。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯說：“甚至在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的工具也是歸納和類比。”本文著重闡述歸納推理和類比推理，其他合情推理都是由這兩種推理衍生出來的。

一、在歸納推理中，讓學(xué)生體驗創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn)

歸納是從特殊到一般的概括過程，是一種很常用的合情推理。相對于一般命題而言，特殊命題往往更簡單、直觀和容易把握，而且在特殊問題的解決過程中經(jīng)常包含著一般問題的解題思路。正如波利亞強調(diào)的“注意對特殊情況的觀察，能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學(xué)結(jié)果，也可以發(fā)現(xiàn)一般的證明方法”。因此，在解決某個數(shù)學(xué)問題時，可以先研究它的特殊情況，再將特殊情況下的結(jié)論或解題方法推廣到一般問題當(dāng)中，進而使初始問題得到解決。

由此我們發(fā)現(xiàn)，所謂歸納，其實是一種數(shù)學(xué)思想，是一種“回到特殊”的探究策略和推理意識。奧蘇貝爾說過：“如果我們不得不將教育心理學(xué)還原成一條原理的話，我將會說，影響學(xué)生學(xué)習(xí)的重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。”所以，我們這里所說的“回到特殊”的真正內(nèi)涵是把新的數(shù)學(xué)教學(xué)問題回到學(xué)生已有的知識經(jīng)驗上去，使具備不同知識水平的學(xué)生都能參與到某一個弱化或變小的問題當(dāng)中，再沿著思維的發(fā)展拾級而上，讓他們真正實現(xiàn)“跳一跳摸的著”，并通過經(jīng)歷這種變化的過程體驗創(chuàng)新、體驗發(fā)現(xiàn)，這才是歸納的真正意義。

二、在類比推理中，讓學(xué)生感受過程與方法

類比的實質(zhì)是一種聯(lián)想，而聯(lián)想是由一事物想到另一事物的心理過程。具體地說，聯(lián)想就是將頭腦中相分離的表象聯(lián)系在一起，由一種已有的表象喚起另一種表象。聯(lián)想之所以產(chǎn)生是因為人們在數(shù)學(xué)思維活動中已存儲了豐富的數(shù)學(xué)表象，這些表象信息以結(jié)點網(wǎng)絡(luò)的方式存儲于長時記憶中，每一組表象信息也可能是一個束集，只要束集中的某一個信息被激活，該束集就會被激活，從而喚起其他表象。

類比的基本形式表現(xiàn)為猜想，波利亞曾經(jīng)反復(fù)呼吁：“只要我們承認數(shù)學(xué)創(chuàng)造中存在合情推理，需要猜想的話，數(shù)學(xué)教師就必須有教猜想的地位，必須為發(fā)明作準備，或至少給一點發(fā)明的嘗試；對于一個想以數(shù)學(xué)作為終身職業(yè)的學(xué)生來說，為了在數(shù)學(xué)上有所成就，就必須掌握合情推理；對于一般的學(xué)生來說，也要掌握合情推理，因為，這是他們未來生活的需要?！?/p>

在教學(xué)活動中，教師要適時創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生類比思維的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過對一些簡單對象的研究，類比猜想出有關(guān)復(fù)雜問題的結(jié)論。這不僅是一種由特殊到特殊的推理方法，更重要的是學(xué)生在這種思維過程中會對問題產(chǎn)生更深刻的認識，同時這種做法有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)方法，有利于學(xué)生在過程中提煉方法。

例3．(1)如圖3，當(dāng)直線L上有兩個點時，共可構(gòu)成幾條線段?

(2)如圖4，當(dāng)直線L上有三個點時，共可構(gòu)成幾條線段?

(3)如圖5，當(dāng)直線L上有四個點時，共可構(gòu)成幾條線段?

(4)從上面三個問題的解答中，你還能得到什么結(jié)論或猜想?

分析：(1)在圖3中，顯然只有一條線段，我們用1表示線段的條數(shù)；

(2)在圖4中有3條線段，我們用1+2表示線段的條數(shù)；

(3)在圖5中，有6條線段，我們用1+2+3表示線段的條數(shù)。

(4)通過上述三個問題的解答，我們還可得到下面的猜想。

猜想1：當(dāng)直線L上有n個點時，共可構(gòu)成：

的等式你能得到什么規(guī)律?請用一個等式表示你的發(fā)現(xiàn)，并說明理由。學(xué)生對這樣的問題樂于思考和探究，并通過類比容易得到：(a-1)(aⁿ+a^n-1+a^n-2+…+a+1)=aⁿ-1。該結(jié)論學(xué)生運用多項式的乘法法則可直接推得，這里證明從略。對教師來講，前面的過程只是一種精心設(shè)計，而對學(xué)生來說卻經(jīng)歷了一個從感性認識到解決問題的完整歷程，其活動的程序大致可表示如下：觀察→研究→歸納→得到猜想→驗證。

綜上所述，合情推理的實質(zhì)是探索、發(fā)現(xiàn)、經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論形成的過程，是對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，這也正是新課程大力提倡加強合情推理教學(xué)的主要原因。

在合情推理的教學(xué)氛圍中，學(xué)生逐漸開始敢于作出符合自己思考過程的數(shù)學(xué)猜想，敢于說出自己發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)論。因此，作為以新課程數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ)的合情推理，必然會為學(xué)生知識的獲取、智力的開發(fā)、身心的發(fā)展以及能力的形成提供更為廣闊的空間。因此，我們說，合情推理——新課程數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從這里開始。

(責(zé)任編輯馮琪)