不讓一個學生落后

本期話題：學生為什么學不好數(shù)學？

【按】每個教師都會遇到學習困難的學生，數(shù)學教師尤其不會例外。處理方式無非有這么幾種：（1）忽略。（2）給予“特別”的輔導，多講解幾遍。（3）與學生溝通，找到真正絆倒他們的障礙。可以毫不夸張地說，采取第三種處理辦法的教師寥寥無幾。一方面是因為缺乏這種意識，另一方面也很欠缺這種能力。從這個角度說，俞正強老師的嘗試就十分難得。學生為什么學不好數(shù)學？他們存在哪些共性？又各自有哪些問題？老師的幫助是有效的嗎？不做這樣的追問和審視，教師就可能在做無用功。

從某種意義上說，教育是特別為那些發(fā)展不那么自主的人而存在的。相對于那些天生具有某些能力的人而言，教育的價值似乎并不凸顯；相反，對發(fā)展暫時困難的人來說，教育才真正扮演了“教育”的角色一及時的介入、恰當?shù)囊龑?、微小的點撥，這些都會成為改變人心智的強大力量。教育理應摒棄以往的功利面孔，回歸責任的本原。

在一個追求教育均衡的時代，在一個高揚人文關懷的社會里，這些學生存在的種種問題都應該成為我們特別關注的焦點。唯愿更多的學生切實享受到宏大的社會追求帶來的種種關愛。

一、問題：她需要什么樣的幫助？

有這樣一道題目：

XX牌52型拖拉機，一天耕地150公畝，問12天耕地多少公畝？

一位學生是這樣解的：52x150X12=（略）

因為是新接的四年級班，對孩子不熟悉，所以俞老師就找她問話：

”告訴我，你為什么這么列式？”

“老師，我錯了?！?/p>

“好的，告訴我，你認為正確的該怎么列式？”

“除。”

“怎么除？”

“大的除以小的?！?/p>

“為什么是除呢？”

“老師，我又錯了?！?/p>

“你說，對的該怎樣呢？”

“應該把它們加起來。”

看來，這位學生是在瞎猜，只要老師重復問一句，她就習慣性地說自己錯了，接著拿另一種計算方法來搪塞。顯然，她沒有學會分析，她知道加減乘除肯定有一種是適合這道題目的，這也是在許多數(shù)學學習困難的學生中常見的現(xiàn)象。于是，俞老師又對她說：

“我們換一道題目，比如你每天吃兩個大餅，5天吃幾個大餅？”

俞老師想這道題她應該會做，因為其結構與前面的題目一樣，都是每份數(shù)、份數(shù)與總數(shù)的關系，引導學生遷移一下就可以了。

“老師，我早上不吃大餅的?！?/p>

“那你吃什么？”

“我經(jīng)常吃粽子?！?/p>

“好，那你每天吃兩個粽子，5天吃幾個粽子？”

“老師，我一天根本吃不下兩個粽子。”

“那你能吃幾個粽子？"

“吃半個就可以了?！?/p>

“好，那你每天吃半個（小數(shù)乘法沒學）粽子，5天吃幾個粽子？”

“兩個半?！?/p>

“怎么算出來的？”

“兩天一個，5天兩個半?！?/p>

這位學生的問題在哪里呢？學生學習數(shù)學，是從生活經(jīng)驗開始的，并具有很強的生活型思維習慣，但數(shù)學學習需要的是數(shù)學思維方式。舉例來說，當學生面對“每天吃兩個粽子”這一材料時，有的學生首先會想：這可能嗎？而有的學生首先會想：這是每份數(shù)。前者是一種極生活化的思考，關注材料的合理性；后者是一種數(shù)學思考，將材料抽象為一個“量”，從而進行形式化的演繹思考。

這位學生的問題就在于這種數(shù)學思考的方式尚未建立起來，也就是說，她需要的不是老師不斷地重復講這類題目，而是建立起與題目對應的數(shù)學語言，并運用數(shù)學語言間的數(shù)理關系進行演繹建構，形成我們通常所說的思維能力。而這種關于語言與思維能力的輔導是數(shù)學學習中教師所未曾注意的。

因此，學生在學習解決問題之前，需要有一個問題解決工具的掌握過程，我把這個過程稱為準備性學習。如果學生的學習發(fā)生困難，教師應該把力量花到與該學習相關的準備性材料，上去。

上述過程同時也說明，學生在學習某一知識點之前，對這一知識的了解是不均衡的。這樣，我們對班級授課制下的學生學習差異的成因與對策就有了一種新的認識。平時老師經(jīng)常會感嘆：為什么同樣的老師同樣的時間，而且都是新內容，學生的學習差別會如此之大！原因就在于學生在學習新內容之前所形成的認識是有差別的。用有差別的內在圖式去順應或同化一個新內容，結果當然是不同的。而通過準備性學習，將學生尚處于經(jīng)驗水平的圖式調整到大致相同的水平上來，是解決班級授課中學生差異的有效途徑。

二、四個準備性學習案例的分析。

事實上，當我們從案例中受到啟發(fā)而對準備性學習開始思考的時候，才意識到我們的教育先哲們曾經(jīng)對學習準備的重要性作過精辟的論述。比如孔子“溫故而知新"中的“溫故”即是對學習準備的強調；比如皮亞杰提出的同化與順應，都基于內在的圖式，而內在的圖式即可視為對學習準備的強調但是，實踐層面系統(tǒng)的研究卻一直被我們忽視了。

下面以四個準備性學習的案例為載體來討論數(shù)學教師在教學實踐中，通過改善學生的學習準備，來提高群體學習質量的可能。

案例一：幫助學生積累、整理與改造經(jīng)驗。

學生的經(jīng)驗與純粹的知識之間的關系是一個十分值得教師去研究的領域，這種研究可以對學習過程中許多令人迷惑的問題做出回答。

數(shù)學知識的起始學習應該植根于學生的經(jīng)驗之中，這已是教師們的共識。但是，我們卻很少去關注學生個體在經(jīng)驗獲得上的差別。而且個體所獲得的經(jīng)驗質量也是參差不齊的。形成經(jīng)驗差別的原因主要有兩個：生活經(jīng)歷與學生在經(jīng)歷中的悟性。因為學生的經(jīng)驗有所差別，形成了數(shù)學學習的不同起點，從而導致數(shù)學學習的不同結果。

因此，在學習純粹的數(shù)學知識之前，分析該數(shù)學知識所依賴的經(jīng)驗，并通過一定的教學方式，使班級學生能夠在經(jīng)驗層面上達到大致相同的可接受水平，這對于群體學習是十分重要的。

課例：“半個”和“一半”教學目的：激活學生生活中關于分數(shù)的經(jīng)驗，引導學生由生活中的分敷語言向科學的分數(shù)語言發(fā)展。

學具準備：一張圓形紙片教學過程：

環(huán)節(jié)一：“半個”的研究

問題（1）你見過“半個”東西嗎？在哪里看到的？

（目的：激活“半個”的經(jīng)驗。）

問題（2）“半個”和“小半個”、“大半個”有什么不同？

（目的：提煉經(jīng)驗中關于“半個”、“平均”的體驗。）

問題（3）你能用例子來證明你得到的一定是半個而不是小半個嗎？

（目的：用圓形紙片對折，強化平均體驗。）

環(huán)節(jié)二：“一半”的研究

問題（1）你認為“一半"和“半個”是同一回事嗎？

（目的：了解學生關于“一半”與“半個”的生活認識。）

問題（2）請你舉一個例子說拿出了“一半”。

[目的：體會必須說清楚，拿出誰（單位“1”）的一半？]

問題（3）請你舉一個例子說說“一半”和“半個”有什么地方不同。

（目的：體會分率與量的區(qū)別。）

問題（4）你能說說“一半”和“半個”有什么共同之處嗎？

（目的：體會并抽象出認識：都是平均分成兩份得來的。）

環(huán)節(jié)三：課堂小結

經(jīng)驗是介于純粹的生活與科學的知識之間的一種認識，對分數(shù)這一概念而言，可做如下分析：

純粹的生活經(jīng)歷

典型場景：分西瓜（分月餅）

經(jīng)驗

典型描述：半個（小半個）

科學的概念認識

典型陳述：把“1”平均分成兩份，取其中的一份是二分之一

從上述分析可以看出，支撐學生理解分數(shù)概念的不是分西瓜或分月餅這一情景本身，而是由這一情景激起的經(jīng)驗。但這一事實，卻在學生的學習過程中被忽視了，或者說被我們省略了。這種省略既表現(xiàn)在教材設計上，也表現(xiàn)在教師的課堂教學中，所以，學生在學習這一內容時，往往是從切分的生活情景直接跳躍到純粹的概念，這個跳躍過程掩蓋了學生經(jīng)驗上的差別，這種經(jīng)驗上的差別必然表現(xiàn)為科學概念獲得，上的差別。

需要特別指出的是，經(jīng)驗的獲得是純個人的，具有很強的隨機性。悟性高的學生會比較快地從經(jīng)歷中獲得經(jīng)驗，且獲得的經(jīng)驗具有一定的抽象水平，具有學習性。悟性低的學生會僅停留于事件本身，沒有獲得經(jīng)驗或所獲得的經(jīng)驗抽象水平低，不能成為支撐學生個體接受科學概念的內在結構。

在數(shù)學學習中，出現(xiàn)問題的首先是這些悟性低的學生，由于悟性（或經(jīng)歷本身）的差別，在新知識的學習中，他們已經(jīng)處于一個不均衡的起點，即悟性高的學生是不自覺地從經(jīng)驗水平到科學概念水平，而悟性欠缺的學生是被迫從事件本身直接接受科學概念的學習，因此，他們的理解會不深刻、不全面，他們需要死記硬背。

可以認為，如果有這么一個過程，讓小學生們在事件的經(jīng)歷中討論他們所獲得的經(jīng)驗，把學生們原本不自覺的、自生自滅的經(jīng)驗獲得，以一種課堂討論的方式予以呈現(xiàn)，讓所有學生意識到經(jīng)驗獲得之間的差別，并同時意識到在一個事件的經(jīng)歷過程中，是有學向可以感悟的，在此基礎上培養(yǎng)學生的經(jīng)驗獲得能力與經(jīng)驗的改造能力，使群體中學生個體的經(jīng)驗處于基本類似的水平上，對于學生科學概念的獲得具有重要意義。

案例二：幫助學生建立、轉換與使用數(shù)學語言。

語言是思維的工具，數(shù)學學習的質量不高與數(shù)學語言的建立與使用的熟練水平有密切聯(lián)系。數(shù)學語言的建立與使用需要進行專門的學習與訓練。當然，大而言之，每一節(jié)數(shù)學課學生都是在學習或建立數(shù)學語言，語言學習是逐漸豐滿完善的。但是一些幫助學生思考的語言工具如線段圖、樹形圖等，則需要有專門的課程。

課例：線段圖

教學目的：認識線段困，學會用線段困幫助思考問題。

教學過程：

環(huán)節(jié)一：展現(xiàn)線段圖的抽象過程

問題（1）生活語言：有3只小鳥，這句話可以用什么符號來表示？

符號表示一

符號表示二

符號表示三

符號表示四

（目的：展現(xiàn)符號由具象到抽象的過程，使學生體會線段圖表示數(shù)量的功能。）

問題（2）生活語言：自行車比小汽車多2輛，你可以用怎樣的符號來表示？

符號表示一

符號表示二

符號表示三

問題（3）你認為用哪種符號來表示更好？

（目的：線段可以表示更多數(shù)量，更簡潔、明了。）

環(huán)節(jié)二：練習認識線段圖

練習（1）請用線段困表示下列生活語言。

①雞和鴨一共50只。

……

練習（2）請用語言陳述下列線段圍所表達的意義。

①雞

鴨

……

環(huán)節(jié)三：進一步學習線段圖案例三：幫助學生體驗、感悟與表達數(shù)學思想。

一個正常的學童，在小學數(shù)學學習中碰到的第一個困難往往與“比較”連在一起，可以說，“比較”這一數(shù)學思想貫穿了小學生數(shù)學學習的始終，這一條貫徹始終的線可以簡單地羅列為下列幾個典型句式：

第一階段：口和口一樣多。

1、2年級口比口多（少）幾。

第二階段：口是口的幾倍。

3、4年級口比口的幾倍多（少）幾。

第三階段：口是口的幾分之幾。

5、6年級口比口多（少）幾分之幾。

從學生的發(fā)展來看，如果在1、2年級時沒搞清楚的，那么后續(xù)的學習會一直發(fā)生錯誤。針對學生的困難，教師必須思考這樣一個問題：即支撐學生理解“比較”的內在結構是什么？筆者認為是一種被稱之為“對應”的數(shù)學思想。

在小學三年級，有學生在解答應用題“已知3小時行駛150千米，照這樣計算，那么4小時應行駛多少千米”時，會出現(xiàn)這樣的列式：150÷4x3，究其原因，就是對應思想缺乏或不成熟，對識別信息不能自動地對應處理，導致數(shù)學認知的混亂。

因此，在小學起始階段，數(shù)學教師應該去關注或有意培養(yǎng)學生的對應思想、守恒思想、互逆思想等。

小學數(shù)學第一冊第一節(jié)內容是“數(shù)數(shù)”，第二節(jié)內容是“比較”，這兩個材料其實就是用來觀察學生對應思想的成熟水平的，并根據(jù)學生實際水平，有目的地讓學生做一些關于一一對應的練習與游戲，是一個十分有意義的準備性材料。

課例：數(shù)一數(shù)比一比（一年級）教學目的：培養(yǎng)學生一一對應的數(shù)學思想。

教學準備：圍棋子若干教學過程：

環(huán)節(jié)一：數(shù)數(shù)（一個一個數(shù)）（要求學生用手指點物并報數(shù)，了解學生數(shù)數(shù)中對應思想的發(fā)展。）

環(huán)節(jié)二：數(shù)數(shù)（幾個幾個數(shù)）（目的：從一個一個對應，到一組一組對應。）

環(huán)節(jié)三：比較兩堆棋子

材料1：

問：白子黑子誰更多？

材料2：

問：白子黑子誰更多？

（目的：運用對應進行比較。）

環(huán)節(jié)四：聽故事，說出誰家的人比較多（略）

（目的：將故事中的人對應到某家之下，培養(yǎng)學生的對應能力。）

案例四：培養(yǎng)學生的思維要素并達到熟練運用。

新課程提倡探究學習，老師們在運用探究學習法的時候都認為很好，可是實踐起來比較困難，因為探究很費時間，影響教學進度，使得這樣一種有意義、有價值的學習方式未能很好地為學生的學習服務。那么，有沒有辦法能夠使探究學習省時間呢？有，就是通過系統(tǒng)的課程，培養(yǎng)學生的思維要素，如怎樣觀察、如何分類、抽象聯(lián)結等。一個學生有了良好的思維要素，探究活動就會變得有效率。

比如培養(yǎng)學生的聯(lián)結能力，可以參考美國的OM頭腦訓練方法。課例：聯(lián)結能力的培養(yǎng)

材料：把（）和（）聯(lián)結起來規(guī)則：（1）評分：一般回答得2分，有創(chuàng)意回答得5分；（2）不得重復。

操作辦法：短時間地經(jīng)常練習。效果：以五年級兩個班為比較對象，A班從三年級開始就經(jīng)常開展類似的思維要素的訓練，B班從未開展過類似的訓練。測試材料相同，即“一水池單開進水管12小時放滿，單開出水管15小時放完，如果同時打開進水管與出水管，問幾小時可以把水池放滿？”

有人說在生活中是不可能出現(xiàn)同時打開進出水管這樣的情景的，你認為這種情況會出現(xiàn)嗎？

學生答案整理：

從兩個班的回答中不難發(fā)現(xiàn)，A班通過思維要素的訓練，其聯(lián)結與抽象的能力已非常突出，他們可以透過具體的形式進入最為重要的本質，思考的質量很高。B班因為沒有進行過類似的思維要素的訓練，就一直拘泥于形，以“忘記"來作解釋。

從這樣的事例中也可以看出，準備課的準備性也許在上準備課的時候，并不能馬上看出這節(jié)準備課對于學生的學習有什么幫助，但長遠來看，這些準備課將深深地影響學生的學習能力與思考質量。

學生的數(shù)學學習離不開學生的生活經(jīng)驗。在新教材中，有許多關于經(jīng)歷活動、積累經(jīng)驗的材料，比如“認識物體”，讓學生看一看，摸一摸，滾一滾，這個過程中雖然沒有對圓柱體下科學定義，但學生從中感悟的經(jīng)驗對學生在六年級時學習圓柱體，無疑是十分有益的再比如“認識物體"，比如“平移”“旋轉”等課程，都使學生積累了有益于理解數(shù)學概念與問題情境的經(jīng)驗。

三、數(shù)學準備課充滿創(chuàng)造性和人文關懷。

準備課，顧名思義，是以學習準備為目的的課，即幫助學習主體具備知識學習所要求的一些條件，提高學習質量而設計的課。就廣義而言，小學數(shù)學的每一節(jié)課都是后續(xù)學習的準備課。但本文所探討的是狹義的數(shù)學準備課，它通常是指為提高數(shù)學顯性知識的學習質量而進行的，指向經(jīng)驗、思維要素、學習品質、數(shù)學語言等內容的課堂學習。

準備課涉及的多半是隱性知識（如內在經(jīng)驗、內隱圖式、習慣、思維品質、思維要素等），作為顯性知識的支撐部分在起作用，它所取得的效果往往難以像顯性知識那樣及時檢測出來。但是，它又的確是教師為使國家課程能為學生所接受而進行的創(chuàng)造性工作的一部分，是十分值得為之努力的一個領域。我們知道，一門學科課程，課程開發(fā)者多從學科知識的系統(tǒng)性來考慮問題，這些問題可以表現(xiàn)為由簡人繁、由淺人深、由易入難等。而數(shù)學準備課則強調了人的狀況，即從人的可接受性來思考問題，完全是基于學生的學習能力而進行的。這是對人深入靈魂的學習關懷；是以教師的實際行動來幫助每一個學生獲得學習的成功，獲得課堂生活的自信，從而在真正意義上實現(xiàn)教育發(fā)展的公平與教育質量的均衡。

四、小學數(shù)學準備課的類型。

按照不同分類標準，小學數(shù)學準備課呈現(xiàn)不同的類型。

1.按學生的學習材料分類。（1）經(jīng)驗類。

這一類準備課程主要幫助學生積累更多的經(jīng)驗，讓學生有充分的感性認識，并在此基礎上進行經(jīng)驗整理，使之調整到適宜學習的狀態(tài)上來。

就數(shù)學學習而言，有助于數(shù)學學習的經(jīng)驗包括：

程序的經(jīng)驗：這種經(jīng)驗源自生活中的行動，比如分蘋果，呈現(xiàn)一個先后的程序性的聚合與分散的過程，在這一過程中獲取的經(jīng)驗成為學生理解加、減、乘除運算方式的基礎。

情景的經(jīng)驗：學生對應用題的理解程度與學生對情景的熟悉水平具有相關性。如果學生熟悉某一問題的情景，就能夠以一種親切而有信心的情緒狀態(tài)進行思考，反之，學生就會如同進入一個陌生地帶，以一種略帶緊張的情緒狀態(tài)進行思考，從而影響思考的質量。

關系的經(jīng)驗：能否在數(shù)與數(shù)、量與量之間建立正確的關系，是影響小學生數(shù)學學習質量的一個重要因素，這些建立關系的能力取決于小學生有關關系的經(jīng)驗，比如學生，的購物經(jīng)驗，能夠使他們比較容易地建立起單價與數(shù)量的相乘關系。

空間的經(jīng)驗：以從上下、左右、前后、內外開始建立起來的方位經(jīng)驗為基礎，學生在空間方面所獲得的經(jīng)驗對形體知識的理解具有十分重要的意義。

其他相關經(jīng)驗：比如度量、對聲音的感受，等等。

（2）語言類。

這一類準備課主要幫助學生體會數(shù)學語言與生活語言的差別，并學會利用數(shù)學語言進行思考，試著用數(shù)學語言進行表達。在小學數(shù)學中，學生們接觸到的數(shù)學語言主要包括圖形、數(shù)字、字母、關系式等。（3）數(shù)學思想類。

數(shù)學思考往往建筑于某些特定數(shù)學思想的成熟，比如一一對應、守恒、互逆等，在這些數(shù)學思想發(fā)展不成熟的情況下，需設計相應的課程幫助學生盡快理解這些數(shù)學思想，并使之成熟。

（4）學習方法類。

主要向學生講授一些關于學習方法的知識，培養(yǎng)一些習慣，對學習心理形成初步的認識，發(fā)展學生的認知能力。

2.按教師材料的組織分類。（1）新課程的教材提供的再創(chuàng)型準備課。

新課程的教材已經(jīng)有許多用于學習準備的材料，這些材料需要老師進行合理的再創(chuàng)造，實現(xiàn)其關于學習準備的意義。下面，我們以人教版小學數(shù)學教材為例，來看看其中為學習準備提供的材料。

與舊教材相比，新教材有了許多具有準備意義的內容，是教師著手研究學習準備的好材料。就小學數(shù)學教材來看，這種材料以一、三年級為最多，二年級其次，這是符合小學生數(shù)學認知規(guī)律的，數(shù)學老師應當很好地認識這種規(guī)律。下面，我們以“時間”為主題進行新舊教材的分析：

漸教版小學數(shù)學關于“時間”的學習安排在三年級上冊（第五冊），以“時、分、秒的認識”為課題，從認識鐘面到時、分、秒的進率安排了兩個課時。

在人教版新教材中，關于“時間”的認識，預先分別安排了一年級（上）“認識鐘表”和一年級（下）“認識時間”兩個準備性材料，這兩個材料均處于生活經(jīng)驗層面，目的是將模糊的自覺性經(jīng)驗凸顯為公共性經(jīng)驗，為進一步學習時、分、秒做好準備。

（2）教師根據(jù)學生實際原創(chuàng)的準備課程。

學習是一種共性行為，同時也是個性行為，學習過程中出現(xiàn)的隨機問題，需要教師及時解決，這就要求教師本人進行原創(chuàng)性的課程開發(fā)，可以依據(jù)前面論述的不同分類進行相應的設計。

另外，值得一提的是，準備課有多種表現(xiàn)形式，有呈現(xiàn)為復習課的，有呈現(xiàn)為新授課之中復習環(huán)節(jié)的，有呈現(xiàn)為數(shù)學游戲的，有呈現(xiàn)為數(shù)學參觀活動的，有呈現(xiàn)為針對某一經(jīng)驗而專門設計成課堂學習形態(tài)的，等等，不一而足。數(shù)學準備課的多樣性使得小學生的數(shù)學學習成為一個持續(xù)的過程，成為一個與學生生活始終連接在一起的整體。

在研究的過程中發(fā)現(xiàn)，小學數(shù)學準備課的作用是明顯的，主要有兩點：一是給老師提供了一條新思路，當學生學習發(fā)生困難時，回到知識經(jīng)驗的源頭去，而不是在末端與學生糾纏不清；二是對學生學習質量的影響是久遠而深刻的。