追尋數(shù)學(xué)的文化價(jià)值

[摘要]“數(shù)學(xué)的文化價(jià)值主要是指數(shù)學(xué)對(duì)于人們觀念、精神以及思維方式的養(yǎng)成所起的重要影響。”(鄭毓信先生語(yǔ))如何在我們的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”?筆者以為，除了從歷史層面考察數(shù)學(xué)的進(jìn)步能給予學(xué)生“文化的滋養(yǎng)”外，還應(yīng)該有微觀的深刻的一面，即以具體的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)過(guò)程本身為載體，從數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的感悟過(guò)程中去揭示數(shù)學(xué)的文化底蘊(yùn)，傳播數(shù)學(xué)的精神，這才是“數(shù)學(xué)文化性功能”的真正體現(xiàn)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué) 文化價(jià)值

“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分”。這不僅是說(shuō)靜態(tài)的、文本化的數(shù)學(xué)知識(shí)技能的符號(hào)體系是人類文化系統(tǒng)的一部分，更是指擁有一定數(shù)學(xué)意識(shí)的人群所特有的，并被共同接受或認(rèn)可的道德觀念、價(jià)值理念、思維模式、行為規(guī)范等精神領(lǐng)域的觀念意識(shí)同樣也是人類文化的重要組成部分。而數(shù)學(xué)的文化價(jià)值更是指在第二種層面上的理解和關(guān)注。借用鄭毓信先生的話：“數(shù)學(xué)的文化價(jià)值主要是指數(shù)學(xué)對(duì)于人們觀念、精神以及思維方式的養(yǎng)成所起的重要影響?！?/p>

以該視角去關(guān)注當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)狀：各種版本的課標(biāo)教材中都開辟了類似“你知道嗎”的課外小知識(shí)介紹。教師在教學(xué)時(shí)也引入了相關(guān)數(shù)學(xué)家的故事，或是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的背景資料等等，這些確實(shí)是對(duì)“數(shù)學(xué)文化價(jià)值”的有意義追求。但筆者以為。除了采用上述辦法(從歷史層面考察數(shù)學(xué)的進(jìn)步)給予學(xué)生“文化的滋養(yǎng)”外。還應(yīng)該有微觀的深刻的一面。即以具體的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)過(guò)程本身為載體，從數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的感悟過(guò)程中去揭示數(shù)學(xué)的文化底蘊(yùn)，傳播數(shù)學(xué)的精神。我們希望通過(guò)日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生都能養(yǎng)成一種理性的精神，擁有一種客觀的認(rèn)識(shí)方式，形成一種新的追求，體驗(yàn)一種不同的美感，感受一種深層次的快樂，積淀一種新的性格。這才是“數(shù)學(xué)文化性功能”的真正體現(xiàn)。

一、數(shù)學(xué)給予學(xué)生追求精確、步步為據(jù)的認(rèn)知方式

“三角形的內(nèi)角和”是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材四年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。教材是這樣編排的：第一步，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)“每塊三角尺3個(gè)內(nèi)角的和都是180度?！庇纱水a(chǎn)生探究的話題——“其他三角形的內(nèi)角和也是180度嗎?”第二步，給出不同類型的三角形，采用沿中位線對(duì)折的方法把三個(gè)內(nèi)角合并成一個(gè)平角，從而證明三角形的內(nèi)角和是180度”。

下面是一位有豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)秀教師的課堂實(shí)錄：

在學(xué)生充分活動(dòng)的基礎(chǔ)上，教師組織大家進(jìn)行交流。

生1：我是用測(cè)量的方法來(lái)證明的，我量了一個(gè)鈍角三角形，∠1=100度，∠2=30度，∠3=50度。

師：?jiǎn)?，正好?80度，量得真準(zhǔn)。

生2(演示)：我的方法是把三個(gè)角都剪下來(lái)。然后把它們拼在一起。就成了一個(gè)平角。

生3(生在前排)：不對(duì)，中間有空隙的。

師(連忙打住)：拼的時(shí)候可要仔細(xì)點(diǎn)。

生4：我的方法跟他差不多。我先畫了一個(gè)平角。然后再把這三個(gè)角分別畫下來(lái)。頂點(diǎn)重合，我發(fā)現(xiàn)這個(gè)拼成的大角正好等于原來(lái)的平角，所以我認(rèn)為三角形的內(nèi)角和是180度。(該生展示的作品中兩個(gè)角的邊是疊在一起的。)

生5：我是采用折的方法來(lái)證明的。(和書上一樣。)但是我發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)難。(這位學(xué)生的演示也是不精確的。)

如果僅從知識(shí)的傳授、技能的掌握、學(xué)生主體性地位的體現(xiàn)、創(chuàng)造性思維的開發(fā)等角度看，應(yīng)該說(shuō)本節(jié)課已經(jīng)很好地達(dá)成了既定的教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生探索三角形內(nèi)角和的方法多種多樣，活動(dòng)的體驗(yàn)也是豐富有效的，最終指向同一個(gè)結(jié)論“三角形的內(nèi)角和是180度”。但筆者以為。除了上述這些各門學(xué)科都通用的“教學(xué)關(guān)注點(diǎn)”外，還應(yīng)該讓我們的數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)出它本身的特性。即引領(lǐng)學(xué)生去感受蘊(yùn)含在學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中的一種數(shù)學(xué)的精神，一種數(shù)學(xué)的態(tài)度，一種數(shù)學(xué)的認(rèn)知方式。

我們都知道，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是一些抽象的客觀實(shí)在，不為人類的情感所轉(zhuǎn)移或更改，因此我們可以通過(guò)公理化的方法和抽象的邏輯證明的形式來(lái)獲得對(duì)事物的精確認(rèn)識(shí)。有了這樣一種對(duì)“數(shù)學(xué)”的認(rèn)識(shí)，再來(lái)重新品味這則案例：課堂上學(xué)生呈現(xiàn)的這些方法，其實(shí)均屬科學(xué)研究領(lǐng)域的實(shí)驗(yàn)論證法，其證明結(jié)果的可靠性也正如學(xué)生普遍感知的“差不多”、“有誤差”。這樣的認(rèn)知并不是數(shù)學(xué)的本性。所以當(dāng)學(xué)生提出他們各種證明方法時(shí)，教師要做的不是故意替學(xué)生“打圓場(chǎng)”。而是通過(guò)巧妙的語(yǔ)言引導(dǎo)。有意識(shí)地激化學(xué)生的懷疑之心。誘發(fā)他們進(jìn)一步尋求科學(xué)的數(shù)學(xué)理性證明方法的欲望：“有沒有一種能精確證明這一結(jié)論的方法呢?”那么究竟有沒有?有，很簡(jiǎn)單，運(yùn)用平行線定理“內(nèi)錯(cuò)角相等”即可輕松獲證(見圖1)。

也許學(xué)生暫時(shí)還不能理解這種方法所蘊(yùn)含的道理，但不能因此剝奪他們思考的權(quán)利、探究的欲望。更不能喪失這樣一種感受數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)思維方式的機(jī)會(huì)。這對(duì)學(xué)生素質(zhì)的形成具有更為重要的意義。

二、數(shù)學(xué)要給予學(xué)生超越現(xiàn)象、探求本質(zhì)的理性探索精神

組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)之間關(guān)系的探究以獲得一些具有普遍意義的數(shù)學(xué)規(guī)律或結(jié)論。是小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域常見的教學(xué)內(nèi)容。通過(guò)這些問題的研究。一方面可以讓學(xué)生初步感知探究性學(xué)習(xí)的方法步驟，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)；另一方面也可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，感受數(shù)學(xué)的思想方法，提升對(duì)知識(shí)理解應(yīng)用的能力。

比如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)教材第81頁(yè)上有這樣一個(gè)問題：“三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和都是3的倍數(shù)嗎?三個(gè)連續(xù)奇數(shù)或偶數(shù)的和呢?自己找一找，算一算，并在小組里交流?！?/p>

“要交流哪些內(nèi)容?”不同的人會(huì)因?yàn)楦髯岳斫獾牟町惗鴮?dǎo)致不同的教學(xué)行為。筆者以為交流自己的研究過(guò)程、研究方法以及研究的結(jié)論固然重要，但結(jié)論獲得以后是否意味著教學(xué)的結(jié)束呢?筆者試著做過(guò)以下的教學(xué)嘗試：

師：通過(guò)剛才的研究我們獲得了一致的結(jié)論：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和一定是3的倍數(shù)。非常棒!但在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不能僅問幾個(gè)“是什么”。更要問幾個(gè)“為什么”。你們有沒有想過(guò)，為什么三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和“一定是3的倍數(shù)”呢?

此言一出，教室里立刻安靜了下來(lái)，學(xué)生顯然不適應(yīng)這種思考問題的方式。而這才真正涉及數(shù)學(xué)的本性。經(jīng)過(guò)一番小組討論，終于有結(jié)果了。

生1：我們是這樣思考的：用幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)除以3后，余數(shù)的排列是有規(guī)律的。任意截取其中一段的三個(gè)數(shù)，其中必含有0、1、2。只要我們把余數(shù)1和余數(shù)2合起來(lái)，那么奈數(shù)就變成了3。正好可以再分一分。所以我們認(rèn)為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和一定是3的倍數(shù)。

生2：我們組想到了“移多補(bǔ)少”的方法。三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)就是中間數(shù)。那么用中間數(shù)乘3就求到這三個(gè)數(shù)的和，所以這個(gè)和也就一定是3的倍數(shù)。

現(xiàn)象是本質(zhì)的外在表現(xiàn)，是事物發(fā)展、變化過(guò)程中的外在形式。本質(zhì)是存在于現(xiàn)象內(nèi)部，貫穿在各方面現(xiàn)象之中的內(nèi)部的穩(wěn)定的東西。人們只有深刻地把握了事物的本質(zhì)，才能把不同事物區(qū)別開來(lái)，獲得對(duì)事物的正確的認(rèn)識(shí)。也才能發(fā)揮真正的功效。同樣道理，數(shù)學(xué)上任何一個(gè)規(guī)律的出現(xiàn)都不是一種偶然，其背后必有支撐它存在的依據(jù)和理由。因此數(shù)學(xué)家們總是不滿足于某些具體結(jié)果或結(jié)論的獲得，總是希望能獲得更為深入的本質(zhì)的理解，以達(dá)到更高層次的抽象，這也直接促進(jìn)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。我們并不期望每一個(gè)孩子都成為數(shù)學(xué)家，但希望通過(guò)日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們的孩子都能感悟數(shù)學(xué)家的思維方式，能形成“追根究底”的科學(xué)探索精神。進(jìn)而內(nèi)化為自己的素質(zhì)積淀，成為他們分析處理事情的有效工具，為孩子可持續(xù)發(fā)展積蓄前行的動(dòng)力。我想也許第一次、第二次甚至更多次，需要我們老師去點(diǎn)撥思考的方向，但長(zhǎng)此以往，總有一天你會(huì)欣喜地聽到孩子們激動(dòng)的聲音“老師，我知道這是為什么了?而且我還想到了……?！?/p>

三、數(shù)學(xué)要給予學(xué)生不斷超越、求精求簡(jiǎn)的意識(shí)

簡(jiǎn)潔是數(shù)學(xué)的重要特性之一。這不僅是指外在的符號(hào)表達(dá)形式，還指數(shù)學(xué)化的抽象化的思維方式和工作方式。在理論科學(xué)的研究中，科學(xué)家們常常以不斷追求簡(jiǎn)潔作為自己的工作目標(biāo)，他們總是試圖找出比現(xiàn)行策略方法更簡(jiǎn)單、更有效、更一般、更抽象的方法。以達(dá)成對(duì)自然界的真正認(rèn)知，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。因此在日常教學(xué)中我們也要引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)這種數(shù)學(xué)的思維意識(shí)和思維方式，養(yǎng)成自覺求精求簡(jiǎn)的意識(shí)。

請(qǐng)看下面案例：

學(xué)完三位數(shù)除以一位數(shù)后，我出示了這樣一道常規(guī)習(xí)題：從840里連續(xù)減去( )個(gè)5，結(jié)果是O。

在學(xué)生獨(dú)立思考后我組織這樣的交流：

師：(故意為難狀)840-5-5-5-……，減到什么時(shí)候結(jié)果才是O呢?

生1：(急著舉手)不用那么麻煩，只要用840÷5就可以得到是168個(gè)5。

師：不對(duì)，明明要求用減法，你們卻用除法來(lái)解決這個(gè)問題，這樣行嗎?

生2：行。因?yàn)橛脺p法做太麻煩了。

生3：8400，就是從840里先拿出一個(gè)5。再拿出一個(gè)5，……，也就是840里有多少個(gè)5，就要減多少次。

生4：每次都要減去5，也就是把840平均分，每5個(gè)分一份，所以可以用除法計(jì)算。

教師一開始的故意為難，實(shí)際上是把學(xué)生的認(rèn)知退還到更原始的、朦朧的自發(fā)狀態(tài)，為后面學(xué)生能真正體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美，感受到數(shù)學(xué)這門學(xué)科的發(fā)展軌跡，領(lǐng)悟努力求精的科學(xué)探索精神提供了可能。

師：進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，有時(shí)我們發(fā)現(xiàn)連續(xù)減去同一個(gè)數(shù)太麻煩，于是人們便創(chuàng)造出了除法。由此你聯(lián)想到——?

生1：乘法也是這樣。很多相同的加數(shù)相加，我們就可以用乘法計(jì)算。

生2：乘法是對(duì)加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法也是對(duì)減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

師：那同學(xué)們有沒有想過(guò)，是否有這么一無(wú)我們也會(huì)覺得乘法計(jì)算也不夠簡(jiǎn)便呢?

生3：我覺得會(huì)的。乘法就是比加法先進(jìn)，那為什么沒有比乘法更先進(jìn)的呢?

生4：那我想肯定也會(huì)有比除法更簡(jiǎn)便的運(yùn)算。

生5：老師，我好像聽過(guò)什么“乘方”。

數(shù)學(xué)本身就是在不斷追求簡(jiǎn)潔的過(guò)程中逐步發(fā)展前行的。我們知道加法是把兩個(gè)集合的元素合并在一起的運(yùn)算，而乘法是對(duì)加法的一種超越。是在實(shí)際運(yùn)用的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)加法中的某種特殊類型：若干個(gè)相同加數(shù)相加比較麻煩，我們就創(chuàng)造出了乘法這種新的運(yùn)算，數(shù)學(xué)也就進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展階段。同樣的道理，我們也會(huì)碰到這樣的問題。如果有若干個(gè)相同的因數(shù)連續(xù)相乘時(shí)，數(shù)學(xué)的家族便會(huì)再次擴(kuò)充，一位新成員“乘方”進(jìn)入了大家的視野。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，我們相信這種變化還將一直持續(xù)，但不管如何發(fā)展，凝結(jié)于其間的不斷努力，求精超越的意識(shí)和精神正是人類文化的精髓，也是數(shù)學(xué)文化價(jià)值的重要體現(xiàn)。

四、數(shù)學(xué)要給予學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于堅(jiān)持的性格特征

數(shù)學(xué)歷來(lái)被認(rèn)為是真理的典范?！笆俏ㄒ豢梢源_信的東西”，但另一方面數(shù)學(xué)本身蘊(yùn)藏的理性探索，求真超越的精神又不斷促使人們對(duì)數(shù)學(xué)的真理體系產(chǎn)生懷疑?！拔釔畚釒?，吾更愛真理。”亞里士多德的這句名言集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的批判精神?？v觀整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程，每一次重大的數(shù)學(xué)變革都是源于對(duì)既有數(shù)學(xué)觀念的一種反叛性思考。對(duì)權(quán)威是一次挑戰(zhàn)。

我們要結(jié)合數(shù)學(xué)史中翔實(shí)的事例，引導(dǎo)孩子們形成尊重事實(shí)，崇尚真理的精神品質(zhì)。比如六年級(jí)總復(fù)習(xí)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，引入這樣的數(shù)學(xué)史料：

“公元前580年。在古希臘，人們普遍贊同畢達(dá)哥拉斯的觀點(diǎn)：萬(wàn)物皆數(shù)。當(dāng)時(shí)他們認(rèn)定的數(shù)，一般是指整數(shù)，即使是分?jǐn)?shù)也不能算伴正常意義上的一種數(shù)。然而該學(xué)派的成員希伯索斯在一次偶然的機(jī)會(huì)中，卻根據(jù)勾股定理用邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不能用整數(shù)的比來(lái)表示。這種發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是荒謬和違反常識(shí)的事。它不僅嚴(yán)重地違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見解。相傳希伯索斯因這一發(fā)現(xiàn)被投入海中淹死。雖然無(wú)理數(shù)因此暫時(shí)被重新埋沒。但希伯索斯的理性批判精神。對(duì)真理的執(zhí)著追求激勵(lì)一批又一批的數(shù)學(xué)家為之奮斗，最終在幾何學(xué)中被成功解決?！?/p>

當(dāng)然我們更要尋找日常教育教學(xué)的契機(jī)，有效點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生在獲得知識(shí)掌握技能的同時(shí)感受數(shù)學(xué)的這種特性，使他們從小做不迷信權(quán)威，敢于堅(jiān)持，具有獨(dú)立人格和自立自強(qiáng)的人。

聽過(guò)這么一個(gè)教學(xué)片斷：

“軸對(duì)稱圖形”一課，教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察判斷三角形、平行四邊形、梯形、五邊形和圓這五種圖形中哪些是軸對(duì)稱圖形。哪些不是。大家的意見不一?！熬烤孤犝l(shuí)的?”教師有意識(shí)地問?！奥犖业摹！薄奥犖业?，我媽媽告訴我的?！薄拔铱磿?。”“讓老師說(shuō)吧。”……教室里一片吵嚷聲?？山锹淅镞€有一個(gè)聲音與眾不同“還是動(dòng)手折一折吧?！贝蠹疫@才恍然大悟。最后結(jié)論出來(lái)了，教師并未就此告結(jié)，而是進(jìn)一步追問：“當(dāng)結(jié)論不一致時(shí)，咱們究竟應(yīng)該聽誰(shuí)的?”“應(yīng)該相信實(shí)驗(yàn)的結(jié)果?！薄皩?duì)。教學(xué)學(xué)習(xí)中沒有誰(shuí)是權(quán)威，真正的權(quán)威是數(shù)學(xué)本身?！苯處煹淖詈笠幌捒芍^是點(diǎn)睛之筆，對(duì)學(xué)生精神的滋養(yǎng)是無(wú)限的。

“數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”并不是數(shù)學(xué)與文化的簡(jiǎn)單相加，也不是數(shù)學(xué)史料的簡(jiǎn)單收集堆砌，它就存在于數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)這一“母體”之內(nèi)，需要我們教師用一副數(shù)學(xué)的頭腦去感悟，用一雙數(shù)學(xué)的眼睛去發(fā)現(xiàn)。用一種數(shù)學(xué)的思維去引領(lǐng)，讓我們的孩子在收獲知識(shí)的同時(shí)更收獲一種“數(shù)學(xué)的精神”。