數(shù)學(xué)教材內(nèi)涵透視與精加工策略

數(shù)學(xué)教材是課程標(biāo)準(zhǔn)具體化的產(chǎn)物，是教師和學(xué)生在課堂上展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)的主要依據(jù)和憑借。作為教學(xué)設(shè)計(jì)的重要前提，鉆研教材是教學(xué)研究的一個(gè)永恒話題。在新課程背景下，由于數(shù)學(xué)教材從內(nèi)容到形式都發(fā)生了較顯著的變化，我們?cè)阢@研教材時(shí)不僅要從宏觀上、整體上去把握一冊(cè)教材、一個(gè)單元在整個(gè)教材體系中的地位作用，更要從微觀的角度深刻研究每一課時(shí)教材的具體內(nèi)容、編寫層次和編寫意圖，著力讀懂、讀透教材的每一幅圖、每一句話甚至每一道習(xí)題，把握文本背后所蘊(yùn)藏著的豐富內(nèi)涵。只有在真正把握好了教材，我們才有可能用好、用足教材，并根據(jù)教學(xué)活動(dòng)的實(shí)際需要，采取必要的精加工策略，從而提高課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施水平。在鉆研和把握教材的過(guò)程中，我們應(yīng)特別注意以下幾點(diǎn)：

一、透過(guò)具體的素材看到抽象的數(shù)學(xué)

[教材舉例]

蘇教版教材二年級(jí)下冊(cè)的“認(rèn)識(shí)角”。教材例題是這樣編寫的：首先出示了一幅場(chǎng)景圖，給出了許多含有角的實(shí)物；接著出示了白菜老師的提示語(yǔ)“你能在哪些物體的面上找到角”；然后再?gòu)膱?chǎng)景圖中選取幾樣實(shí)物，用紅色線條標(biāo)出角的圖形。

[教材內(nèi)涵透視]

教材場(chǎng)景圖中給出的五角星、三角尺、紙工袋、鬧鐘、正方形紙等物體，都是學(xué)生在日常生活中常見(jiàn)的。幾何圖形上的角和生活中的角是有密切聯(lián)系的。通過(guò)觀察，可以喚醒學(xué)生頭腦中已有的對(duì)角的模糊認(rèn)識(shí)和印象。教材中白菜老師的提問(wèn)，可以引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)地把這種初步的表象加以確認(rèn)。在此基礎(chǔ)上，教材選取了3樣實(shí)物上的角和幾何形態(tài)的角加以重疊，并突出顯示了幾何形態(tài)的角，隨后把實(shí)物隱去。這個(gè)變化的過(guò)程。顯然是在幫助學(xué)生作出進(jìn)一步的幾何抽象，建立起角的概念意象。

數(shù)學(xué)的世界是一個(gè)抽象的世界，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)主要任務(wù)就是要幫助學(xué)生在頭腦中建構(gòu)起各種數(shù)學(xué)概念，并能依據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、分析實(shí)際生活中的客觀事物，解決相應(yīng)的問(wèn)題。在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念的理解并不是“憑空”建構(gòu)的，常常需要經(jīng)歷一個(gè)從具體到抽象的過(guò)程。上述教材中。為我們提供了豐富而典型的現(xiàn)實(shí)素材。但是如果我們教師僅僅停留在讓學(xué)生看看、摸摸、記記、做做等直觀層面和單純記憶層面上，表面上看，活動(dòng)挺豐富、氣氛很熱烈，其實(shí)學(xué)生對(duì)角這個(gè)概念意象的建構(gòu)必將是不到位的。因?yàn)閿?shù)學(xué)概念意象的形成，并不是簡(jiǎn)單地由教師將形式化的東西直接塞進(jìn)學(xué)生的頭腦中，它必須通過(guò)具體的、直觀的、生活中的素材來(lái)逐步呈現(xiàn)，讓學(xué)生在充分感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行形式化的抽象。我們教師必須透過(guò)這些具體的素材看到抽象的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

[精加工策略]在感知中抽象

在教學(xué)過(guò)程中，教師要幫助學(xué)生以已有的直觀形象和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)。引導(dǎo)學(xué)生回顧、再現(xiàn)這些“認(rèn)知基礎(chǔ)”，在充分感知后通過(guò)合理的抽象正確地去建立角的概念意象，形成數(shù)學(xué)化的概念。我們可以對(duì)教材教學(xué)作如下處理：

一度感知抽象：在教學(xué)中，我們首先要讓學(xué)生在豐富的素材中自由地去找到他們頭腦中所存在的角，激活認(rèn)知基礎(chǔ)，通過(guò)指一指、點(diǎn)一點(diǎn)、說(shuō)一說(shuō)等活動(dòng)讓學(xué)生充分感知角的幾何特征。在此基礎(chǔ)上，教師將實(shí)物圖片漸漸隱去，從中剝離、抽象出角的幾何圖形。通過(guò)對(duì)多個(gè)幾何形態(tài)的角的對(duì)比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)角的共同特征，最后歸納指出角的各部分名稱。至此，學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)已經(jīng)初步實(shí)現(xiàn)了由具體向抽象的過(guò)渡，已經(jīng)能夠借助直觀形象和經(jīng)驗(yàn)去建構(gòu)出角的幾何概念意象。隨后，教師可以安排一些鞏固性練習(xí)。如教材“想想做做”中判斷是否是角、數(shù)角個(gè)數(shù)的練習(xí)，以此鞏固學(xué)生對(duì)抽象概念的認(rèn)知成果。

二度感知抽象：教材中安排動(dòng)手做角的活動(dòng)，目的是進(jìn)一步鞏固對(duì)角的認(rèn)識(shí)，通過(guò)動(dòng)手做來(lái)讓學(xué)生將頭腦中關(guān)于角的概念意象再現(xiàn)出來(lái)并實(shí)物化、具體化。在學(xué)生動(dòng)手制作后，應(yīng)展示成果，同時(shí)讓學(xué)生用語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)、用手指指所做的角的各部分。在做和說(shuō)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)對(duì)角的概念意象和原先具有的直觀形象、經(jīng)驗(yàn)作出必要的整合，從而在更高的層次上建立起一個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)于角的心理表征，深化了對(duì)概念的認(rèn)識(shí)。

上述兩度感知抽向過(guò)程，從思維方向來(lái)說(shuō)正好相反，第一次是由直觀向抽象推進(jìn)，第二次是將抽象的結(jié)果加以具體化、外顯化。但兩次都借助了直觀具體的素材，讓學(xué)生從中充分感知，并逐步向抽象層面過(guò)渡，建立起角的概念意象。

二、透過(guò)靜態(tài)的文本看到動(dòng)態(tài)的過(guò)程

[教材舉例]

蘇教版教材一年級(jí)下冊(cè)的“統(tǒng)計(jì)”。教材例題是這樣編寫的：教材第一幅情景圖呈現(xiàn)了4個(gè)小朋友商量數(shù)圖形的情景，第二幅圖呈現(xiàn)了報(bào)名稱、記錄的情景，下面出現(xiàn)了3種不同記錄方式和結(jié)果。茄子老師提問(wèn)：誰(shuí)記得既清楚又方便?你喜歡用哪一種方法記?最后呈現(xiàn)了一張統(tǒng)計(jì)表格。

[教材內(nèi)涵透視]

第一幅圖中呈現(xiàn)了一堆雜亂的正方形、三角形和圓的圖片。一位小朋友們問(wèn)每種圖形各有多少個(gè)，另一位說(shuō)：“我報(bào)名稱，你們記下來(lái)。”其實(shí)在這種情況下，最簡(jiǎn)單的解決方法是在桌上分一分、數(shù)一數(shù)。然而教材中卻要求用“我報(bào)名稱，你們記下來(lái)”的方法來(lái)解決問(wèn)題。那為什么不用簡(jiǎn)單的方法呢?顯然。在一年級(jí)上學(xué)期。學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了統(tǒng)計(jì)已經(jīng)發(fā)生的事件里的信息。本課教材是在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)在隨機(jī)事件中收集信息的統(tǒng)計(jì)能力，即事件或是尚未發(fā)生、數(shù)量沒(méi)有確定，或是事件里的信息沒(méi)有固定的呈現(xiàn)規(guī)律。教材巧妙地通過(guò)一個(gè)小朋友所說(shuō)的“我來(lái)報(bào)名稱、你們記錄”這句話，營(yíng)造了這個(gè)動(dòng)態(tài)隨機(jī)事件的活動(dòng)情境。第二幅圖中就是展現(xiàn)了這個(gè)活動(dòng)的過(guò)程，一位小朋友隨機(jī)報(bào)名稱。其他小朋友用不同方法記錄。圖下出現(xiàn)的3種不同記錄方法和結(jié)果。其中繁簡(jiǎn)程度不一，所以由茄子老師提問(wèn)讓學(xué)生比較選擇。優(yōu)化記錄方法。

上述這種隨機(jī)事件的呈現(xiàn)形式，由于受到教材編排的限制，不得不采用靜態(tài)的形式。其實(shí)這些靜態(tài)化的文本，承載了豐富的、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的研究告訴我們，人們要認(rèn)識(shí)一個(gè)概念或者掌握一種技能，必須經(jīng)歷一個(gè)動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)過(guò)程，在一種特定的學(xué)習(xí)環(huán)境(問(wèn)題情境)中自由探索，最終在學(xué)習(xí)者頭腦中建構(gòu)起關(guān)于所學(xué)內(nèi)容的完整、有效的認(rèn)知體系，充實(shí)完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，我們教師必須透過(guò)靜態(tài)的文本看到動(dòng)態(tài)的過(guò)程，對(duì)靜態(tài)教材文本作一番動(dòng)態(tài)化處理。

[精加工策略]在動(dòng)態(tài)中建構(gòu)

讓教材動(dòng)起來(lái)，把原有靜態(tài)文本的意圖領(lǐng)會(huì)后，要設(shè)計(jì)成一些具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生在具體的活動(dòng)中感受到數(shù)學(xué)問(wèn)題的存在，通過(guò)自主嘗試、合作交流來(lái)建構(gòu)合適的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的全過(guò)程，最終解決問(wèn)題并發(fā)展數(shù)學(xué)思考能力。比如有一位老師用課件設(shè)計(jì)了動(dòng)物園里的小猴子吃餅干的情境，一塊一塊形狀不同的餅干從上方掉下來(lái)，小猴子用嘴接住并吃掉，播放后讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)每種形狀的餅干各有多少塊。這樣一來(lái)就把學(xué)生帶進(jìn)隨機(jī)事件的情境中，讓學(xué)生能夠主動(dòng)地感受到用以前所學(xué)的分一分、數(shù)一數(shù)的方法來(lái)統(tǒng)計(jì)是行不通的，因此學(xué)生就會(huì)主動(dòng)地去尋找一種新的、合理的統(tǒng)計(jì)方法，即先要將信息記錄下來(lái)，然后再進(jìn)行整理統(tǒng)計(jì)，盡管在嘗試實(shí)踐中出現(xiàn)了不同的記錄方法，但其本質(zhì)是一致的。學(xué)生在交流中逐步掌握一種比較簡(jiǎn)便、清晰的記錄方法(用打“√”的方法)。

總之，教材由于篇幅、呈現(xiàn)形式的限制，不得不通過(guò)這種靜態(tài)的文本來(lái)傳遞和介紹學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)程序，同時(shí)教材也不可能把所有的教學(xué)內(nèi)容都講得十分詳盡，學(xué)生看到的往往是思維的結(jié)果。而不是知識(shí)的形成過(guò)程和思維活動(dòng)過(guò)程(雖然教材也試圖通過(guò)豐富的圖文來(lái)盡可能展現(xiàn)動(dòng)態(tài)化的學(xué)習(xí)過(guò)程，但這畢竟只是象征性的)。真正的動(dòng)態(tài)化認(rèn)知過(guò)程的構(gòu)建。必須由教師根據(jù)教材內(nèi)容特點(diǎn)，透過(guò)教材中靜態(tài)的文本型的內(nèi)容看到數(shù)學(xué)知識(shí)技能形成的動(dòng)態(tài)化學(xué)習(xí)、建構(gòu)過(guò)程，進(jìn)行合理有效的教學(xué)設(shè)計(jì)。讓每個(gè)學(xué)習(xí)者經(jīng)歷完整的認(rèn)知過(guò)程。

三、透過(guò)習(xí)題的練習(xí)功能看到習(xí)題的學(xué)習(xí)功能

[教材舉例]

以蘇教版三年級(jí)下冊(cè)的“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”為例：

在新授部分，教材引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一；后面“想想做做”的第4題是這樣的：一堆小棒有12根，分別拿出這堆小棒的1/2和1/3，你還能拿出這堆小棒的幾分之幾?

[教材內(nèi)涵透視]

上述“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教材中，主要教學(xué)“把由若干個(gè)物體組成的一個(gè)整體平均分成幾份，其中的一份可以用幾分之一表示”這個(gè)內(nèi)容。為了加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，在練習(xí)中安排了逆向思考的習(xí)題，即題中給出幾分之一的分?jǐn)?shù)。要求學(xué)生涂出或拿出相應(yīng)的個(gè)數(shù)。“想想做做”第4題正是這樣的一道習(xí)題。學(xué)生要拿出這堆小棒的1/2，就要根據(jù)1/3這個(gè)分?jǐn)?shù)的意義，先把這堆小棒平均分成2份，取出其中的1份，正好是6根小棒。在拿小棒的過(guò)程中，學(xué)生鞏固了對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，這是從普通的練習(xí)功能而言的，也只是我們孤立地站在這一堂課的教學(xué)內(nèi)容來(lái)看待時(shí)所得出的結(jié)論。其實(shí)從這道習(xí)題中我們還能夠透過(guò)這種練習(xí)功能看到它的學(xué)習(xí)、拓展功能。這道習(xí)題與后面學(xué)習(xí)的“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”有著一定的聯(lián)系，也是今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一個(gè)起點(diǎn)。它在起到鞏固本課概念的同時(shí)，也在為后續(xù)的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)作必要的鋪墊，這正是此習(xí)題的學(xué)習(xí)功能。

習(xí)題作為小學(xué)數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，在每?jī)?cè)教材中都占有相當(dāng)高的比例，以練習(xí)為主的練習(xí)課超過(guò)所有課時(shí)的1/3，加上新授課、復(fù)習(xí)課中的大量學(xué)生做練習(xí)的時(shí)間，或許可以說(shuō)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有60％以上的時(shí)間是在進(jìn)行數(shù)學(xué)練習(xí)。在教學(xué)中我們也不難發(fā)現(xiàn)教材中有許多習(xí)題不僅僅是一個(gè)單純的鞏固練習(xí)，它們還承載著一定的學(xué)習(xí)功能。因此我們還要透過(guò)習(xí)題的練習(xí)功能看到其學(xué)習(xí)功能。

[精加工策略]在練習(xí)中拓展

基于以上認(rèn)識(shí)，在練習(xí)中我們要注意適當(dāng)?shù)耐卣?，為今后的深入學(xué)習(xí)打下伏筆。我們可以設(shè)計(jì)這樣的練習(xí)過(guò)程：

(1)明確習(xí)題要求，讓學(xué)生拿出這堆小棒的1/2，并介紹自己拿了多少根以及為什么這樣拿。

(2)同樣的方法繼續(xù)拿這堆小棒的1/3，并解釋。

(3)回顧思考：拿出的根數(shù)不同，這與分?jǐn)?shù)中的什么部分有關(guān)?是怎樣的關(guān)系?(在交流中懂得與分母有關(guān)，只要用總數(shù)除以平均分的份數(shù)，也就是除以分母就行了。)

(4)讓學(xué)生根據(jù)自己發(fā)現(xiàn)的特殊關(guān)系繼續(xù)拿12根小棒的幾分之一。

在這樣的練習(xí)中，教師一方面通過(guò)實(shí)際的操作思考強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)，還有意識(shí)地進(jìn)行了拓展，把分?jǐn)?shù)跟除法溝通起來(lái)，有利于今后系統(tǒng)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算。

教師要對(duì)教材中大量習(xí)題的功能作出進(jìn)一步的研究和把握，提高認(rèn)識(shí)。尤其是在新教材中。改變了以往那種一道例題配幾道同類習(xí)題的形式，在例題和習(xí)題之間那種新授學(xué)習(xí)和鞏固練習(xí)的對(duì)應(yīng)聯(lián)系已經(jīng)與以往大相徑庭了，其邊界也比較模糊。因此，我們要在注重習(xí)題的練習(xí)鞏固這個(gè)短期功能的同時(shí)，進(jìn)一步關(guān)注習(xí)題的長(zhǎng)遠(yuǎn)學(xué)習(xí)價(jià)值，通過(guò)解題來(lái)鍛煉和發(fā)展學(xué)生思維。這就需要我們對(duì)教材中的每一道習(xí)題進(jìn)行充分研究、細(xì)心揣摩，透過(guò)習(xí)題的練習(xí)功能看到習(xí)題的學(xué)習(xí)功能，將習(xí)題用足、用好、用到位，發(fā)揮其應(yīng)有價(jià)值。

四、透過(guò)教材的學(xué)科價(jià)值看到教材的課程價(jià)值

[教材舉例]

蘇教版教材三年級(jí)下冊(cè)“了解千米”中有這樣一道題目，要求學(xué)生到圖書館或網(wǎng)上去查找有關(guān)馬拉松長(zhǎng)跑比賽、轎車在高速公路上行駛速度、磁懸浮列車速度、地球繞太陽(yáng)每秒運(yùn)行速度、世界最長(zhǎng)的3條河流名稱及長(zhǎng)度等資料。

[教材內(nèi)涵透視]

顯然，這道題能夠進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)千米的認(rèn)識(shí)與體驗(yàn)，但其中又整合了包括天文地理在內(nèi)的不少知識(shí)，顯然編者是想讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得更豐富的知識(shí)。另外，這許多知識(shí)又不是通過(guò)老師直接告訴而得到的，而是必須讓學(xué)生借助圖書館或者網(wǎng)絡(luò)途徑自主地去獲取。

類似的，教材中多處介紹中外數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，涉及數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)研究方法、成就等內(nèi)容，以習(xí)題、旁注、注釋、專題補(bǔ)充等多種形式出現(xiàn)。如在蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“倍數(shù)和因數(shù)”單元后面，編者以“你知道嗎”的形式補(bǔ)充了哥德巴赫猜想的內(nèi)容，并介紹了我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)的研究成果。再如在空間和圖形知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，安排了七巧板的有關(guān)史料，使學(xué)生感受幾何構(gòu)圖的美學(xué)原理和前人的聰明才智。

從具體的課程目標(biāo)中，我們可以發(fā)現(xiàn)新課程改革的基本價(jià)值趨向，即確立科學(xué)與人文融合的新教育價(jià)值觀，試圖通過(guò)這種聯(lián)系，讓學(xué)生更全面地提高學(xué)習(xí)能力，拓寬知識(shí)面，培養(yǎng)文化意識(shí)。蘇教版教材主編孫麗谷老師在談到數(shù)學(xué)學(xué)科的課程價(jià)值時(shí)表示：要注重讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，增進(jìn)理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心；讓學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然科學(xué)和人文科學(xué)之間的關(guān)系，對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)教育和審美教育；讓學(xué)生初步了解有關(guān)的數(shù)學(xué)背景知識(shí)，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程。激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；讓學(xué)生學(xué)會(huì)用各種資源進(jìn)行學(xué)習(xí)，豐富學(xué)習(xí)活動(dòng)，改善學(xué)習(xí)方式。

因此，我們?cè)阢@研教材時(shí)還要透過(guò)教材的學(xué)科價(jià)值看到教材的課程價(jià)值。

[精加工策略]在整合中提升

基于這樣的認(rèn)識(shí)，我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)中必須要注重在引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的同時(shí)，整合多種學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的課程價(jià)值。首先，教師要利用有關(guān)的習(xí)題，創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)多種途徑去獲取相關(guān)的知識(shí)。比如可以結(jié)合信息技術(shù)的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與之整合，全面提升學(xué)生知識(shí)素養(yǎng)和信息技術(shù)應(yīng)用素養(yǎng)；也可以讓學(xué)生深入到圖書館、深入到生活中去了解相關(guān)知識(shí)，豐富學(xué)生的知識(shí)面。其次，教師還可以充分借助書本上的有關(guān)數(shù)學(xué)史，相機(jī)介紹古代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)研究成果，讓學(xué)生在聽(tīng)故事、讀故事中培養(yǎng)愛(ài)國(guó)主義思想和民族自豪感，得到人文精神的熏陶。

總之，我們?cè)阢@研教材時(shí)，在挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)技能學(xué)習(xí)和思維訓(xùn)練等本學(xué)科固有的價(jià)值的同時(shí)。注重挖掘教材的課程價(jià)值，甚至可以補(bǔ)充、整合相關(guān)人文知識(shí)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的同時(shí)，得到多方面綜合素質(zhì)的提升。

(作者單位 無(wú)錫市濱湖區(qū)教育研究發(fā)展中心)