讓學生靈活建構數學概念

小學數學中的很多概念，無論是描述式的還是定義式的，其所蘊含的數學思想都是樸素的，基本上都來源于學生的生活經驗和學習經驗。從理論上說，理解和運用數學概念是容易的，但事實上學生的概念學習最容易出現問題，這又是為什么呢?經過多年的實踐和理論學習，我發(fā)現問題的關鍵是學生未能建構數學概念。那什么是建構數學概念呢?我用下面的案例加以說明。

在一節(jié)數學復習課上，我為了加深學生對平年和閏年區(qū)別的理解，出了一道辨析題——“每年都有365天?！睂W生A日答說這題是錯的，因為閏年就有366天。突然聽到一個輕輕的聲音說“這題是對的”，我略微一搜尋，發(fā)現學生B的眼睛定定地看著我，我就請他談談理由。他小聲地說：“這題說每年都有365天，而不是說每年只有365天，閏年也有365天，所以我認為是對的。”我和同學們都覺得他說得很有道理。此時學生C迫不度待地站起來說：“老師，我認為這題還是錯誤的!”我一驚，忙請他說說根據。他自信地說：“單從題目上看，不考慮其他方面是對的。但我從《十萬個為什么》書中了解到，按我們中國的歷法，每年就不是365天：另外，隨著天體的不斷變化，以后每年天數的計算也會發(fā)生變化，就不是年年都有365天了，所以我認為這種說法還是錯誤的?！薄?/p>

哈佛教授霍華德·加德納指出，學科概念的理解最為重要，也最難獲得。他把學生對概念的理解劃分為3個水平層次：事實性水平、概念性水平、建構性水平。學生A的回答，只是記住了平年有365天和閏年有366天的事實，而缺乏了對兩者關系準確表述的關注，對概念理解的水平屬于“事實性水平”；學生B的回答，不僅有知識的事實，并依據邏輯進行思維，揭示了概念的本質。對概念的理解達到了“概念性水平”；學生C的陳述，全面、深刻而富有創(chuàng)見，對概念的理解達到了“建構性水平”，也就是說，只有理解達到了這個水平，才是真正意義上的建構數學概念。

學生能否建構數學概念，固然與自身的天賦有關，但更與學生經歷不同的認知過程有關。經研究表明：學生經歷了“模仿重復與辨別”的認知過程?？梢赃_到概念理解的“事實性水平”，而經歷了“歸納整理與抽象”的認知過程。就可能會達到概念理解的“概念性水平”，如果能經歷“綜合應用與創(chuàng)造”的認知過程。則可能會達到概念理解的“建構性水平”。通過課堂調研，我們發(fā)現，恰恰是教師在引領學生經歷“綜合應用與創(chuàng)造”的認知過程方面，有著太多的忽視或太多的不作為。影響了學生建構數學概念，從而影響了學生數學能力的整體提升。

使學生能建構數學概念，我們必然需要在“綜合應用與創(chuàng)造”方面有所作為，實踐教學的變更。

一、變“不可能”為“可能”。我們發(fā)現小學生對概念的把握與理解，往往容易被語言文字或符號形式的表面意象所影響。作為教師該怎么辦呢?下面的一些做法也許能給我們以啟發(fā)：

[例1]“分數初步認識”的建構性理解活動設計：發(fā)給學生這樣一個圖形■□□□□1問學生能否用分數表示黑色部分?如果要用分數表示黑色部分，你有什么辦法?

[說明與剖析]事實上黑色部分是占整個圖形的1/4，但沒有像教材那樣把平均分的現實明顯表示出來。按照學生對分數意義的表面理解，沒有把整個圖形明顯地平均分，是不能用分數表示的。如學生回答能用1/2表示，則表示學生連“事實性水平”還未達到。所以這個活動的設計一方面是進一步引導學生把握分數的實質，另一方面是著重引導學生經歷“綜合應用與創(chuàng)造”的過程，通過分析猜想、折疊驗證，達到對分數認識的建構性理解水平。

[例2]“認識長方形”的建構性理解活動設計：發(fā)給學生這樣一個圖形(一個梯型)，它是長方形嗎?為什么?你有什么辦法使它變成長方形嗎?

[說明與剖析]

一方面用“不是長方形”的圖形。通過說明緣由反映出長方形的內涵；另一方面，通過動手操作(如剪去圖形的一部分或折去圖形的一部分)，把“不是長方形”的圖形變成“是長方形”的圖形，從而建構長方形的“有四條邊、對邊相等、四個角是直角”等本質屬性。

[教學啟示]

由于教材編排的需要，概念的內涵與外延都是以“常態(tài)”的外在形態(tài)呈現，盡管教師在“常態(tài)”情況之下，安排了豐富的活動，但指向真正理解概念的途徑還是比較單調的，有時還會出現“欲速則不達”的尷尬。因此，我們在充分考慮到概念的表象建立和概念的歸納抽象后。還應盡量地打破學生的認知平衡，實施對概念本質屬性的二度開發(fā)。變“不可能”狀態(tài)為“可能”形態(tài)，那樣學生建構概念就有了比較真實的“過程”。

二、變“看得見”為“看不見”。

我們發(fā)現小學生對概念的把握與理解，往往對概念的本質屬性會顧此失彼，缺乏系統(tǒng)性和關聯性。有什么好的方法能改變這種狀況呢?我們來看下面的實例：

[“方程的意義”教學片斷]

在初步建立方程的概念后，教師出示這樣一組題：

(1)8＋■＝15，(2)x÷■＝12，(3)12×y■23.5，(4)F－■。

師：這4道題里的■蓋住了一個數，或一個字母，或一個符號。你能猜猜哪題是方程嗎?

生1：我能猜出第(2)題三定是方程，第(4)題一定不是方程。

師：你為什么這么肯定呢?

生1：因為第(2)題里■蓋住的不管是“數”還是“字母”，它都含有了未知數，而且它還是一個等式。所以肯定是方程；第(4)題不是等式，所以一定不是方程。

生2：我覺得第(1)題是方程。因為■蓋住的肯定是7，只有8＋7的和等于15。

生3：我覺得“生2”所說的不完全對?！錾w住的可能是7，也可能是未知數。不過這個未知數的值是7。所以，我覺得第(1)題可能是方程，也可能不是方程。

生4：我同意“生3”的想法。我也覺得第(3)題可能是方程，也可能不是方程。如果■蓋住的是“等于號”，就是方程，如果蓋住的是“＜”、“＞”或加、減等運算符號，就不是方程。

師：很好。通過猜想和論證，我們發(fā)現要是方程需要滿足怎樣的條件?

生5：要是方程，必須同時滿足“含有未知數”和“等式”兩個條件。

[教學啟示]

如果出現諸如“5x＝18”等“看得見”的問題，讓學生加以判斷，這樣呈現的信息不僅單一，而且缺乏挑戰(zhàn)和趣味，就容易使學生形成套概念答問題的習慣，與把握概念的實質和智力活動無益。但如果出示像“x÷■＝12”等“看不見”的問題，讓學生進行猜想、論證，那效果就不一樣了。首先學生的興趣會大增，其次學生會在頭腦中積極搜索相關概念的所有信息進行梳理、整合，然后作出合理判斷，在相互交流中，對自己的思維方法及成果進行調整和完善。在此過程中，智力活動顯得充盈而豐富。因此，在教學時，我們多思考一些理解概念的表現形式，對學生建構概念將大有裨益。

三、變“遠在天邊”為“近在眼前”。

我們發(fā)現小學生對概念的把握與理解，往往只知其一，難知其二，缺乏與現實生活和本身的互動。一次真實的教學經歷使我對概念教學有了新的理解。

一次臨時調課上“分數的意義”，沒來得及準備更多的教具和學具。到了要深化理解單位“1”和部分與整體的關系時，我真是著急。按以往的經驗，學生需要通過大量的動手操作、填圖涂色、概括整理，有時還達不到教學目標，可現在卻……望著眼前的學生，我靈機一動，拋出一個問題：你們能把自己用一個分數表示嗎?并說明理由。學生一愣，繼而思考。不一會兒，就熱鬧起來了。甲說：“我可以用1/48表示，把全班人數看作單位‘1’，平均分成48份，我占1份?！币艺f：“我可以用1/2表示，把同桌人數看作單位‘1’，平均分成2份，我占1份?！北f：“我還可以把一組人數用分數表示，就是1/4?！倍≌f：“我還可以把我們4個好朋友用分數表示，就是4/48?！彼囊粋€好朋友說其實可以用1/12表示……我就針對學生的發(fā)言，相機地點撥、引導、設疑，發(fā)現學生興趣高漲，對分數的認識也達到了高水平的層面。

[教學啟示]

我們常常在引進概念或揭示概念時，還比較注重加強與現實生活的聯系，一旦初步形成了概念，我們的著眼點就會在概念的本身或內部去尋求突破，運用多變的方式和不同的內容加以訓練，期望學生的理解水平向高層次發(fā)展。事實上，這是我們的一廂情愿，對于學生來說，概念的存在猶如“遠在天邊”，與自己未有任何實質性的聯系，也就缺少了對概念內涵的真切體驗。從上面的教學實例可以看出，一旦把概念的本質特性拉到學生的眼前，與學生的自身以及現實生活的物象結合時，概念就顯得不是那么抽象和冷峻，能極大地喚起學生的學習熱情，自然地讓學生走入概念的深處。由此，我想如果我們的教學能讓學生和概念親密接觸，那么學生建構概念也許會輕松許多。

不過需要說明的是，讓學生對概念的理解達到“建構性水平”，確實比較困難，但努力讓學生達到更高水平的理解永遠是數學教學的目標之一。不斷地實踐和總結，定會生成教學的智慧。

(作者單位 溧陽市實驗小學)