理想氣體壓強公式的一種簡易推導

孫國標　楊麗芬

1 理論推導

設一個半徑為R的球形容器中，裝有N個理想氣體分子，都永不停息地在做無規(guī)則運動，且每個分子質量為m。

選取任一分子作為研究對象,設其速率為vi，與容器器壁A點發(fā)生碰撞，且分子將以如圖所示依次與B,C點發(fā)生碰撞。由于分子與器壁之間是彈性碰撞，因此分子的速度大小不變。

由圖可知，分子每次碰撞的動量增量為

｜Δpi｜=2mvicosα。（1）

且連續(xù)兩次碰撞（如從A點到B點）的時間為

Δt=2Rcosαvi。（2）

根據動量定理和牛頓第三定律可知，單個分子對器壁的平均沖力為

Fi=｜Δpi｜Δt= mv2iR。（3）

方向垂直器壁表面向外。

N個分子對器壁的平均作用力為

F=∑Fi=mR∑v2i=NmR∑v2iN=NmR﹙2。（4）

則N個分子對器壁的壓強為

p=FS=F4πR2=Nm4πR3﹙2。（5）

由于分子密集程度為

n=NV=3N4πR3。（6）

則（5）式可以化為

p=FS=F4πR2=13nm﹙2=23n〦K。（7）

可見，氣體壓強由兩個因數決定，一是與單位體積內的分子數（分子密集程度）n成正比；二是與氣體的分子平均動能成正比。

2 小結

上面通過利用質點的動量定理，由單個質點與器壁的碰撞求出單個質點在單位時間對器壁的平均作用力，然后對N個分子進行求和，再由壓強定義求出理想氣體的壓強公式，避免應用了“等幾率假設”，與其它方法相比，更容易使學生接受。雖然此方法求出的是球形容器內平衡態(tài)下理想氣體的壓強公式，但從得出的結論可以看出，壓強與容器的形狀沒有關系，只與分子的密集程度和分子平均平動動能有關，因而也不失為一般性。

參考文獻：

［1］ 程守洙,江之永.普通物理學［M］，第五版.北京:高等教育出版社,1998.

［2］張三慧.熱學［M］，第二版.北京:清華大學出版社,1999.

(欄目編輯黃懋恩)

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