教學中設計數(shù)學探究性問題的幾個案例

李瑛華

數(shù)學探究即數(shù)學的探究性課題學習，是指學生圍繞某個數(shù)學問題，自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的過程.數(shù)學探究力即觀察分析數(shù)學事實，提出有意義的數(shù)學問題，猜測、探究適當?shù)臄?shù)學結論或規(guī)律，給出解釋或證明的能力.數(shù)學探究是高中數(shù)學課程中引入的一種新的學習方式，有助于學生初步了解數(shù)學概念和結論產(chǎn)生的過程，體驗創(chuàng)造的激情，建立嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和不怕困難的科學精神；有助于培養(yǎng)學生勇于質(zhì)疑和善于反思的習慣，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學問題的能力，有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力.

但是在數(shù)學教學中不是任何內(nèi)容都能有效地運用探究的方法去組織教學，探究性的問題質(zhì)量直接關系到學生的學習效度和探究取向，教師應把握好時機，精選出一些富有挑戰(zhàn)性，能激發(fā)起學生探究興趣，且可使學生在探究之后能獲得成就感的數(shù)學問題來組織探究式的課堂教學.下面是我教學實踐中設計數(shù)學探究性問題的幾個案例：

例1:在平面幾何中，一個極為普通的結論：兩點之間距離最短，它在課本中是作為公理出現(xiàn)的，但這一公理在以后的推論過程中卻與物理學中的光學現(xiàn)象發(fā)生了聯(lián)系，其原因是：光線傳播時走最短路線.在幾何課本中有這樣一個實際問題：在鐵路a的同側有兩個工廠A、B，要在鐵路邊上建一貨場C，使得A、B兩廠到C的距離之和最小，求C點的位置.

在教師設計出這一問題的解之后，再從光學角度設計下列問題：設光線從A點出發(fā)，經(jīng)鏡面a反射后到達B點，試做出光線的傳播路線圖.學生就會發(fā)現(xiàn)這兩個圖完全一樣，此時他們自然會提出諸如以下的問題并能夠積極地展開探索活動：

問題1:光線從A點射向鏡面a，反射光線與已知直線b：①平行；②垂直，試畫出光線傳播圖.

問題2:自己設置一些使光線隨意反射傳播的問題.

問題3:如果設太陽光線平行地射向地球，試設計一個太陽灶.（材料：平面鏡，玻璃刀，鋼絲架，玻璃膠等.）

學生的這一興趣能使課堂探究延續(xù)到課外，去動手搞些小制作，這又有利于提高他們的創(chuàng)造能力和動手能力.

【設計感悟】20世紀科學發(fā)展的一大特點就是交叉學科的不斷涌現(xiàn)，科學發(fā)展呈現(xiàn)出既綜合又分化的趨勢.數(shù)學作為工具學科，在中學課程中就與其他許多學科具有很大的關聯(lián)性.教師深刻挖掘數(shù)學內(nèi)容與相關學科的這種聯(lián)系，選擇聯(lián)系較強的內(nèi)容，設置探究情境，呈現(xiàn)給學生，就會引起他們極大的探究熱情，而且在探究這種問題的同時，對數(shù)學的內(nèi)容和它的方法也能有較深刻的認識，學生在提高探究能力的同時，還可對相關學科的研究與學習也產(chǎn)生促進作用，真正起到數(shù)學的工具性學科的作用，但這些問題一般是隱藏在數(shù)學問題之中，因而需要教師在教學設計時做認真的挖掘和鉆研工作.

例2：在學習“圓和圓的位置關系”時設計了一個循序漸進的探究問題：

問題1：我們生活在豐富多彩的圖形世界里，圓與圓組成的圖形更是我們生活中常見的畫面.例如，自行車的兩個輪子、奧運會的會標、美麗的雙魚圖、天體中的“日環(huán)食”照片等，都反映了圓與圓的畫面.請問你在生活中還見過這樣的例子嗎？

本設計展現(xiàn)生活中圓與圓組成的圖形，并由學生舉出實際例子，豐富學生對客觀世界中兩個圓之間有著多種不同的位置關系的感知，為學生自主探索提供可能.

問題2：由于圓與圓大小異同的多種不同位置，構成了多姿多彩的畫面.你知道兩個圓有幾種不同的位置關系嗎？請你模仿直線與圓的位置關系，根據(jù)公共點多少的情況畫一畫看.

這里不直接給出兩圓的5種位置關系，而先讓學生畫一畫，實質(zhì)上是創(chuàng)設活動意境，讓學生按公共點的個數(shù)把兩圓的位置關系分類，從而描述兩圓相離、相交、相切的位置關系.有利于各類學生主動參與教學活動，從而獲得不同色彩的“知識”.

問題3：試一試，你能不能講出兩圓共有幾種位置關系？

設計讓學生運用語言來表述數(shù)學知識，訓練學生的概括和表達能力，增進對數(shù)學知識的理解.最后讓學生閱讀課本兩圓位置關系定義，通過比較和對照得到綜合的規(guī)律.這樣學生對兩圓位置關系的印象將更深刻.

問題4：畫外離的兩圓，把其中一個圓的半徑逐漸變大，這時又有什么現(xiàn)象發(fā)生？這些現(xiàn)象之間有相互的聯(lián)系嗎？

通過這個問題的探究，讓學生進一步感知圖形的位置關系與數(shù)量關系互相依賴，從數(shù)量關系刻畫出位置關系的一種簡明的符號語言，并得到兩圓5種位置關系的判定和性質(zhì).最后再讓學生結合課本中的內(nèi)容，把探究結果綜合，使知識系統(tǒng)化.

【設計感悟】數(shù)學具有極強的邏輯嚴密性，這一特點決定了數(shù)學問題解決有其獨特的思維方法.一種數(shù)學思想或方法往往會滲透到不同的數(shù)學內(nèi)容中去，這就使這些不同的數(shù)學內(nèi)容之間以這種思想或方法為紐帶建立了縱向聯(lián)系，而在這種縱向聯(lián)系中體現(xiàn)了數(shù)學的美的特征，因而掌握數(shù)學思想方法，對數(shù)學問題進行探索就具有極大的魅力，而這種縱向聯(lián)系也需要教師帶領學生去進行揭示、探索，因而事先去挖掘這些聯(lián)系，就成為探究課選材的一個視角.數(shù)學各不同分支之間方法的互用就是一種很普遍的數(shù)學事實.如用幾何方法解決代數(shù)問題等.

例3：根據(jù)以下幾種構成方式，是否能發(fā)現(xiàn)一些其他的判定方式呢？

把對平行四邊形5個判定定理列出，并對其結構進行分析，發(fā)現(xiàn)前4個判定定理在結構上的特點是：在條件上包含單一的四邊形元素，而且包括了這種元素的全部，這些元素所滿足的條件也相同.如“兩組對邊分別相等”所包括的元素是四邊形的對邊，而且兩組都包括，且兩組對邊所滿足的條件也相同，都是相等.第五個判定定理“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”在結構上與前面 4個定理不同，但又有聯(lián)系，它只包括了一組對邊，但這組對邊卻要求同時滿足兩個條件：相等和平行.它似乎可以被看作是從前面兩個定理的條件中各取一個.（從兩組對邊分別平行中取一組對邊平行：從兩組對邊分別相等中取一組對邊相等）復合而成，因此，問題情境就已經(jīng)明確地展現(xiàn)出來了.學生就可用類比拓廣的方式展開探究發(fā)現(xiàn)的過程.

【設計感悟】長期以來，在數(shù)學教學中，問題解決在教學中得到了足夠的重視，但其實更具挑戰(zhàn)勝，更具魅力的還在于問題的提出，即通過觀察、歸納、類比、一般化或特殊化等方法，依據(jù)已有結論，提出新的數(shù)學問題，再去利用演繹的方法證明或證偽.在中學數(shù)學中蘊含著許多可以拓廣或推廣的問題，可用來讓學生在探究中提出問題.

例4：若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是____（只需寫出一個可能的值）．

本題為策略開放題，過程需學生自己設計．由于四面體的棱長未一一給出，首先需探求和設計符合題意的幾何圖形，再按圖索驥，得出結論．本題只要求寫出一個可能的值，所以，我們可以盡量構造相對簡單、易求值的圖形．如：底面為邊長為1的正三角形，側棱長均為2．不難算得，此時體積為 .作為本題的延伸，我們可以考慮所有符合題意的圖形．由于三角形的兩邊之長大于第三邊，所以，組成四面體各個面的三角形中，或者只有一邊長為1，或者3邊長全為1．如果這些三角形中，有一個邊長為1的正三角形，則將其作為底面，考慮其側棱長，共四種情況：兩邊為1，一邊為2；一邊為1，兩邊長為2；三邊長全為2．簡單的考察不難知道，只有最后一種情況是可能的．如果這些三角形中，不存在邊長為1的正三角形，則只可能有兩種情況：四面體的6條棱中，只有一組相對棱的長度為1，其余棱長全為2；只有一條棱長為1，其余棱長全為2．綜上，共3種情況．如圖：

【設計感悟】長期以來，我們的數(shù)學教學都在設計和解決那些條件完備且有惟一正確的標準答案的數(shù)學問題.這就很容易造成一種錯覺：數(shù)學問題就是有惟一正確答案的問題，誤導了學生，也阻礙了其積極參與的熱情.而數(shù)學開放題具有題目條件不完備，解題策略多樣化和結論的不確定等特點.開放性問題的引入，給數(shù)學教育注入活力，使學生對數(shù)學的本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領悟.由于這種多變性，使得學生對數(shù)學問題的探究充滿激情，能夠極大地發(fā)揮他們的主體作用.在選編開放性問題時，要取材于學生所熟悉的背景問題之中.在引導學生積極探索之后，可以及時地導出一般的結論或據(jù)此提出新的問題，以提高學生的概括能力和遷移能力.

（作者單位：山東省寧陽市第4中學）

編輯/張燁

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