題高一尺 技高一丈
——立體幾何三視圖、直觀圖新題“破題法門”

☉浙江省湖州市第二中學(xué) 金偉兵

題高一尺 技高一丈
——立體幾何三視圖、直觀圖新題“破題法門”

☉浙江省湖州市第二中學(xué) 金偉兵

人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（數(shù)學(xué)必修2）》中，空間幾何體的三視圖和直觀圖的內(nèi)容約2課時(shí)，第一課時(shí)學(xué)習(xí)1.2.1中心投影與平行投影和1.2.2空間幾何體的三視圖；第二課時(shí)學(xué)習(xí)1.2.3空間幾何體的直觀圖，此部分內(nèi)容是在學(xué)習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征之后，在尚未學(xué)習(xí)點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的情況下教學(xué)的，可以為立體幾何部分的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣.這塊內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生能通過“實(shí)物模型—三視圖—直觀圖”這樣一個(gè)相互轉(zhuǎn)化的過程認(rèn)識(shí)空間幾何體，是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的有效途徑，而只有奠定了空間幾何體的認(rèn)知基礎(chǔ)，立體幾何的教學(xué)目標(biāo)才更加全面.但目前的教學(xué)現(xiàn)狀是：按照“空間幾何體”整體教學(xué)容量，留給“空間幾何體的三視圖和直觀圖”僅有2-3個(gè)課時(shí)的教學(xué)時(shí)間，很多內(nèi)容在教學(xué)處理上往往被迫“點(diǎn)到為止”，而實(shí)際考查時(shí)卻往往對(duì)這塊內(nèi)容的要求又比較靈活，出題也比較新穎，學(xué)生解題時(shí)最終容易陷入困境.所以如何提高此部分內(nèi)容教學(xué)的針對(duì)性和有效性就顯得頗為關(guān)鍵，筆者通過觀察近年來高考三視圖、直觀圖部分涌現(xiàn)出的一些新題，借此談?wù)劷鉀Q此類“變題”“巧題”的“破題法門”.

一、熟練“劍招”能破題

熟悉和掌握三視圖、直觀圖問題中的基本原理和常見解法是我們解決此類問題的基礎(chǔ)，可以說是“防身基本劍招”，主要有兩方面.

“劍招”1：利用三視圖、直觀圖中的基本“心法”，回避“還原”過程

三視圖基本畫圖原理，我們可以總結(jié)為“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”，即主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正（長(zhǎng)相等），主視圖與側(cè)視圖的高對(duì)正（高相等），俯視圖與側(cè)視圖的寬必須相等.而直觀圖畫法中，特別重要的一定要注意“橫同，豎半，45°”，即建立45°斜二測(cè)坐標(biāo)系，與坐標(biāo)軸平行的線段保持平行，水平線段等長(zhǎng)，豎直線段減半.熟記“心法”會(huì)讓我們?cè)趯?shí)際解題中化繁為簡(jiǎn)，游刃有余.

圖1

例1 （2014年高考北京文科第11題）某三棱錐的三視圖如圖1所示，則該三棱錐的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為_________.

評(píng)析：本題雖只要求解三棱錐的最長(zhǎng)棱，實(shí)質(zhì)上需要對(duì)原幾何體的具體結(jié)構(gòu)和相應(yīng)線段長(zhǎng)全面把握，整體上我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)此幾何體是一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，而其中難點(diǎn)是如何確定底面三角形的形狀，這里需要對(duì)三視圖中“斜線段”到“直線段”的變化特別敏感，根據(jù)平行投影的基本原理，我們可以得到側(cè)視圖的下底長(zhǎng)實(shí)質(zhì)上是底邊三角形的邊在垂直方向上的投影，從而得到底面是個(gè)等腰直角三角形，這對(duì)一般學(xué)生的直觀想象能力是個(gè)挑戰(zhàn).但如果利用基本“心法”：俯側(cè)寬相等，則比較容易得到該幾何體俯視圖的高即為側(cè)視圖的底邊長(zhǎng)，所以最終求得最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為，利用基本“心法”可以巧妙回避三視圖到直觀圖這一復(fù)雜的“還原”過程.

“劍招”2：熟記平面幾何和基本空間幾何體相關(guān)性質(zhì)、公式，有助于快速解題

圖2

三視圖、直觀圖問題中，經(jīng)常涉及平面幾何相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形、勾股定理等，同時(shí)也特別喜歡和柱、錐、臺(tái)、球等常見幾何體的面積、體積問題進(jìn)行交匯命題，這就需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中熟練掌握相關(guān)的平面幾何性質(zhì)、表面積和體積公式等，這有助于我們迅速地找到思路，求解問題.

例2 （2014年高考湖南卷第7題）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖2所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

評(píng)析：由圖可得該幾何體是一個(gè)三棱柱，原問題即等價(jià)于在此幾何體中找最大的內(nèi)接或內(nèi)切球，這個(gè)問題是三視圖、直觀圖、柱和球多個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的交匯，若熟練掌握平面幾何性質(zhì)，則可轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即求三個(gè)視圖中內(nèi)切圓面積誰最小，可發(fā)現(xiàn)是正視圖，其半徑為r==2，則其所對(duì)應(yīng)的內(nèi)切球最大半徑即為2，從而迅速求解.

二、借助“法寶”巧破題

“法寶”1：以長(zhǎng)方體作為背景模型利于“還原”

近年的“變題”中，對(duì)三視圖題的直觀圖“還原水平”要求較高，往往很多是“不規(guī)則放置”的幾何體，對(duì)學(xué)生的空間想象能力是極大的挑戰(zhàn).由于三視圖是平行投影，因此若能引入長(zhǎng)方體或正方體作為背景模型進(jìn)行研究，把它的下、后、右側(cè)面作為“投影幕布”，在還原過程中會(huì)收到奇效.

圖3

例3 （2014年高考全國1理科第12題）如圖3，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（ ）.

圖4

評(píng)析：本題對(duì)空間想象能力要求比較高，由三個(gè)視圖的形狀可判斷該多面體為四面體，但具體放置的角度比較難以想象，而由于長(zhǎng)、寬、高均是4個(gè)單位，所以我們可以把幾何體放置在棱長(zhǎng)為4的正方體中研究，如圖4所示，由俯視圖可知四面體必位于正方體右上角部分空間，4個(gè)關(guān)鍵頂點(diǎn)中應(yīng)取后面4點(diǎn)中3點(diǎn)，且上下棱各至少取1點(diǎn)，再由正、側(cè)視圖想象，另一頂點(diǎn)必位于前面右邊棱的中點(diǎn)，連接即可得到.把四面體放置在正方體中研究，以后、下、右側(cè)三個(gè)面作為投影“幕布”，想象平行光的照射投影，非常利于直觀圖的生成.

“法寶”2：“切橡皮”模式的巧妙轉(zhuǎn)化

對(duì)于某些“殘缺”幾何體的直觀想象，借助實(shí)際或想象中的橡皮來進(jìn)行切割，不失為一個(gè)好辦法.

例4 （2013年高考浙江理科第12題）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖5所示，則此幾何體的體積等于________cm3.

圖5

圖6

評(píng)析：本題所給圖中若去掉正、側(cè)視圖中的中間斜線，則可以發(fā)現(xiàn)是一個(gè)三棱柱，在這樣的基礎(chǔ)上，若我們借助三棱柱形的橡皮進(jìn)行想象切割，則很快能發(fā)現(xiàn)“切”掉的是如圖6所示的左上角錐體，從而利用三棱柱的體積減掉三棱錐的體積得到答案24，在此想象的過程中充分借助“切橡皮”的模式，有效地推進(jìn)了空間直觀感覺的生成，不失為一個(gè)妙招.

三、修煉“內(nèi)功”穩(wěn)破題

“內(nèi)功”1：提高空間想象力的“內(nèi)在修為”

高手對(duì)決，再厲害的劍招、法寶也敵不過“內(nèi)功”修為的高深，要解決三視圖、直觀圖不斷涌現(xiàn)的“新題”“變題”，提高自身空間想象力的“內(nèi)在修為”才是根本，而辯證唯物主義認(rèn)為，任何事物的變化發(fā)展都有其內(nèi)在規(guī)律，空間想象力的提高也是如此，它是逐步、逐級(jí)向上的，有明顯的層次性.教師要把握好這一規(guī)律，將其滲透到平時(shí)的具體教學(xué)實(shí)踐中，真正有效提高學(xué)生的空間想象能力，方是正道.在具體教學(xué)手段上，根據(jù)空間想象力的培養(yǎng)規(guī)律，首先應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三維空間的認(rèn)知，高中學(xué)生已經(jīng)具備二維空間（平面）的知識(shí)，對(duì)三維空間的感知也有，但對(duì)三維空間的無限性、復(fù)雜性認(rèn)識(shí)不夠，因此，通過比較平面內(nèi)與空間中兩直線位置關(guān)系的不同；通過認(rèn)識(shí)線面關(guān)系、面面關(guān)系來逐步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三維空間的認(rèn)識(shí)就顯得比較合理和重要.其次，可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間幾何圖形（體）的分解、組合和變形的想象能力，因?yàn)檫@一能力的實(shí)質(zhì)是對(duì)空間圖形中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)和想象.在這一過程中，可以大膽想象，深入剖析，在解決典型問題的過程中逐步提升自己的想象能力.有了對(duì)三維空間的較強(qiáng)的直觀認(rèn)知，學(xué)生解決問題的能力自然而然會(huì)獲得提高，這跟武功修為是一個(gè)道理，內(nèi)功深厚，招式就成了輔助，自然能克敵制勝，得心應(yīng)手.

“內(nèi)功”2：讓模型意識(shí)“深入人心”

數(shù)學(xué)問題中對(duì)建模非常重視，三視圖、直觀圖問題中常見模型也很多，在平時(shí)若能摸透這些基本模型，對(duì)其基本構(gòu)造和特征有深刻認(rèn)識(shí)，則必然能提高解題水平，熟與不熟，透與不透，這也是“內(nèi)功”之一.比如，我們可以在平時(shí)教學(xué)中經(jīng)常展示模型，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)生活中的原型，并讓學(xué)生想象看不見的部分，想象線面繼續(xù)延伸后的狀態(tài)，提高對(duì)空間幾何圖形（體）的感知水平，同時(shí)重視對(duì)直觀圖的作圖能力和制作模型能力的培養(yǎng)，如針對(duì)常見的柱、錐、臺(tái)體，規(guī)范作圖，甚至可以制作簡(jiǎn)單模型，這對(duì)提高對(duì)模型的熟悉程度非常有利，同時(shí)在制作過程中逐步建立常見幾何體的直觀認(rèn)知，也是增強(qiáng)內(nèi)功的一個(gè)好方式.另外，可以總結(jié)一些常見模型，如正（長(zhǎng)）方體基本構(gòu)造型；棱錐（柱）基本構(gòu)造型；“三節(jié)棍”型幾何體，以及各種常見柱、錐、臺(tái)體的組合體，摸透這些基本空間圖形和幾何體的差別和關(guān)聯(lián)，讓這些模型的形象深入我們的“內(nèi)心”，解題的時(shí)候?qū)θ晥D、直觀圖的想象能力自然得到提升.總之，在訓(xùn)練中增強(qiáng)模型意識(shí)，讓頭腦中累積的豐富“題型素材”變成我們解決問題的一個(gè)寶庫，再復(fù)雜的空間幾何體也將不再令我們感到頭痛.

總之，空間幾何體的三視圖和直觀圖在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力方面具有非常重要的作用，為立體幾何的后續(xù)學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)保障，如果我們能熟練掌握其中的解題基本“劍招”，巧妙借助一些解題“法寶”，更重要的是在這個(gè)過程中，最終修煉提高我們空間想象力這一本質(zhì)“內(nèi)功”，面對(duì)層出不窮的“新題”“變題”“怪題”，也將不再恐懼，解題時(shí)自然也就游刃有余.A