泡沫子彈沖擊固支單梁的耦合分析模型1)

張?jiān)?朱玉東 鄭志軍 虞吉林

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系,中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230027)

引言

泡沫材料作為吸能材料已被廣泛應(yīng)用于防沖擊、抗爆炸等吸能緩沖裝置中[1-2].泡沫材料在高速?zèng)_擊下以逐層壓潰的模式發(fā)生變形,并且由于塑性沖擊波的傳播會產(chǎn)生應(yīng)力增強(qiáng)現(xiàn)象[3-5],這一特性使得利用泡沫材料模擬爆炸載荷成為可能.Radford等[6]提出采用由泡沫金屬制成的子彈可以實(shí)現(xiàn)對水下或空中爆炸載荷的模擬,改變泡沫子彈的速度、密度和長度可以控制沖擊載荷的脈沖幅值和持續(xù)時(shí)間.Radford 等[7-9]使用泡沫子彈測試并比較了實(shí)心結(jié)構(gòu)和夾芯結(jié)構(gòu)的抗沖擊能力,驗(yàn)證了泡沫子彈這一測試手段的可靠性.

相較于真實(shí)爆炸實(shí)驗(yàn),泡沫子彈加載技術(shù)更加安全、簡便和易調(diào)控,因此許多學(xué)者采用泡沫子彈對多種防護(hù)夾芯結(jié)構(gòu)進(jìn)行了測試研究[10-16].例如,宋延澤等[10]以及Jing 等[11-12]分別研究了夾芯梁、夾芯殼結(jié)構(gòu)在泡沫子彈沖擊下的變形與破壞模式,并分析了泡沫子彈的初始沖量對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響.這些研究均通過泡沫金屬子彈的沖擊加載對各類夾芯結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能及優(yōu)化策略進(jìn)行了探討,但尚未有研究探討泡沫金屬子彈施加在結(jié)構(gòu)上的實(shí)際沖擊載荷形式以及該沖擊載荷是否可以準(zhǔn)確地模擬爆炸載荷.

對于單梁、單板、夾芯梁及夾芯板等經(jīng)典結(jié)構(gòu)在外載下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題,已有學(xué)者開展了大量的研究并建立了力學(xué)分析模型.文獻(xiàn)[17-18]首先提出單梁及夾芯梁在全局脈沖加載[17]和局部脈沖加載[18]下響應(yīng)的脈沖加載模型,后文中簡稱其為QDF 模型.在QDF 模型的基礎(chǔ)上,Qin 等[19-20]修正了夾芯梁的屈服準(zhǔn)則,并通過膜力因子法[21]應(yīng)用了夾芯梁的準(zhǔn)確屈服面,得到了夾芯梁在脈沖加載下更為精確的沖擊響應(yīng).Radford 等[7]將泡沫子彈對單梁和夾芯梁的沖擊視為脈沖加載,將子彈的初始動(dòng)量視為輸入脈沖并使用QDF 模型對單梁的響應(yīng)過程進(jìn)行了預(yù)測,然而理論預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大的差距.此外,也有一些學(xué)者構(gòu)建并發(fā)展了一維模型來描述夾芯結(jié)構(gòu)在外載下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程.文獻(xiàn)[22-23]將夾芯板中的面板等效為質(zhì)量塊,研究了夾芯板在沖擊載荷作用下的能量耗散過程.Li 等[24]根據(jù)能量等效原理將夾芯梁的面梁等效為SDOF 模型(質(zhì)量塊-彈簧系統(tǒng)),考慮了面梁在大撓度變形時(shí)的彎曲/拉伸響應(yīng)行為,構(gòu)建了夾芯梁的一維響應(yīng)模型,但是其等效原理限制了該模型只適用于常值加載的情形.

已有的研究或是將外部加載與被加載結(jié)構(gòu)解耦,將外載等效為脈沖加載,通過沖量的傳遞與守恒關(guān)系對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行分析,往往只關(guān)注被加載結(jié)構(gòu)的響應(yīng)行為;或是將被加載結(jié)構(gòu)簡化為一維模型,分析過程雖然簡單但難以研究爆炸載荷等復(fù)雜非線性載荷作用下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)行為.當(dāng)采用泡沫子彈作為加載測試手段時(shí),泡沫子彈發(fā)生塑性壓潰形成的沖擊波傳播會對沖擊過程造成影響,其作用在被測試結(jié)構(gòu)上的真實(shí)沖擊載荷也尚未得知.因此有必要考慮泡沫壓潰過程與梁變形過程的耦合關(guān)系,構(gòu)建一個(gè)可以準(zhǔn)確描述泡沫子彈沖擊可變形靶體過程的力學(xué)分析模型.

本文擬以固支梁結(jié)構(gòu)為例,基于泡沫材料的沖擊波模型與梁的結(jié)構(gòu)沖擊動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建泡沫子彈沖擊單梁的耦合分析模型,確定泡沫子彈作用在梁上的真實(shí)沖擊載荷,研究泡沫子彈的相對密度、沖擊速度等參數(shù)對其加載過程產(chǎn)生的影響,為泡沫子彈這一加載測試方法的應(yīng)用提供更為深入的認(rèn)識和設(shè)計(jì)指導(dǎo).

1 理論模型

1.1 問題描述

考慮一基體材料密度為ρs、相對密度為ρ、初始長度為l0的均勻泡沫子彈以V0的初始速度沖擊一可變形的固支單梁,泡沫子彈在平行于梁長度方向的寬度為2a.梁的密度為ρb,總長為2l,厚度為h,梁受載區(qū)域的長度為2a,梁與泡沫子彈在垂直紙面方向的寬度相同,如圖1(a).在泡沫子彈的沖擊下,單梁開始發(fā)生彎曲變形,與此同時(shí)子彈從沖擊端開始發(fā)生逐層壓潰,壓潰帶像沖擊波一樣從沖擊端向遠(yuǎn)端傳播,如圖1(b).

圖1 沖擊情形示意圖Fig.1 Schematic diagram of the impact situation

1.2 泡沫子彈的沖擊波模型

采用塑性沖擊波理論能夠有效地描述泡沫材料在動(dòng)態(tài)沖擊下的壓潰行為,結(jié)合泡沫材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以構(gòu)建泡沫子彈的沖擊波模型.采用Zheng等[25-26]提出的剛性-塑性硬化(R-PH)模型描述泡沫材料在單軸壓縮下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

式中,ε為泡沫的應(yīng)變,σ0為初始壓潰應(yīng)力,C為應(yīng)變硬化參數(shù).材料參數(shù)σ0和C與相對密度間的關(guān)系可以表示為冪律形式

式中,σys為泡沫基底材料的屈服強(qiáng)度,k1,n1,k2,n2均為擬合參數(shù).

以泡沫子彈的沖擊端為原點(diǎn)建立子彈的拉格朗日坐標(biāo)系,令t時(shí)刻波陣面在該坐標(biāo)系中的位置為Φ(t),波陣面以的波速從子彈的沖擊端向遠(yuǎn)端傳播.波陣面前后方的速度、應(yīng)力、應(yīng)變分別為{v2(t),σ0(t),0}和{v1(t),σB(t),ε(t)},梁和泡沫子彈的相互作用區(qū)內(nèi)壓強(qiáng)p(t)均勻分布,如圖1(b)所示.根據(jù)沖擊波理論,波陣面上的質(zhì)量守恒與動(dòng)量守恒關(guān)系[27]分別給出

由此,可以得到波陣面后方的應(yīng)力

結(jié)合式(1)和式(5),可得到?jīng)_擊波波速與沖擊速度之間的關(guān)系為

將式(6)代入式(4)中可得波后應(yīng)力為

式中,mp=ρsρl0為子彈單位面積上的質(zhì)量,m1=ρsρΦ為子彈壓實(shí)區(qū)的單位面積質(zhì)量.對于泡沫子彈波陣面后方的壓實(shí)區(qū)有

泡沫子彈將一直保持上述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)直至壓潰區(qū)速度v1與未變形區(qū)速度v2相等,此時(shí)塑性波波陣面停止傳播,子彈整體以相同速度v1向前運(yùn)動(dòng),其加速度可表示為

1.3 單梁結(jié)構(gòu)沖擊動(dòng)力學(xué)模型

在結(jié)構(gòu)沖擊動(dòng)力學(xué)框架下,采用動(dòng)量和動(dòng)量矩定理描述單梁在大撓度變形時(shí)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)行為.忽略材料彈性對響應(yīng)過程的影響,假定梁為剛性-理想塑性材料,其屈服強(qiáng)度為σY.本文中假設(shè)梁的屈服面為正方形屈服面,即梁的彎矩M和軸力N滿足[28]

式中,M0=σYh2/4 為極限彎矩,N0=σYh為極限軸力.

在子彈的作用下,單梁的中心區(qū)域受到?jīng)_擊壓強(qiáng)p(t)的作用發(fā)生變形.考慮到所研究問題的對稱性,下面僅對右半部分梁進(jìn)行分析.假設(shè)單梁只在垂直于其初始軸線的方向上發(fā)生變形,其位移場為w(x,t),速度場為(這里的表示w對t的偏導(dǎo)),梁跨中處的位移與速度分別為w0(t)和本文采用QDF 模型[18]對單梁速度場的假設(shè),將單梁的運(yùn)動(dòng)與變形過程劃分為3 相,如圖2 和圖3.

當(dāng)運(yùn)動(dòng)處于第1 相時(shí),單梁上有兩個(gè)移動(dòng)塑性鉸產(chǎn)生,內(nèi)側(cè)塑性鉸向跨中處移動(dòng),外側(cè)塑性鉸向固支端移動(dòng),梁的速度場呈梯形分布,如圖2.內(nèi)側(cè)塑性鉸處的彎矩M=M0,外側(cè)塑性鉸處的彎矩M=-M0,內(nèi)外塑性鉸之間的彎矩由M0變化至-M0,在內(nèi)塑性鉸與跨中處之間的平臺區(qū)域內(nèi)彎矩保持M0不變,外塑性鉸與固支端之間的平臺區(qū)域內(nèi)彎矩為-M0,由梁的拉伸行為引起的軸力為N0,如圖3.由于移動(dòng)塑性鉸上的剪力為0,且單梁外塑性鉸到固支端之間的部分處于靜止?fàn)顟B(tài),因此固支端無剪力.以單梁的跨中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),由動(dòng)量定理可知壓強(qiáng)p(t)對梁輸入的沖量等于梁的動(dòng)量改變量,即

式中,m=ρbh為梁的單位長度質(zhì)量.以梁的跨中點(diǎn)為參考點(diǎn),由動(dòng)量矩定理可得

當(dāng)單梁的內(nèi)側(cè)塑性鉸移動(dòng)至跨中點(diǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入第2 相,該階段中單梁的外側(cè)塑性鉸繼續(xù)向外移動(dòng),速度場呈三角形分布,如圖2.單梁跨中點(diǎn)至內(nèi)塑性鉸之間的彎矩由M0變化至-M0,如圖3,動(dòng)量與動(dòng)量矩仍滿足式(12)和式(13).

圖3 梁的位移場示意圖Fig.3 Deflection field of the beam

當(dāng)單梁的外側(cè)塑性鉸移動(dòng)至固支端時(shí),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入第3 相,如圖2.此時(shí)梁的固支端已產(chǎn)生剪力,式(12)不再成立.為避免在公式中引入剪力項(xiàng),以梁的夾持端為參考點(diǎn),動(dòng)量矩定理表達(dá)式由式(13)變?yōu)?/p>

圖2 梁的速度場示意圖Fig.2 Velocity field of the beam

此后單梁的速度場分布形狀不再改變直至運(yùn)動(dòng)停止.

1.4 泡沫子彈沖擊單梁的耦合分析模型

基于泡沫子彈的沖擊波模型與單梁的結(jié)構(gòu)沖擊動(dòng)力學(xué)模型,結(jié)合子彈沖擊端與單梁之間各物理量的耦合關(guān)系,可以建立描述泡沫子彈沖擊單梁過程的耦合分析模型.根據(jù)1.2 節(jié)中泡沫子彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化及1.3 節(jié)中受載單梁響應(yīng)行為的三相,可以將該整個(gè)沖擊過程分為4 個(gè)階段進(jìn)行分析.

第Ⅰ階段:泡沫子彈沖擊端有一道沖擊波形成并向遠(yuǎn)端傳播,單梁承受來自子彈沖擊端的壓強(qiáng)p(t).單梁的速度場整體呈梯形分布.子彈的沖擊端前端始終與梁緊密接觸,因此認(rèn)為單梁的跨中速度與子彈沖擊端的速度v1(t)始終相等.單梁內(nèi)側(cè)塑性鉸與外側(cè)塑性鉸間的速度呈線性變化,速度場可表達(dá)為

式中,x0和x1分別為內(nèi)、外塑性鉸的位置.由于移動(dòng)塑性鉸上的剪力為0,梁兩側(cè)內(nèi)塑性鉸之間的部分的加速度即為[29]

聯(lián)立式(9)和式(16)可得沖擊壓強(qiáng)p

以及梁的跨中加速度

式中,σB見式(7).將速度場代入式(12)和式(13)并對t求導(dǎo)后可得

式中,B1,B2,C1分別定義為

將式(17)代入式(19)中可得

綜合子彈沖擊波模型中的式(6)、式(8)及耦合模型中的式(18)、式(20) 和式(24),可得關(guān)于第Ⅰ階段中v2(t),Φ(t),v1(t),x0(t),x1(t),w0(t)各物理量的控制方程組.

第Ⅱ階段:泡沫子彈內(nèi)的沖擊波繼續(xù)傳播,梁的內(nèi)側(cè)塑性鉸到達(dá)跨中點(diǎn),即x0=0.該階段內(nèi)梁的速度場呈三角形分布,可表示為

將式(25)代入式(12)和式(13)并分別對t求導(dǎo)后可化簡得

聯(lián)立式(9)和式(26)可得

綜合式(6)、式(8)以及式(27)和式(28)即可得第Ⅱ階段的泡沫子彈和單梁的控制方程組.

第Ⅲ階段:子彈內(nèi)的波陣面停止傳播,沖擊波消失,子彈整體以速度v1運(yùn)動(dòng),單梁的速度場形狀仍與第Ⅱ階段中的相同,呈三角形,因此式(26)和式(27)仍然成立.將泡沫子彈此時(shí)的加速度式(10)代入式(26)可得

綜合式(29)和式(27)可得第Ⅲ階段內(nèi)子彈和單梁運(yùn)動(dòng)的控制方程組.

第Ⅳ階段:子彈以速度v1繼續(xù)運(yùn)動(dòng),單梁外塑性鉸到達(dá)固支端,即x1=l,該階段單梁的速度場可表達(dá)為

將式(30)代入式(14)后并對t求導(dǎo)可得

將式(10)代入式(31)

式(32)即為第Ⅳ階段的控制方程.當(dāng)v1=0 時(shí),認(rèn)為子彈沖擊單梁的響應(yīng)過程結(jié)束,該時(shí)刻為單梁的響應(yīng)結(jié)束時(shí)刻T0,此時(shí)單梁的跨中撓度為永久撓度W0.

對于初始時(shí)刻的子彈和單梁,有m1=0,v1=0,v2=V0,w0=0,σB=p0,將該初始條件代入式(18)、式(20)和式(24)可化簡得到初始時(shí)刻單梁內(nèi)外塑性鉸的位置分別為

式中,p0=σ0+ρsρV0(V0+c).基于該初始條件,采用一階Runge-Kutta 方法對第Ⅰ階段的控制方程組進(jìn)行數(shù)值求解可得第Ⅰ階段各物理量隨時(shí)間的變化,再以第Ⅰ階段結(jié)束時(shí)各物理量的值作為第Ⅱ階段的初始條件進(jìn)行數(shù)值求解.以此類推,最終可求解得到整個(gè)響應(yīng)過程中各物理量的解.

2 有限元模擬

構(gòu)建閉孔泡沫子彈沖擊單梁的有限元模型,并采用有限元軟件ABAQUS/Explicit 進(jìn)行求解.利用三維Voronoi 技術(shù)[26]構(gòu)造了閉孔泡沫模型,如圖4.泡沫子彈的橫截面為正方形,邊長為35 mm,相對密度ρ和初始長度l0如表1 所示.其中,P1 的密度最小,P7 的密度最大;P3,P4,P5 的初始沖擊速度V0、初始動(dòng)量I0、初始動(dòng)能Ek0均相同,相對密度ρ和長度l0不同;P2,P4,P6 的相對密度ρ、初始動(dòng)量I0相同,初始沖擊速度V0和長度l0不同.泡沫子彈的基體材料為鋁,采用彈性-理想塑性的材料模型,密度ρs為2700 kg/m3,楊氏模量為69 GPa,泊松比為0.3,屈服應(yīng)力σys為165 MPa.將泡沫子彈的模型劃分成S3R 殼單元,由網(wǎng)格敏感性分析確定網(wǎng)格尺寸約為0.3 mm.通過擬合單軸數(shù)值壓縮試驗(yàn)中泡沫鋁的應(yīng)力-應(yīng)變曲線[30]可以得到式(2)中的參數(shù)k1=0.885,n1=1.37,k2=0.115,n2=1.50.

表1 不同泡沫子彈的參數(shù)Table 1 Parameters of uniform foam projectiles

圖4 泡沫子彈的Voronoi 模型Fig.4 Voronoi model of a foam projectile

單梁的總長度2l為250 mm,厚度h為2 mm,寬度與子彈的截面邊長相等,即35 mm.單梁材料為304 鋼,采用彈塑性材料模型,其密度ρb為7750 kg/m3,楊氏模量為193 GPa,泊松比為0.3,屈服強(qiáng)度σY為340 MPa.采用C3D8R 實(shí)體單元對單梁進(jìn)行了網(wǎng)格劃分,由網(wǎng)格收斂性分析確定網(wǎng)格尺寸約為0.5 mm.限制了梁左右兩端面上所有節(jié)點(diǎn)的所有自由度以實(shí)現(xiàn)對梁兩端的固支約束,如圖5.該模型中采用了通用接觸,摩擦系數(shù)為0.02.

圖5 泡沫子彈沖擊單梁的有限元模型Fig.5 Finite element model of a foam projectile and a beam

3 結(jié)果與討論

3.1 變形模式

觀察泡沫子彈P4 沖擊單梁的有限元模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),在沖擊初始,泡沫子彈的沖擊端形成了一道壓潰帶,壓潰帶將子彈的未變形區(qū)與壓實(shí)區(qū)分隔開來,并向子彈遠(yuǎn)端傳播.單梁在跨中處附近及受載區(qū)域的外側(cè)均形成了塑性鉸,如圖6(a).隨著沖擊的進(jìn)行,單梁兩側(cè)的內(nèi)塑性鉸移動(dòng)到跨中點(diǎn)處匯聚,外塑性鉸繼續(xù)向外移動(dòng),如圖6(b).隨后,子彈內(nèi)的波陣面移動(dòng)速度逐漸變慢直至停止,此時(shí)子彈停止壓潰,其整體以相同的速度向前運(yùn)動(dòng),如圖6(c).泡沫子彈與單梁的變形模式與耦合分析模型中的設(shè)想基本相同.整個(gè)沖擊過程中,子彈的沖擊端與單梁的受載區(qū)域始終緊密接觸.雖然子彈的沖擊端端面實(shí)際為曲面,但各處的速度差別較小,因此可將子彈沖擊端的位移和速度近似為單梁的跨中位移和速度.

圖6 子彈和梁的Mises 應(yīng)力云圖Fig.6 The Mises stress nephogram of the foam projectile and the beam

3.2 與有限元結(jié)果的比較

以泡沫子彈P4 沖擊單梁的情形為例,將QDF模型[18]和耦合分析模型預(yù)測的理論結(jié)果與有限元結(jié)果進(jìn)行對比和分析.理論分析中泡沫子彈和單梁的結(jié)構(gòu)、材料參數(shù)與有限元模型中的對應(yīng)參數(shù)保持一致.在有限元模擬中,取固支梁受載區(qū)域中心附近(如2 mm × 2 mm 的區(qū)域內(nèi))的節(jié)點(diǎn)速度的平均值為v1,泡沫子彈遠(yuǎn)端端面上節(jié)點(diǎn)速度的平均值為v2,提取固支梁受載區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)在加載方向上節(jié)點(diǎn)力,由其總和除以子彈橫截面面積計(jì)算沖擊壓強(qiáng)p.

在初始階段,QDF 模型預(yù)測的v1保持恒定不變,隨后快速衰減至0.與有限元結(jié)果中的v1相比,兩者的變化趨勢有顯著的差異,如圖7.QDF 模型預(yù)測的響應(yīng)結(jié)束時(shí)間T0約為有限元結(jié)果的一半,而其預(yù)測的永久撓度W0為23.04 mm,高于有限元結(jié)果的20.51 mm.采用QDF 模型預(yù)測該沖擊過程相當(dāng)于認(rèn)為泡沫子彈的動(dòng)量在初始時(shí)刻全部傳遞給了單梁的受載區(qū)域,不僅忽略了單梁的加速過程,也使得單梁被賦予了過高的初速度,導(dǎo)致預(yù)測的最終撓度偏高,這與Radford 等[7]的研究中梁最終撓度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果低于預(yù)測值的現(xiàn)象一致.將泡沫子彈的加載簡單地等效為脈沖加載會導(dǎo)致無法準(zhǔn)確地預(yù)測梁的響應(yīng)過程,因此必須考慮子彈內(nèi)的沖擊波傳播以及子彈與梁之間的相互作用.

圖7 有限元模擬與QDF 模型預(yù)測的速度v1Fig.7 Velocity v1 predicted by simulation and QDF model

相較于QDF 模型,耦合分析模型預(yù)測的v1和v2與有限元結(jié)果的整體趨勢吻合得更好,如圖8,跨中撓度的變化趨勢也基本一致,如圖9.在耦合分析模型中,由于子彈內(nèi)沖擊波的傳播,第Ⅰ和第Ⅱ階段中子彈的壓實(shí)區(qū)和單梁一起加速,子彈的未壓實(shí)區(qū)不斷減速.從第Ⅲ階段開始,由于沖擊波的消失,子彈整體和單梁跨中點(diǎn)一起減速(圖中的虛線標(biāo)記了每一階段的結(jié)束時(shí)刻).耦合分析模型預(yù)測的v1峰值與有限元結(jié)果相比偏低,這是由于本文中采用的是正方形屈服準(zhǔn)則,較高地估計(jì)了單梁的屈服強(qiáng)度.需要注意的是,在沖擊后期(第Ⅳ階段),無論是QDF模型還是耦合分析模型,其預(yù)測的v1與有限元結(jié)果相比均衰減得更快,產(chǎn)生這種差別的原因是對沖擊后期單梁速度場的假設(shè)不夠準(zhǔn)確,需要在后續(xù)研究中進(jìn)一步修正.

圖8 有限元模擬與耦合分析模型預(yù)測的速度Fig.8 Velocity predicted by simulation and coupled model

圖9 跨中撓度w0 時(shí)程曲線Fig.9 Time history curves of mid-span deflection w0

QDF 模型由于其“沖量傳遞”的分析方法,無法得到泡沫子彈對單梁施加的載荷,而耦合分析模型預(yù)測的壓強(qiáng)p與有限元結(jié)果中單梁所受壓強(qiáng)吻合較好,如圖10 所示.在有限元模擬中,泡沫子彈的初始壓潰需要響應(yīng)時(shí)間,接觸區(qū)的壓強(qiáng)實(shí)際是從0 開始迅速增加至峰值,但由于這一過程過于短暫且迅速,因此耦合分析模型忽略了該響應(yīng)過程,認(rèn)為在泡沫子彈的沖擊端與固支梁接觸的瞬間就發(fā)生了沖擊壓潰并達(dá)到了峰值壓強(qiáng).在耦合分析模型中,隨著波陣面前后速度差距的減小和子彈壓實(shí)區(qū)質(zhì)量的逐漸增大,第Ⅰ和第Ⅱ階段的沖擊壓強(qiáng)快速衰減.當(dāng)沖擊過程由第Ⅱ階段進(jìn)入第Ⅲ階段時(shí),即t=0.1 ms 時(shí),理論和模擬中的沖擊壓強(qiáng)均出現(xiàn)了明顯的階躍.此時(shí),子彈中的沖擊波陣面的消失和子彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的突變導(dǎo)致沖擊壓強(qiáng)發(fā)生了突變.第Ⅲ階段中,沖擊壓強(qiáng)的衰減速度明顯變慢.沖擊過程后期,即0.7 ms 后,單梁的彈性回彈使得其與泡沫子彈間產(chǎn)生了一些接觸與碰撞,因此壓強(qiáng)出現(xiàn)了小幅度的上升.由于泡沫材料在動(dòng)態(tài)壓縮下的初始壓潰應(yīng)力高于其準(zhǔn)靜態(tài)下的初始壓潰應(yīng)力[26],而耦合分析模型中使用的R-PH模型描述的是泡沫材料在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,因此有限元結(jié)果中的沖擊壓強(qiáng)略高于理論預(yù)測壓強(qiáng).

圖10 沖擊壓強(qiáng)p 隨時(shí)間的變化Fig.10 Variation of impact pressure p with time

通過對理論結(jié)果與有限元結(jié)果中速度、撓度、沖擊壓強(qiáng)的比較,耦合分析模型的有效性和準(zhǔn)確性得以驗(yàn)證.觀察沖擊過程的4 個(gè)響應(yīng)階段可以發(fā)現(xiàn),第Ⅰ和Ⅱ階段中,即泡沫子彈中有沖擊波傳播時(shí),子彈對單梁的作功最多、影響最大,說明泡沫子彈中沖擊波傳播的效應(yīng)無法忽略(后文中對于沖擊壓強(qiáng)的分析也主要針對第Ⅰ和Ⅱ階段中的壓強(qiáng)).由于明顯的階躍特征與各階段不同的衰減速度,均勻泡沫子彈產(chǎn)生的載荷形式與爆炸載荷仍存在一定的差距.因此,若想實(shí)現(xiàn)模擬具有連續(xù)非線性衰減特征的爆炸載荷,還需對泡沫子彈進(jìn)行進(jìn)一步的設(shè)計(jì).

3.3 沖擊過程的其他情形

當(dāng)泡沫子彈的參數(shù)發(fā)生改變時(shí),沖擊過程還存在一些其他情形.若單梁的第Ⅰ階段速度場滿足1.4 節(jié)中的梯形假設(shè),則初始時(shí)刻一定滿足x0＞ 0,由式(33)可得該請況下初始沖擊壓強(qiáng)p0應(yīng)滿足

當(dāng)泡沫子彈的密度和初速度均較小時(shí)(如子彈P1,其相對密度為0.1,初始沖擊速度為100 m/s),初始沖擊壓強(qiáng)p0也較小.當(dāng)p0＜ 3σYh2/a2,不足以使單梁在其跨中處附近形成兩個(gè)內(nèi)側(cè)的塑性鉸,因此單梁的第Ⅰ階段速度場即為三角形速度場(如圖2(b))而非梯形速度場.這種情況下子彈與單梁的初始階段的控制方程即為1.4 節(jié)中第Ⅱ階段的控制方程組,由邊界條件m1=0,v1=0,v2=V0,w0=0,x0=0,σB=p0可化簡得到單梁外塑性鉸的初始位置分別為

子彈與單梁隨后的響應(yīng)過程與1.4 節(jié)中的相同.

當(dāng)泡沫子彈的密度較大而總重較輕時(shí)(如子彈P7),子彈的初始沖擊壓強(qiáng)p0較大,但由于總質(zhì)量較輕,子彈的壓實(shí)區(qū)與未壓實(shí)區(qū)的速度很快達(dá)到相等,單梁的加速過程很快結(jié)束.在此期間泡沫子彈對單梁的加載峰值雖高但衰減也快,使得子彈內(nèi)的沖擊波消失時(shí)單梁的兩個(gè)內(nèi)側(cè)塑性鉸還未匯聚到跨中處.此后內(nèi)塑性鉸的位置將保持不變,外塑性鉸的位置繼續(xù)向外移動(dòng).比較這些情形下耦合分析模型的預(yù)測結(jié)果與有限元模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn),無論是速度(如圖11 和圖12)還是沖擊壓強(qiáng)(如圖13)均吻合得較好.當(dāng)子彈的截面邊長較長時(shí),還可能出現(xiàn)子彈沖擊波消失前外塑性鉸已到達(dá)固支端的情形,本文中不再詳細(xì)討論.

圖11 泡沫子彈P1 的速度歷程曲線Fig.11 Velocity history curves of foam projectile P1

圖12 泡沫子彈P7 的速度歷程曲線Fig.12 Velocity history curves of foam projectile P7

圖13 泡沫子彈P1 和P7 的沖擊壓強(qiáng)歷程曲線Fig.13 Pressure history curves of foam projectiles P1 and P7

3.4 相同初始動(dòng)量的泡沫子彈的參數(shù)影響分析

在泡沫子彈初始動(dòng)量不變的前提下,研究初速度、密度等參數(shù)變化對沖擊過程產(chǎn)生的影響.以表1中的泡沫子彈P3,P4,P5 為例,其相對密度ρ和初始長度l0不同,初始沖擊速度V0和總質(zhì)量mp相同,因此初始動(dòng)量I0和初始動(dòng)能Ek0均保持不變.由于3 種子彈的初始動(dòng)量相同,采用QDF 模型預(yù)測的響應(yīng)過程也完全相同,但有限元結(jié)果中3 種子彈沖擊下單梁的跨中速度v1具有顯著差異,這再次說明了泡沫子彈的加載不能等效于脈沖加載,如圖14.QDF模型不適用于預(yù)測泡沫子彈的沖擊過程,也無法研究初始動(dòng)量相同時(shí)子彈的參數(shù)變化對沖擊響應(yīng)產(chǎn)生的影響.

圖14 QDF 模型預(yù)測速度v1 與有限元結(jié)果比較Fig.14 Comparison between prediction velocity v1 of the QDF model and simulation results

采用耦合分析模型進(jìn)行預(yù)測時(shí),可以發(fā)現(xiàn)其對子彈P3,P4 和P5 沖擊過程的預(yù)測結(jié)果與有限元結(jié)果均有較好的一致性,如圖15.當(dāng)相對密度ρ越大時(shí),子彈的波前和波后應(yīng)力越大,沖擊壓強(qiáng)p也越大,使得子彈未變形區(qū)速度v2和單梁跨中速度v1變化得更快,因此v1和v2會更快達(dá)到一致(由于壓實(shí)區(qū)質(zhì)量相較于子彈總重和單梁質(zhì)量很小,這里忽略壓實(shí)區(qū)質(zhì)量變化帶來的影響),如圖15(a).因此,密度越大的泡沫子彈形成的沖擊壓強(qiáng)峰值越高,衰減得也越快,如圖15(b).沖擊過程中,子彈的動(dòng)能一部分轉(zhuǎn)化為單梁的動(dòng)能和內(nèi)能,另一部分則通過子彈自身的壓潰行為被耗散,轉(zhuǎn)化為子彈的內(nèi)能,能量守恒關(guān)系可表達(dá)為

式中,Ek-p和Ek-b分別為子彈和單梁的動(dòng)能,EI-p和EI-b分別為子彈和單梁的內(nèi)能.在v1與v2相等時(shí)刻,由于子彈中的沖擊波消失,此后子彈不再壓潰,其內(nèi)能也不再增加,在這一時(shí)刻子彈的內(nèi)能即為沖擊結(jié)束時(shí)子彈的內(nèi)能.從圖15(a) 中可以看出,與子彈P3 相比,子彈P5 沖擊下的單梁在沖擊波消失時(shí)刻的跨中速度和撓度更大,因此該時(shí)刻子彈P5 和單梁的動(dòng)能Ek-p,Ek-b以及單梁的內(nèi)能EI-b均偏大,子彈P5 的內(nèi)能EI-p偏小.當(dāng)沖擊結(jié)束時(shí),子彈的初始動(dòng)能完全被單梁和子彈自身耗散,轉(zhuǎn)化為兩者的內(nèi)能,此時(shí)有

圖15 泡沫子彈P3 和P5 的沖擊響應(yīng)Fig.15 Impact response of foam projectiles P3 and P5

由于子彈P3 和P5 的初始動(dòng)能均相同而后者的內(nèi)能EI-p偏小,因此子彈P5 沖擊下單梁耗散的內(nèi)能EI-b增多,產(chǎn)生的永久撓度也偏大.雖然這三種泡沫子彈的初始動(dòng)能和動(dòng)量均相同,但相對密度和長度的不同影響了沖擊過程,導(dǎo)致子彈產(chǎn)生的沖擊壓強(qiáng)和單梁的響應(yīng)行為均產(chǎn)生了差異.

對于泡沫子彈P2,P4,P6,其相對密度ρ和初始動(dòng)量I0保持一致,初始沖擊速度V0、初始長度l0和子彈總重mp不同.子彈P6 的初始沖擊速度V0較高,因此子彈的波后應(yīng)力增強(qiáng),產(chǎn)生較強(qiáng)的沖擊壓強(qiáng),單梁的跨中速度v1也增加較快.由于波前應(yīng)力不發(fā)生改變且子彈P6 的總重偏小,其未變形區(qū)的速度v2也衰減得較快,如圖16(a),沖擊壓強(qiáng)整體呈峰值高,衰減快的變化規(guī)律,如圖16(b).相較于子彈P2 和P4,泡沫子彈P6 的初始動(dòng)能較大,因此在其沖擊下單梁的最終撓度也越大.耦合分析模型預(yù)測的不同子彈沖擊下單梁的永久撓度與有限元模擬結(jié)果雖具有一些差距,但整體變化趨勢吻合較好,如圖17,這也再次驗(yàn)證了耦合分析模型的有效性和可靠性.

圖16 泡沫子彈P2 和P6 加載下的沖擊響應(yīng)Fig.16 Impact response of foam projectiles P2 and P6

圖17 等初始動(dòng)量子彈P2 至P6 沖擊下單梁的永久跨中撓度W0Fig.17 Final mid-span deflection W0 of beam impacted by projectile with same initial momentum I0

3.5 泡沫子彈的參數(shù)影響分析

泡沫子彈的相對密度ρ,初始長度l0及初始沖擊速度V0的改變會對沖擊過程產(chǎn)生不同的影響.對于長度和初速度相同的泡沫子彈,相對密度越高的子彈波后應(yīng)力σB越大,由式(17)和式(18)可知沖擊壓強(qiáng)峰值和單梁的跨中加速度均會隨著波后應(yīng)力的增大而增大,這會使得高密度子彈的波前速度v2和波后速度v1更快達(dá)到一致,因此第Ⅰ,Ⅱ階段的沖擊壓強(qiáng)衰減得更快,持續(xù)時(shí)間也更短,如圖18.當(dāng)泡沫子彈的相對密度和初速度均相等,而初始長度l0不同時(shí),子彈在初始時(shí)刻形成的沖擊壓強(qiáng)峰值不會發(fā)生改變.當(dāng)子彈的長度越長,子彈的質(zhì)量越重,導(dǎo)致未變形區(qū)的速度v2衰減較慢,子彈會較遲進(jìn)入整體減速階段,因此長度越長的子彈打擊單梁時(shí),第Ⅰ,Ⅱ階段的沖擊壓強(qiáng)的衰減速度變慢,持續(xù)時(shí)間變長,如圖19.當(dāng)泡沫子彈的其他參數(shù)不變,初始速度V0越高時(shí),沖擊壓強(qiáng)峰值越高,子彈的壓實(shí)速度變快,因此子彈的未變形區(qū)質(zhì)量偏低,子彈遠(yuǎn)端的速度v2會衰減較快,沖擊壓強(qiáng)的衰減速度也變快.但由于子彈初速度較大,子彈波陣面前后速度達(dá)到一致所需的響應(yīng)時(shí)間也更長,因此第Ⅰ,Ⅱ階段的沖擊壓強(qiáng)的持續(xù)時(shí)間也更長,如圖20.綜合以上分析,可以根據(jù)目標(biāo)沖擊載荷的特征對均勻泡沫子彈進(jìn)行設(shè)計(jì)和篩選:提高泡沫子彈的密度可以提高沖擊載荷峰值,加快載荷衰減速度,并減少載荷的持續(xù)時(shí)間;增加泡沫子彈的長度可以減緩沖擊載荷衰減速度,減少載荷的持續(xù)時(shí)間且不改變載荷峰值;提高泡沫子彈的初始沖擊速度可以提高沖擊載荷的峰值,提高載荷的衰減速度并延長載荷的持續(xù)時(shí)間.

圖18 相對密度ρ 對沖擊壓強(qiáng)的影響Fig.18 Influence of relative density ρ on impact pressure

圖19 初始長度l0 對沖擊壓強(qiáng)的影響Fig.19 Influence of initial length l0 of on impact pressure

圖20 初速度V0 對沖擊壓強(qiáng)的影響Fig.20 Influence of initial velocity V0 on impact pressure

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了泡沫子彈沖擊單梁的耦合分析模型,通過有限元模擬對理論模型進(jìn)行了驗(yàn)證,并基于耦合分析模型對沖擊過程進(jìn)行了分析,主要結(jié)論如下.

(1) 結(jié)合泡沫材料的沖擊波模型與單梁的結(jié)構(gòu)沖擊動(dòng)力學(xué)模型,并考慮子彈與靶體之間力、速度、位移之間的耦合關(guān)系,構(gòu)建了描述泡沫子彈沖擊固支單梁過程的力學(xué)分析模型.給出了不同響應(yīng)階段下的控制方程組,并采用Runge-Kutta 方法獲得了數(shù)值解.

(2) 基于Voronoi 技術(shù)開展了泡沫子彈沖擊單梁的有限元模擬,有限元結(jié)果與耦合分析模型的預(yù)測結(jié)果吻合較好.相較于經(jīng)典的脈沖加載模型(QDF模型),耦合分析模型更為精確地預(yù)測了單梁速度場、撓度分布等的變化歷程,并獲得了子彈速度和沖擊壓強(qiáng)的變化歷程.

(3) 由于泡沫子彈中沖擊波的傳播和子彈與被測試物體間的耦合作用,泡沫子彈的初始動(dòng)量或初始動(dòng)能相同時(shí),其沖擊初速度、相對密度和初始長度的變化仍會對沖擊過程產(chǎn)生影響.通過對泡沫子彈的參數(shù)分析,針對具有不同特征的目標(biāo)沖擊載荷給出了泡沫子彈的設(shè)計(jì)與篩選策略.

本文建立的耦合分析模型為研究泡沫子彈沖擊可變形靶體的過程提供了理論基礎(chǔ),也為均勻泡沫子彈的設(shè)計(jì)提出了指導(dǎo)性意見.值得注意的是,均勻泡沫子彈在可變形靶體上形成的沖擊載荷與真實(shí)爆炸載荷仍具有一定的差異,因此需對泡沫子彈進(jìn)行更合理的設(shè)計(jì)才能達(dá)到更好的模擬和測試效果.此外,耦合分析模型的預(yù)測結(jié)果與有限元結(jié)果仍存在一些偏差,在后續(xù)的研究中可以從速度場假設(shè)、單梁的屈服準(zhǔn)則等方面對該模型進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn).