考考數(shù)學(xué)家

鄭江

教材分析

“考考數(shù)學(xué)家”是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（北師大版）七年級(jí)上冊(cè)第五章《一元一次方程》的內(nèi)容?！翱伎紨?shù)學(xué)家”是從學(xué)生的實(shí)際問題出發(fā)，結(jié)合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念，創(chuàng)造性地使用教材設(shè)計(jì)的一節(jié)課，是繼前面有過經(jīng)歷“將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程”的經(jīng)驗(yàn)后，體驗(yàn)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的互相轉(zhuǎn)換。本課的設(shè)計(jì)是從學(xué)生感興趣的情景入手，通過畫線段圖獲取信息，經(jīng)歷從不同的角度尋求不同的相等關(guān)系。通過本課教學(xué)，使學(xué)生初步感受“數(shù)學(xué)建?！钡姆椒?，更好地發(fā)展有條理地進(jìn)行思考和表達(dá)的能力，為以后順利學(xué)習(xí)有關(guān)其它方程打下基礎(chǔ)。

學(xué)生分析

學(xué)生首次接觸用列方程來(lái)解決生活中遇到的實(shí)際問題，其關(guān)鍵是正確找出等量關(guān)系，并設(shè)未知數(shù)建立方程。應(yīng)用題是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一大難關(guān)，故很多學(xué)生會(huì)厭倦和回避，只有通過創(chuàng)設(shè)引人入勝的實(shí)際問題情景，讓學(xué)生在無(wú)形中產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)探索興趣和熱情，通過解決實(shí)際問題，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又回歸生活實(shí)際，才能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

設(shè)計(jì)理念

1.從有趣的問題情景出發(fā)，讓學(xué)生在輕松的環(huán)境中逐漸進(jìn)入問題的解決中，同時(shí)設(shè)計(jì)一些問題串和活動(dòng)，由易到難，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐層深入，讓學(xué)生在自由愉悅的環(huán)境中學(xué)習(xí)，又在激烈競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境中探索知識(shí)。

2.學(xué)生自己設(shè)計(jì)問題，拓展思維，給學(xué)生一個(gè)自由翱翔的思維空間和表現(xiàn)發(fā)揮的舞臺(tái)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)投入探索后的成就感。

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷運(yùn)用畫示意圖尋求相等關(guān)系的過程，提高自己的思維能力。

2.利用路程、時(shí)間、速度三者之間的關(guān)系，借助畫示意圖列一元一次方程，解以現(xiàn)實(shí)活動(dòng)為背景的應(yīng)用題。

3.探索和尋求相等關(guān)系的方法，形成解決問題的一些基本策略，提高綜合分析問題、解決問題的能力。

4.經(jīng)歷通過分析尋求不同的相等關(guān)系的過程，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新能力。

教學(xué)重點(diǎn)：通過分析題意，尋找等量關(guān)系，列方程。

教學(xué)難點(diǎn)：從不同的角度來(lái)找等量關(guān)系，列方程。

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題。

師：當(dāng)代數(shù)學(xué)家蘇步青教授曾在法國(guó)遇到一個(gè)很有名氣的數(shù)學(xué)家，在電車?yán)锝o他出了一道題。

問題1：甲、乙兩人，同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，距離是50km，甲每小時(shí)走3km，乙每小時(shí)走2km，問他幾小時(shí)可以碰到？蘇步青教授一下子便回答出來(lái)了。你能回答上述問題嗎？

二、組織學(xué)生活動(dòng)。

學(xué)生活動(dòng)一：

學(xué)生通過四人小組的活動(dòng)，觀察分析，理解題意，明白路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系。

在小組討論的基礎(chǔ)上，組織全班交流。

教師針對(duì)學(xué)生討論的情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生分析，滲透數(shù)學(xué)建模的思想。

畫出示意圖：

引導(dǎo)分析：甲、乙相遇時(shí)，他們共行的路程為

本題有哪些相等關(guān)系呢？

從路程角度分析：甲行走的路程+乙行走的路程=_______。

從時(shí)間角度分析：甲行走的時(shí)間=乙行走的時(shí)間。

如果設(shè)甲、乙相遇，用的時(shí)間為X.此時(shí)相等關(guān)系：

甲行走的路程+乙行走的路程=_______。

即：甲行走的速度×甲行走的_______+乙行走的_______×乙行走的時(shí)間=_______。

則可得到方程：3X+2X=50

解;設(shè)甲、乙相遇時(shí)行走了X小時(shí)，根據(jù)題意得：

3X+2X=50

5X=50

X=10

答：他們10小時(shí)能相遇.

如果設(shè)甲行走的路程為Xkm，相等關(guān)系又是什么呢？

學(xué)生活動(dòng)二：

學(xué)生通過四人小組討論，相互合作交流。

教師點(diǎn)評(píng)分析。

【通過創(chuàng)設(shè)愉悅的問題情景，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給學(xué)生提供經(jīng)歷從多角度尋求相等關(guān)系的過程，在輕松歡快中探索問題，解決問題?！?/p>

問題2：接著，這位法國(guó)數(shù)學(xué)家又說，甲帶一只小狗丁諾，它每小時(shí)走5km，同甲一起出發(fā)，碰到乙時(shí)它又往甲這邊走，碰到甲它又往乙這邊走，問小狗在甲、乙相遇時(shí)一共走了多少千米？

師：在外國(guó)且又是電車上回答這個(gè)問題可有點(diǎn)難了，但是蘇步青教授思考了一會(huì)兒，還是在下車前就解決了這個(gè)問題。你知道他又是怎樣解答的嗎？

學(xué)生活動(dòng)三：

學(xué)生仍然分組討論，由小組派代表來(lái)發(fā)表本組的見解。

教師點(diǎn)評(píng)分析。

畫出示意圖：

分析：小狗丁諾走的路程=小狗丁諾走的速度×小狗丁諾走的時(shí)間。

現(xiàn)在只須求出小狗丁諾走的時(shí)間，問題就解決了。

小狗走的時(shí)間為多少呢？

顯然，小狗往返跑，直到甲、乙相遇時(shí)才停下來(lái)，故小狗跑的時(shí)間一定為甲、乙相遇前走的時(shí)間，問題由此就迎刃而解。

解：設(shè)甲、乙X小時(shí)后相遇，由題意得;

3X+2X-50

X=10

故小狗走的路程為：5×10=50（千米）。

答：小狗所走路程為50千米。

【學(xué)生驚訝又不知所措，拋磚引玉，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)充滿了憧憬和熱情。通過設(shè)置的兩個(gè)問題，形成問題串，逐步深入，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，通過提問，把學(xué)生逐步引入問題情景中，并且問題具有一定的梯度，對(duì)學(xué)生的思考有一定的引導(dǎo)和啟發(fā)作用。畫出相應(yīng)的示意圖解決問題是解應(yīng)用題的一個(gè)重要手段，要使學(xué)生學(xué)會(huì)利用不同的示意圖解決問題?！?/p>

師：事情還沒結(jié)束，蘇步青教授回國(guó)后把這個(gè)問題向他的學(xué)生講了以后，學(xué)生又向蘇步青教授問了幾個(gè)問題。而蘇步青也在很短的時(shí)間內(nèi)回答了這幾個(gè)問題？你行嗎？

問題3：學(xué)生A提出問題。

如果乙?guī)」?，而小狗也?kml小時(shí)的速度向甲跑，遇甲后又往乙跑，遇乙后又往甲跑，當(dāng)兩人最終相遇時(shí)，小狗跑的路程又為多少呢？

學(xué)生活動(dòng)四：

學(xué)生仍然分組討論，由小組派代表來(lái)發(fā)表本組的見解。

【進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)有趣的問題情景，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過變換情景，改變問題類型，培養(yǎng)學(xué)生的思維遷移能力，通過激勵(lì)來(lái)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)問題探索的欲望?！?/p>

教師引導(dǎo)分析。

提問;這個(gè)問題與第二個(gè)問題的區(qū)別和聯(lián)系分別是什么呢？

顯然，行走的路程只與時(shí)間有關(guān)（速度沒變），而時(shí)間的決定與小狗出發(fā)點(diǎn)沒關(guān)系，故還是與問題2的解答結(jié)果一樣。

小狗丁諾走的路程=小狗丁諾走的速度x小狗丁諾走的時(shí)間

現(xiàn)在只需求出小狗丁諾走的時(shí)間，問題就解決了。

小狗走的時(shí)間為多少呢？

顯然，小狗往返跑直到甲、乙相遇時(shí)才停下來(lái)，故小狗跑的時(shí)間一定為甲、乙相遇前走的時(shí)間。問題由此就迎刃而解，解由學(xué)生來(lái)完成.

【問題進(jìn)一步升華，此時(shí)問題和學(xué)生的興趣達(dá)到一個(gè)高潮，通過越來(lái)越多的變式，使學(xué)生感受到問題層出不窮，變幻莫測(cè)，從而體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的奧妙和神奇?！?/p>

問題4：學(xué)生B提出問題。

如果甲、乙、小狗都從一點(diǎn)出發(fā)，同向而行，其速度皆不變，而乙和小狗先出發(fā)3小時(shí)，甲再出發(fā)追趕乙，當(dāng)甲追上乙時(shí)，小狗跑了多少米？

學(xué)生活動(dòng)五：

學(xué)生仍然分組討論，由小組派代表來(lái)發(fā)表本組的見解。

教師引導(dǎo)分析。

畫出示意圖：

分析：變換情景后，變成了什么問題？問題的等量關(guān)系又是什么？

小狗跑的路程二小狗跑的速度x小狗跑的時(shí)間，故這里也是先要求出甲追上乙的時(shí)間.

在探究問題中建立等量關(guān)系：

甲行走的速度x甲追上乙行走的時(shí)間=乙行走的速度x甲追上乙行走的時(shí)間+乙提前行走的速度x乙提前走的時(shí)間。

而這時(shí)的未知數(shù)是甲追上乙走的時(shí)間：

解：設(shè)甲追上乙的時(shí)間為x.故依題意得：

3X=2X+2×3

X=6

故小狗行進(jìn)的路程為：

5×3+5×6=45（千米）

【學(xué)生興奮好奇地面對(duì)新問題，并積極思考。教師給予引導(dǎo)，抓住問題間的關(guān)系找出等量關(guān)系。學(xué)生通過相互討論、探索學(xué)習(xí)來(lái)解決問題，有一種豁然開朗的感覺，充分享受成功?！?/p>

問題5：學(xué)生C提出問題：

如果甲、乙、小狗從同一A點(diǎn)出發(fā)，同向而行，而甲先出發(fā)5小時(shí)，乙才和小狗一起出發(fā)，當(dāng)小狗追上甲時(shí)，甲走了多少千米？乙還能追上甲嗎？為什么？

學(xué)生活動(dòng)六：

學(xué)生仍然分組討論，由小組派代表來(lái)發(fā)表本組的見解。

教師引導(dǎo)分析。

分析：顯然，小狗和甲又形成了追擊問題，由問題4知，設(shè)小狗追趕甲的時(shí)間為X，則可得到：

5X=3X+5×3

X=7.5

此時(shí)小狗行走的路程二甲行走的路程=5×7.5=37.5（千米）

乙不能追上甲，原因何在呢，如果乙能追上甲，則肯定有等式：

2X=3×5+3X

X=-15

顯然時(shí)間不能為負(fù)數(shù)。

說明：速度較大者追速度較小者，定能追上，而速度較小者，追速度較大者，肯定不能。

從而引出悖論：公元前400多年古希臘的芝諾提出這樣一個(gè)觀點(diǎn)，跑得最快的阿基里斯永遠(yuǎn)追不到爬得最慢的烏龜。因?yàn)榘⒈仨毜竭_(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)A，而此時(shí)烏龜又進(jìn)到A1點(diǎn)，當(dāng)阿再進(jìn)到A1點(diǎn)時(shí)，烏龜又進(jìn)到A2點(diǎn)，如此繼續(xù)下去，阿永遠(yuǎn)追不上它。顯然這是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，故稱為悖論。而又應(yīng)該怎么解釋呢？

【通過數(shù)學(xué)趣味性的滲透，進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛和學(xué)習(xí)探索的欲望，從而加強(qiáng)對(duì)問題矛盾性的正確分析和證明的積極性?！?/p>

三、思考。

假如你也是蘇步青教授的學(xué)生，你也出一個(gè)題來(lái)考考，看哪些同學(xué)提出的問題有深度。

【自己設(shè)計(jì)問題，拓展學(xué)生的思維空間，開發(fā)學(xué)生的思維活力，學(xué)生多角度、多方位、多層次地提出問題，深深感受到數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的靈活性及享受成功后的幸福感?！?/p>

四、課后拓展。

同學(xué)們查閱相關(guān)資料，了解有關(guān)悖論的問題.

【進(jìn)一步拓展學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的視野，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生從小熱衷于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和探索?！?/p>

課后思考

學(xué)生通過本堂課教師設(shè)計(jì)的問題串，從易到難、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從教師的帶領(lǐng)到學(xué)生的自己探索和設(shè)計(jì)，讓學(xué)生充分感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味及意義，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下獨(dú)自探索，無(wú)不體現(xiàn)一種學(xué)習(xí)的自主性和積極性，問題情景的創(chuàng)設(shè)更是引人入勝，學(xué)生的思維也在不經(jīng)意中展開，這樣，知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握，不是一種任務(wù)和負(fù)擔(dān)，而是一種精神上的充實(shí)。