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    考考數(shù)學(xué)家

    2003-04-26 03:22:54鄭江
    人民教育 2003年14期
    關(guān)鍵詞:分析數(shù)學(xué)學(xué)生

    鄭江

    教材分析

    “考考數(shù)學(xué)家”是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》(北師大版)七年級上冊第五章《一元一次方程》的內(nèi)容?!翱伎紨?shù)學(xué)家”是從學(xué)生的實際問題出發(fā),結(jié)合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念,創(chuàng)造性地使用教材設(shè)計的一節(jié)課,是繼前面有過經(jīng)歷“將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程”的經(jīng)驗后,體驗文字語言、圖形語言、符號語言的互相轉(zhuǎn)換。本課的設(shè)計是從學(xué)生感興趣的情景入手,通過畫線段圖獲取信息,經(jīng)歷從不同的角度尋求不同的相等關(guān)系。通過本課教學(xué),使學(xué)生初步感受“數(shù)學(xué)建?!钡姆椒ǎ玫匕l(fā)展有條理地進(jìn)行思考和表達(dá)的能力,為以后順利學(xué)習(xí)有關(guān)其它方程打下基礎(chǔ)。

    學(xué)生分析

    學(xué)生首次接觸用列方程來解決生活中遇到的實際問題,其關(guān)鍵是正確找出等量關(guān)系,并設(shè)未知數(shù)建立方程。應(yīng)用題是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一大難關(guān),故很多學(xué)生會厭倦和回避,只有通過創(chuàng)設(shè)引人入勝的實際問題情景,讓學(xué)生在無形中產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)探索興趣和熱情,通過解決實際問題,學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活又回歸生活實際,才能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

    設(shè)計理念

    1.從有趣的問題情景出發(fā),讓學(xué)生在輕松的環(huán)境中逐漸進(jìn)入問題的解決中,同時設(shè)計一些問題串和活動,由易到難,由簡單到復(fù)雜,逐層深入,讓學(xué)生在自由愉悅的環(huán)境中學(xué)習(xí),又在激烈競爭的環(huán)境中探索知識。

    2.學(xué)生自己設(shè)計問題,拓展思維,給學(xué)生一個自由翱翔的思維空間和表現(xiàn)發(fā)揮的舞臺,讓學(xué)生充分體驗投入探索后的成就感。

    教學(xué)目標(biāo)

    1.經(jīng)歷運用畫示意圖尋求相等關(guān)系的過程,提高自己的思維能力。

    2.利用路程、時間、速度三者之間的關(guān)系,借助畫示意圖列一元一次方程,解以現(xiàn)實活動為背景的應(yīng)用題。

    3.探索和尋求相等關(guān)系的方法,形成解決問題的一些基本策略,提高綜合分析問題、解決問題的能力。

    4.經(jīng)歷通過分析尋求不同的相等關(guān)系的過程,體驗解決問題策略的多樣性,發(fā)展創(chuàng)新能力。

    教學(xué)重點:通過分析題意,尋找等量關(guān)系,列方程。

    教學(xué)難點:從不同的角度來找等量關(guān)系,列方程。

    教學(xué)過程

    一、創(chuàng)設(shè)情景,提出問題。

    師:當(dāng)代數(shù)學(xué)家蘇步青教授曾在法國遇到一個很有名氣的數(shù)學(xué)家,在電車?yán)锝o他出了一道題。

    問題1:甲、乙兩人,同時出發(fā),相對而行,距離是50km,甲每小時走3km,乙每小時走2km,問他幾小時可以碰到?蘇步青教授一下子便回答出來了。你能回答上述問題嗎?

    二、組織學(xué)生活動。

    學(xué)生活動一:

    學(xué)生通過四人小組的活動,觀察分析,理解題意,明白路程、速度、時間之間的關(guān)系。

    在小組討論的基礎(chǔ)上,組織全班交流。

    教師針對學(xué)生討論的情況進(jìn)行點評,引導(dǎo)學(xué)生分析,滲透數(shù)學(xué)建模的思想。

    畫出示意圖:

    引導(dǎo)分析:甲、乙相遇時,他們共行的路程為

    本題有哪些相等關(guān)系呢?

    從路程角度分析:甲行走的路程+乙行走的路程=_______。

    從時間角度分析:甲行走的時間=乙行走的時間。

    如果設(shè)甲、乙相遇,用的時間為X.此時相等關(guān)系:

    甲行走的路程+乙行走的路程=_______。

    即:甲行走的速度×甲行走的_______+乙行走的_______×乙行走的時間=_______。

    則可得到方程:3X+2X=50

    解;設(shè)甲、乙相遇時行走了X小時,根據(jù)題意得:

    3X+2X=50

    5X=50

    X=10

    答:他們10小時能相遇.

    如果設(shè)甲行走的路程為Xkm,相等關(guān)系又是什么呢?

    學(xué)生活動二:

    學(xué)生通過四人小組討論,相互合作交流。

    教師點評分析。

    【通過創(chuàng)設(shè)愉悅的問題情景,引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,給學(xué)生提供經(jīng)歷從多角度尋求相等關(guān)系的過程,在輕松歡快中探索問題,解決問題?!?/p>

    問題2:接著,這位法國數(shù)學(xué)家又說,甲帶一只小狗丁諾,它每小時走5km,同甲一起出發(fā),碰到乙時它又往甲這邊走,碰到甲它又往乙這邊走,問小狗在甲、乙相遇時一共走了多少千米?

    師:在外國且又是電車上回答這個問題可有點難了,但是蘇步青教授思考了一會兒,還是在下車前就解決了這個問題。你知道他又是怎樣解答的嗎?

    學(xué)生活動三:

    學(xué)生仍然分組討論,由小組派代表來發(fā)表本組的見解。

    教師點評分析。

    畫出示意圖:

    分析:小狗丁諾走的路程=小狗丁諾走的速度×小狗丁諾走的時間。

    現(xiàn)在只須求出小狗丁諾走的時間,問題就解決了。

    小狗走的時間為多少呢?

    顯然,小狗往返跑,直到甲、乙相遇時才停下來,故小狗跑的時間一定為甲、乙相遇前走的時間,問題由此就迎刃而解。

    解:設(shè)甲、乙X小時后相遇,由題意得;

    3X+2X-50

    X=10

    故小狗走的路程為:5×10=50(千米)。

    答:小狗所走路程為50千米。

    【學(xué)生驚訝又不知所措,拋磚引玉,讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)充滿了憧憬和熱情。通過設(shè)置的兩個問題,形成問題串,逐步深入,引導(dǎo)發(fā)現(xiàn),通過提問,把學(xué)生逐步引入問題情景中,并且問題具有一定的梯度,對學(xué)生的思考有一定的引導(dǎo)和啟發(fā)作用。畫出相應(yīng)的示意圖解決問題是解應(yīng)用題的一個重要手段,要使學(xué)生學(xué)會利用不同的示意圖解決問題?!?/p>

    師:事情還沒結(jié)束,蘇步青教授回國后把這個問題向他的學(xué)生講了以后,學(xué)生又向蘇步青教授問了幾個問題。而蘇步青也在很短的時間內(nèi)回答了這幾個問題?你行嗎?

    問題3:學(xué)生A提出問題。

    如果乙?guī)」罚」芬惨?kml小時的速度向甲跑,遇甲后又往乙跑,遇乙后又往甲跑,當(dāng)兩人最終相遇時,小狗跑的路程又為多少呢?

    學(xué)生活動四:

    學(xué)生仍然分組討論,由小組派代表來發(fā)表本組的見解。

    【進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)有趣的問題情景,引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,通過變換情景,改變問題類型,培養(yǎng)學(xué)生的思維遷移能力,通過激勵來增強學(xué)生對問題探索的欲望?!?/p>

    教師引導(dǎo)分析。

    提問;這個問題與第二個問題的區(qū)別和聯(lián)系分別是什么呢?

    顯然,行走的路程只與時間有關(guān)(速度沒變),而時間的決定與小狗出發(fā)點沒關(guān)系,故還是與問題2的解答結(jié)果一樣。

    小狗丁諾走的路程=小狗丁諾走的速度x小狗丁諾走的時間

    現(xiàn)在只需求出小狗丁諾走的時間,問題就解決了。

    小狗走的時間為多少呢?

    顯然,小狗往返跑直到甲、乙相遇時才停下來,故小狗跑的時間一定為甲、乙相遇前走的時間。問題由此就迎刃而解,解由學(xué)生來完成.

    【問題進(jìn)一步升華,此時問題和學(xué)生的興趣達(dá)到一個高潮,通過越來越多的變式,使學(xué)生感受到問題層出不窮,變幻莫測,從而體驗到數(shù)學(xué)的奧妙和神奇?!?/p>

    問題4:學(xué)生B提出問題。

    如果甲、乙、小狗都從一點出發(fā),同向而行,其速度皆不變,而乙和小狗先出發(fā)3小時,甲再出發(fā)追趕乙,當(dāng)甲追上乙時,小狗跑了多少米?

    學(xué)生活動五:

    學(xué)生仍然分組討論,由小組派代表來發(fā)表本組的見解。

    教師引導(dǎo)分析。

    畫出示意圖:

    分析:變換情景后,變成了什么問題?問題的等量關(guān)系又是什么?

    小狗跑的路程二小狗跑的速度x小狗跑的時間,故這里也是先要求出甲追上乙的時間.

    在探究問題中建立等量關(guān)系:

    甲行走的速度x甲追上乙行走的時間=乙行走的速度x甲追上乙行走的時間+乙提前行走的速度x乙提前走的時間。

    而這時的未知數(shù)是甲追上乙走的時間:

    解:設(shè)甲追上乙的時間為x.故依題意得:

    3X=2X+2×3

    X=6

    故小狗行進(jìn)的路程為:

    5×3+5×6=45(千米)

    【學(xué)生興奮好奇地面對新問題,并積極思考。教師給予引導(dǎo),抓住問題間的關(guān)系找出等量關(guān)系。學(xué)生通過相互討論、探索學(xué)習(xí)來解決問題,有一種豁然開朗的感覺,充分享受成功?!?/p>

    問題5:學(xué)生C提出問題:

    如果甲、乙、小狗從同一A點出發(fā),同向而行,而甲先出發(fā)5小時,乙才和小狗一起出發(fā),當(dāng)小狗追上甲時,甲走了多少千米?乙還能追上甲嗎?為什么?

    學(xué)生活動六:

    學(xué)生仍然分組討論,由小組派代表來發(fā)表本組的見解。

    教師引導(dǎo)分析。

    分析:顯然,小狗和甲又形成了追擊問題,由問題4知,設(shè)小狗追趕甲的時間為X,則可得到:

    5X=3X+5×3

    X=7.5

    此時小狗行走的路程二甲行走的路程=5×7.5=37.5(千米)

    乙不能追上甲,原因何在呢,如果乙能追上甲,則肯定有等式:

    2X=3×5+3X

    X=-15

    顯然時間不能為負(fù)數(shù)。

    說明:速度較大者追速度較小者,定能追上,而速度較小者,追速度較大者,肯定不能。

    從而引出悖論:公元前400多年古希臘的芝諾提出這樣一個觀點,跑得最快的阿基里斯永遠(yuǎn)追不到爬得最慢的烏龜。因為阿必須到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點A,而此時烏龜又進(jìn)到A1點,當(dāng)阿再進(jìn)到A1點時,烏龜又進(jìn)到A2點,如此繼續(xù)下去,阿永遠(yuǎn)追不上它。顯然這是一個錯誤的結(jié)論,故稱為悖論。而又應(yīng)該怎么解釋呢?

    【通過數(shù)學(xué)趣味性的滲透,進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛和學(xué)習(xí)探索的欲望,從而加強對問題矛盾性的正確分析和證明的積極性。】

    三、思考。

    假如你也是蘇步青教授的學(xué)生,你也出一個題來考考,看哪些同學(xué)提出的問題有深度。

    【自己設(shè)計問題,拓展學(xué)生的思維空間,開發(fā)學(xué)生的思維活力,學(xué)生多角度、多方位、多層次地提出問題,深深感受到數(shù)學(xué)知識運用的靈活性及享受成功后的幸福感?!?/p>

    四、課后拓展。

    同學(xué)們查閱相關(guān)資料,了解有關(guān)悖論的問題.

    【進(jìn)一步拓展學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的視野,增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣,使學(xué)生從小熱衷于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和探索。】

    課后思考

    學(xué)生通過本堂課教師設(shè)計的問題串,從易到難、從簡單到復(fù)雜、從教師的帶領(lǐng)到學(xué)生的自己探索和設(shè)計,讓學(xué)生充分感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味及意義,學(xué)生在老師的引導(dǎo)下獨自探索,無不體現(xiàn)一種學(xué)習(xí)的自主性和積極性,問題情景的創(chuàng)設(shè)更是引人入勝,學(xué)生的思維也在不經(jīng)意中展開,這樣,知識的學(xué)習(xí)和掌握,不是一種任務(wù)和負(fù)擔(dān),而是一種精神上的充實。

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