巧用中點，靈活解題

翁丹楓

線段中點是幾何中比較重要的一個基本概念，是幾何圖形中的一個特殊點，在三角形、四邊形等幾何問題中都會出現(xiàn).從學(xué)生在接觸三角形的初步知識后，線段中點就會頻繁出現(xiàn)在各種類型的習(xí)題中，在四邊形甚至在函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合中也會經(jīng)常出現(xiàn)中點問題，中點問題已經(jīng)是平面幾何中的一類典型問題.通常情況下，中點問題會被歸結(jié)為線段相等問題加以解決，但是僅僅抓住這一點還是很難巧妙地利用好中點這個特殊的點，如果能夠抓住其不同于一般線段相等問題的特點，可以實現(xiàn)妙思巧解.當(dāng)然要達到這一點就必須了解中點在不同問題中的呈現(xiàn)形式以及所隱藏的基本模型、基本的添線方法和解題思路.本文對中點在不同問題中的呈現(xiàn)形式以及基本的添線方法進行了闡述，以例題的形式對中點的巧妙運用進行了介紹.

一、中線倍長，構(gòu)造全等三角形

例1 如圖1所示，已知在△ABC中，D是BC邊上的中點，AB=2，AC=4，求中線AD的取值范圍.

問題分析 這個問題是中線倍長中最典型的題只需要倍長中線AD，再通過連接構(gòu)造全等三角形即可.

二、直角三角形斜邊上中點，構(gòu)造斜邊上的中線

例2 如圖3，已知在△ABC中，BE，CD分別是AC和AB邊上的高，M是BC中點，N是DE中點，說明MN與DE之間的關(guān)系.

問題分析 本題便是直角三角形斜邊上的中點最典型的例題，只要將高BE和CD轉(zhuǎn)成Rt△BDC和Rt△BEC，并發(fā)現(xiàn)這兩個直角三角形共有一條斜邊BC，聯(lián)想到這個題的基本圖形，如圖4所示，通過連接DM和EM，就可以得到DM和EM分別是Rt△BDC和Rt△BEC斜邊上的中線，因此DM=EM，則△DME是等腰三角形，進而得到MN和DE的關(guān)系（如圖5）.

三、平行四邊形對角線的交點，即為中點

例3 如圖6所示，四邊形ABCD中，AB∥DC，以AC、AD為邊作ACED，DC的延長線交BE于F，求證：EF=FB.

問題分析 合理利用ACED對角線互相平分的性質(zhì)，連接AE（如圖7）后就會出現(xiàn)中點.再根據(jù)AB∥DC，利用中位線的判定方法就可以得到F也為BE中點.

上述例題都是本人在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中在不同的教學(xué)階段所碰到的，從初一的三角形初步開始，學(xué)生就踏入了幾何的殿堂.對于幾何的內(nèi)容，不少學(xué)生無法在第一時間想到添線的方法，總是花很多時間在幾何問題上，但結(jié)果卻總是前功盡棄.數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生掌握所學(xué)的知識內(nèi)容，形成一定的數(shù)學(xué)能力，也要讓學(xué)生掌握、領(lǐng)會數(shù)學(xué)的思想方法.在直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、符號表示、反思建構(gòu)等思維過程中，學(xué)會分析數(shù)學(xué)問題的方式方法，形成并掌握解決數(shù)學(xué)的策略，不斷優(yōu)化問題解決的過程，讓學(xué)生具有一個善于思考的“數(shù)學(xué)頭腦”，一雙善于發(fā)現(xiàn)的“數(shù)學(xué)眼睛”，不斷提高數(shù)學(xué)認知水平，提升數(shù)學(xué)思維層次.

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓學(xué)生學(xué)會歸納類比，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).在課堂中，對于幾類有共同特點的題型進行歸納總結(jié)，如幾何中的中點問題，那么學(xué)生碰到類似的問題就不會束手無策了.

【參考文獻】

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