高考考查復數(shù)的若干視角

摘要：復數(shù)是高中數(shù)學的重要組成部分，是今后學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)，也是高考的必考內(nèi)容.題型多為選擇題或填空題，難度基礎(chǔ)或中等，分值5分左右，屬于送分題.本文以高考的視角，探討復數(shù)的題型與解法.

關(guān)鍵詞：高考;復數(shù);題型;解法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0043-05

復數(shù)的考查主要體現(xiàn)在以下四個方面：復數(shù)的運算、復數(shù)的有關(guān)概念、復數(shù)的性質(zhì)、復數(shù)的幾何意義等.其中復數(shù)的運算是考查的重中之重，其它方面的考查大多圍繞復數(shù)的運算展開.

1 復數(shù)的運算

復數(shù)的運算主要是指加、減、乘、除和乘方運算，是高考的高頻考點，熟練掌握運算法則和運算律是解題的關(guān)鍵.

例1（2018年全國Ⅲ卷理2）（1+i）（2-i）=（）.

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

分析根據(jù)復數(shù)的乘法法則進行計算.

解析1+i2-i=2-i+2i-i2=3+i.

故選D.

點評本題主要考查復數(shù)的乘法運算，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例2（2020年全國新高考Ⅰ卷2）2-i1+2i=（）.

A.1B.-1C.iD.-i

分析可用復數(shù)的運算法則求解，也可用虛數(shù)單位的性質(zhì)求解，還可用驗證法求解.

解法1 2-i1+2i=（2-i）（1-2i）（1+2i）（1-2i）=-5i5=-i.

解法22-i1+2i=-2i2-i1+2i=-i（2i+1）1+2i=-i.

解法3因為（1+2i）·（-i）=-2i2-i=2-i，所以2-i1+2i=-i.故選D.

點評本題主要考查復數(shù)的乘除運算，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題. 解法1是常規(guī)方法;解法2根據(jù)算式的特點，利用-1=i2另辟蹊徑，巧妙作答;解法3根據(jù)單選題的特點，用驗證法直接找出正確選項.

例3（2020年全國Ⅱ卷文2）（1-i）4=（）.

A.-4B.4C.-4iD.4i

分析根據(jù)冪的運算性質(zhì)和完全平方公式進行求解即可.

解析（1-i）4=[（1-i）2]2=（1-2i+i2）2=（-2i）2=-4.故選A.

點評本題主要考查復數(shù)的乘方運算，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例4（2021年全國甲卷理3）已知（1-i）2z=3+2i，則z=（）.

A.-1-32iB.-1+32i

C.-32+iD.-32-i

分析可用復數(shù)的運算法則求解，也可用復數(shù)相等的定義求解，還可用驗證法求解.

解法1z=3+2i（1-i）2=3+2i-2i=（3+2i）·i-2i·i=-2+3i2=-1+32i.

解法2設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則

（1-i）2（a+bi）=3+2i.

即2b-2ai=3+2i.

根據(jù)復數(shù)相等的定義，得2b=3且-2a=2，

解得a=-1，b=32.

所以z=-1+32i.

解法3因為（1-i）2（-1+32i）=-2i（-1+32i）=3+2i，

所以z=3+2i（1-i）2=-1+32i.故選B.

點評本題主要考查復數(shù)的乘除運算，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.解法1是常規(guī)解法;解法2設(shè)z=a+bi（a，b∈R），根據(jù)復數(shù)相等的定義求解;解法3根據(jù)單選題的特點，用驗證法直接找出正確選項.

熟記以下常用結(jié)論，可提高運算速度.（1）（1±i）2=±2i;（2）1±i1i=±i;（3）i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i（n∈N*）;（4）in+in+1+in+2+in+3=0（n∈R*）.

練習1（2020年全國新高考Ⅱ卷2）（1+2i）·（2+i）=（）.

A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i

練習2（2018年全國Ⅱ卷理1）1+2i1-2i=（）.

A.-45-35iB.-45+35i

C.-35-45iD.-35+45i

練習3（2021年全國乙卷文2）設(shè)iz=4+3i，則z=（）.

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i2 復數(shù)的有關(guān)概念

復數(shù)的有關(guān)概念包括復數(shù)的實部和虛部、復數(shù)的模、共軛復數(shù)、復數(shù)的相等、實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)等，這些概念一般都和復數(shù)的運算結(jié)合起來考查，準確理解概念是解題的關(guān)鍵.

例5（2020年全國Ⅲ卷理2）復數(shù)11-3i的虛部是（）.

A.-310B.-110C.110D.310

分析利用復數(shù)的除法法則求出z即可.

解析因為z=11-3i=1+3i（1-3i）（1+3i）=110+310i，

所以復數(shù)z=11-3i的虛部為310.故選D.

點評本題主要考查復數(shù)的除法運算和復數(shù)虛部的定義，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例6（2020年全國Ⅰ卷文2）若z=1+2i+i3，則|z|=（）.

A.0B.1C.2D.2

分析先根據(jù)i2=-1將z化簡，再根據(jù)復數(shù)模的公式求解.

解析因為z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i，所以z=12+12=2.故選C.

點評本題主要考查復數(shù)的運算和復數(shù)模的定義，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例7（2021年全國新高考Ⅰ卷2）已知z=2-i，則zz-+i=（）.

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

分析利用復數(shù)的乘法和共軛復數(shù)的定義可求得結(jié)果.

解析因為z=2-i，所以z-=2+i.

從而zz-+i=2-i2+2i=4+4i-2i-2i2=6+2i.故選C.

點評本題主要考查復數(shù)的運算和共軛復數(shù)的定義，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例8（2017年天津卷理9）已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若a-i2+i為實數(shù)，則a的值為.

解法1因為a∈R，a-i2+i=（a-i）（2-i）（2+i）（2-i）=（2a-1）-（a+2）i5=2a-15-a+25i為實數(shù)，所以a+25=0，解得a=-2.

解法2設(shè)a-i2+i=x（x∈R），則

a-i=（2+i）x=2x+xi.

又因為a∈R，所以a=2x且x=-1，所以a=-2.

點評本題主要考查復數(shù)的分類和運算，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.解法1是常規(guī)解法，解法2巧設(shè)a-i2+i=x（x∈R），根據(jù)復數(shù)相等的定義求解.

例9（2017年浙江卷12）已知a，b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虛數(shù)單位）則a2+b2=，ab=.

分析先利用乘法公式展開（a+bi）2，再利用復數(shù)相等的定義求出a2，b2的值.

解析（a+bi）2=a2-b2+2abi.

由（a+bi）2=3+4i，得

a2-b2=3，ab=2.

解得a2=4，b2=1.

所以a2+b2=5，ab=2.

點評本題主要考查復數(shù)的運算和復數(shù)相等的定義，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

練習4（2019年全國Ⅱ卷文2）設(shè)z=i（2+i），則z-=（）.

A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i

練習5（2018年全國Ⅰ卷理1）設(shè)z=1-i1+i+2i，則|z|=（）.

A.0B.12C.1D.2

3 復數(shù)的性質(zhì)

復數(shù)有許多特殊的性質(zhì)，如模的性質(zhì)和共軛復數(shù)的性質(zhì)等，熟記這些性質(zhì)，可以化繁為簡、化難為易，提高解題效率.

3.1 模的性質(zhì)

（1）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;

（2）|z1·z2|=|z1|·|z2|;

（3）z1z2=z1z2;

（4）|zn|=|z|n（n∈N*）.

例10（2020年全國Ⅰ卷理1）若z=1+i，則|z2-2z|=（）.

A.0B.1C.2D.2

分析注意到z2-2z=z（z-2），可用復數(shù)模的性質(zhì)（2）求解.

解析 ?由題意，得|z2-2z|=|z（z-2）|=|z|·|z-2|=|1+i|·|-1+i|=2·2=2.故選D.

點評本題主要考查復數(shù)模的定義及其性質(zhì)（2），體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例11（2019年全國Ⅰ卷文1）設(shè)z=3-i1+2i，則z=（）.

A.2B.3C.2D.1

分析利用復數(shù)模的性質(zhì)（3）求解.

解析由已知，得|z|=3-i1+2i=|3-i||1+2i|=105=2.故選C.

點評本題主要考查復數(shù)模的定義及其性質(zhì)（3），體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例12（2017年上海卷5）已知復數(shù)z滿足z+3z=0，則|z|=.

分析利用復數(shù)模的性質(zhì)（4）求解.

解析由z+3z=0，得z2=-3.

所以|z2|=|-3|，即|z|2=3.

故z=3.

點評本題主要考查復數(shù)模的定義及其性質(zhì)（4），體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

練習6（2018年上海卷9）已知復數(shù)z滿足1+iz=1-7i（i是虛數(shù)單位），則z=.

練習7（2019年天津卷理9）i是虛數(shù)單位，則5-i1+i的值為.

3.2 共軛復數(shù)的性質(zhì)

（1）z-=z;

（2）z1±z2=z-1±z-2;

（3）z1·z2=z-1·z-2;

（4）z1z2=z-1z-2;

（5）z·z-=|z|2=|z-|2;

（6）z是實數(shù)z=z-.

例13（2019年北京卷理1）已知復數(shù)z=2+i，則z·z-=（）.

A.3B.5C.3D.5

分析利用共軛復數(shù)的性質(zhì)（5）求解.

解析由已知，得z·z-=|z|2=22+12=5.

故選D.

點評本題主要考查共軛復數(shù)的性質(zhì)（5）的應用，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例14（2021年全國乙卷理1）設(shè)2z+z-+

3z-z-=4+6i，則z=（）.

A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i

分析利用共軛復數(shù)的性質(zhì)（2）再列一個關(guān)于z，z-的方程，消去z-，即可求出復數(shù)z.

解析由2z+z-+3z-z-=4+6i，得

5z-z-=4+6i.①

所以5z-z-=4+6i.

即5z--z=4-6i.②

由①×5+②，得24z=24+24i，

所以z=1+i.故選C.

點評本題主要考查復數(shù)的運算和共軛復數(shù)的性質(zhì)（1）和（2）的應用，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

練習8（2019年全國Ⅱ卷文2）設(shè)z=i（2+i），則z-=（）.

A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i

練習9（2020年全國Ⅲ卷文2）若z-1+i=1-i，則z=（）.

A.1-iB.1+iC.-iD.i

4 復數(shù)的幾何意義

復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有點組成的集合是一一對應的，復數(shù)集C與復平面內(nèi)所有以原點為起點的向量組成的集合也是一一對應的，即

復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）一一對應Z（a，b）一一對應OZ=（a，b）.

因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合法，使問題的解決更加直觀明了.

例15（2019年全國Ⅰ卷理2）設(shè)復數(shù)z滿足z-i=1，z在復平面內(nèi)對應的點為（x，y），則（）.

A.（x+1）2+y2=1B.（x-1）2+y2=1

C.x2+（y-1）2=1D.x2+（y+1）2=1

分析由復數(shù)的幾何意義寫出z的表達式，再由z-i=1求解.

解析由題意，得z=x+yi.

因為z-i=1，所以x+yi-1=1.

所以x2+（y-1）2=1.

故選C.

點評本題主要考查復數(shù)的幾何意義和模的運算，體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例16（2018年北京卷理2）在復平面內(nèi)，復數(shù)11-i的共軛復數(shù)對應的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

分析先求出復數(shù)的共軛復數(shù)，再根據(jù)幾何意義得出對應點位于第幾象限.

解析11-i=1+i（1-i）（1+i）=12+12i，

其共軛復數(shù)為12-12i，對應點位于第四象限，故選D.

點評本題主要考查復數(shù)的運算、共軛復數(shù)及復數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例17（2020年全國Ⅱ卷理15）設(shè)復數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|=2，z1+z2=3+i，則|z1-z2|=.

分析根據(jù)復數(shù)的幾何意義畫出圖形，找到復數(shù)對應的向量z1-z2，求出模即可.

圖1

解析如圖1所示，設(shè)復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)分別對應向量OZ1，OZ2，以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊作平行四邊形OZ1PZ2，則z1+z2對應向量OP，z1-z2對應向量Z2Z1.

由題知OZ1=OZ2=OP=2，

所以O(shè)Z1=Z1P=OP=2.

可得Z2Z1=2OZ1sin60°=23.

故z1-z2=Z2Z1=23.

點評本題主要考查復數(shù)的運算和復數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

練習10（2020年北京卷2）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是（1，2），則i·z=（）.

A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i

練習11（2021年全國新高考Ⅱ卷1）復數(shù)2-i1-3i在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

練習答案

1.B2.D3.C4.D5.C6.5;

7.138.D9.D10.B11.A

參考文獻：

[1]

蔡海濤.復數(shù)易錯題型盤點＼[J＼].數(shù)理化解題研究，2019（16）：46-47.

＼[2＼] 杜徽.競賽中復數(shù)問題的解題策略 ＼[J＼].中學數(shù)學教學參考，2021（28）：76-78.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：廖永福（1962-），男，福建省仙游人，本科，中學高級教師，從事中學數(shù)學教學研究.[FQ）]