2022屆高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，時(shí)量120分鐘.滿分150分.

第Ⅰ卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知z∈C，z+|z-|=2+i，則z等于（）.

A. -34+iB. 34-iC. -34-iD. 34+i

2.設(shè)全集U=R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x<1}，則圖1中陰影部分表示的集合為（）.

A. {x|x≥1}B. {x|x≤1}

C. {x|0<x≤1}D. {x|1≤x<2}

3.有下列四個(gè)命題：

①x∈R，2x2-3x+4>0;

②x∈{1，-1，0}，2x+1>0;

③x0∈N，使x20≤x0;

④x0∈N*，使x0為29的約數(shù).

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）.

A. 1B. 2C. 3D. 4

4.已知f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）-g（x）=x3-2x2，則f（2）+g（2）=（）.

A. 16B. -16C. 8D. -8

5.正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E=23A1D，AF=13AC，則EF與C1D1所成角的余弦值為（）.

A. 39B. 66C. 33D. 63

6.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說法正確的是（）.

A.每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54

B.每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為A45C14

C.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為（C35C12+C25C23）A33

D.每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是C13C24A33+C23A33

7.將函數(shù)f（x）=cosx的圖象先向右平移56π個(gè)單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω（ω>0）倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在（π2，3π2）上沒有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）.

A. （0，29]∪[23，89]B. （0，29]

C. （0，29]∪[89，1]D. 0，1

8.如圖3是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南.天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處.某數(shù)學(xué)興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測得AB=60米，BC=60米，CD=40米，∠ABC=60°，∠BCD=120°，據(jù)此可以估計(jì)天壇的最下面一層的直徑AD大約為（）（結(jié)果精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646）

A.39米B.43米C.49米D.53米

9.在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記P為事件“x+y≤23”的概率，則P=（）.

A. 23B. 12C. 49D. 29

10.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ax2-32x，若x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f（x）的極小值為（）.

A.ln2-2B.ln2-1C.ln3-2D.ln3-1

11.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)Q在線段PF2的延長線上，且QF1⊥QP，sin∠F1PQ=513，則該橢圓離心率的取值范圍是（）.

A. 2626，1B. 15，53

C. 15，22D. 2626，22

12.已知大于1的三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足（lga）2-2lgalgb+lgblgc=0，則a，b，c的大小關(guān)系不可能是（）.

A.a=b=cB. a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分）.

13.若雙曲線的漸近線方程為y=±34x，則雙曲線的離心率為.

14.已知向量a=（-1，2），b=（m，1），若向量a+b與a垂直，則m=.

15.鳳山媽祖不僅是美麗汕尾的景點(diǎn)之一，更是漁民航海的方向標(biāo).一艘漁船向正北方向航行，在A處看到媽祖在北偏東30°方向.繼續(xù)航行了30海里到達(dá)B處，看到媽祖在北偏東75°方向.問B處與媽祖的距離是海里.

16.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，點(diǎn)P在平面BCC1B1內(nèi)，作PQ⊥平面ACD1，垂足為點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在△EFB1內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡所組成的圖形的面積等于.

三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分12分）為研究家庭收入和食品支出的關(guān)系，隨機(jī)抽取了10個(gè)家庭的樣本，得到數(shù)據(jù)見下表所示.10個(gè)家庭的月收入額與食品支出額數(shù)據(jù)（單位：百元）

家庭12345678910收入x20303340151326383543支出y7981154810

910

（1）恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重.一個(gè)家庭或個(gè)人收入越少，用于購買生存性的食物的支出在家庭或個(gè)人收入中所占的比重就越大.對一個(gè)國家而言，一個(gè)國家越窮，每個(gè)國民的平均支出中用來購買食物的費(fèi)用所占比例就越大.恩格爾系數(shù)達(dá)59%以上為貧困，50～59%為溫飽，40～50%為小康，30～40%為富裕，低于30%為最富裕.根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，請估計(jì)這個(gè)國家達(dá)到最富裕（恩格爾系數(shù)<30%）的家庭比例;

（2）建立y（支出）關(guān)于x（收入）的回歸方程（系數(shù)精確到0.01，并解釋b^及a^現(xiàn)實(shí)生活意義.

參考數(shù)據(jù)：∑10i=1xi=293，∑10i=1yi=81，∑10i=1x2i=9577，

∑10i=1y2i=701，∑10i=1xiyi=2574.參考公式：回歸方程y^=b^x+a^中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b^=∑ni=1（xi-x-）（yi-y-）∑ni=1（xi-x-）2，a^=y--b^x-.

18.（本小題滿分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CA1與AB的中點(diǎn).

（1）證明：EF∥平面BCC1B1;

（2）求B1F與平面AEF所成角的正弦值.

19.（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，S2n=a2n+1-λSn+1，其中λ為常數(shù).

（1）證明：Sn+1=2Sn+λ;

（2）是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列an為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值;若不存在，請說明理由.

20.（本小題滿分12分）已知拋物線C：y2=2px（p>0），Q為C上一點(diǎn)且縱坐標(biāo)為4，QP⊥y軸于點(diǎn)P，且|QP|=12|QF|，其中點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程;

（2）已知點(diǎn)M（12，-2），A，B是拋物線C上不同的兩點(diǎn)，且滿足kAM+kBM=-85，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=ex-

ln（x+t）+t.

（1）若x=0是f（x）的極值點(diǎn)，且f（x）-k≥0在定義域內(nèi)恒成立，求k的取值范圍;

（2）當(dāng)t≤2時(shí)，證明：f（x）>t.

請考生在第22，23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時(shí)請寫清題號.

22.（本小題滿分10分）已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：x2+y2-6x-8y=0，直線l1：x-3y=0，直線l2：3x-y=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.

（1）寫出曲線C的參數(shù)方程以及直線l1，l2的極坐標(biāo)方程;

（2）若直線l1與曲線C分別交于O，A兩點(diǎn)，直線l2與曲線C分別交于O，B兩點(diǎn)，求△AOB的

面積.

23.（本小題滿分10分）已知函數(shù)fx=x-1a+x+a，a>0.

（1）若a=2，求不等式fx≤3的解集;

（2）若關(guān)于x的不等式fx>4恒成立，求a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.D2.D3.C4.B5.C6.D7.A

8.D9.D10.A11.D12.D

二、填空題

13.54或53

14.715.15216.312

三、解答題

17.（1）由題意可知，

10個(gè)家庭的恩格爾系數(shù)見下表所示：

家庭 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 恩格爾系數(shù)/%35 3024.24 27.5 33.33 30.77 30.77 26.32 25.71 23.26

所以這個(gè)國家達(dá)到最富裕的家庭有5個(gè)，估計(jì)這個(gè)國家達(dá)到最富裕的家庭比例為510=12.

（2）x-=∑10i=1xi10=29310=29.3，y-=∑10i=1yi10=8110=8.1，

所以b^=∑10i=1（xi-x-）（yi-y-）∑10i=1（xi-x-）2=∑10i=1xiyi-∑10i=1xiy--∑10i=1yix-+10x-y-∑10i=1x2i-2x-∑10i=1xi+10x-2=2574-293×8.1-81×29.3+10×29.3×8.19577-2×29.3×293+10×29.32≈0.20.

a^=y--b^x-=8.1-0.20×29.3=2.24，所以y關(guān)于x的回歸方程為y^=0.20x+2.24.b^的現(xiàn)實(shí)意義為收入每增加1百元，估計(jì)支出增加的值;

a^的現(xiàn)實(shí)意義為用于購買生存性的食物的最少支出.

18.如圖4，連接AC1，BC1.

因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱，所以E為AC1的中點(diǎn).

又因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以EF∥BC1.

又EF平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，

所以EF∥平面BCC1B1.

2以點(diǎn)A1為原點(diǎn)建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1-xyz.

則A（0，0，6），B1（0，4，0），E（2，0，3），F(xiàn)（0，2，6）.

所以B1F=（0，-2，6），AE=（2，0，-3），AF=（0，2，0）.

設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則n·AE=2x-3z=0，

n·AF=2y=0.

令x=3，得n=（3，0，2）.

記B1F與平面AEF所成角為θ，則

sinθ=|cos<B1F·n>|=|B1F·n

|B1F|·|n|=313065.

19.1因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn，S2n=a2n+1-λSn+1，

所以S2n=（Sn+1-Sn）2-λSn+1.

所以Sn+1（Sn+1-2Sn-λ）=0.

因?yàn)閍n>0，所以Sn+1>0.

所以Sn+1-2Sn-λ=0.

所以Sn+1=2Sn+λ.

2因?yàn)镾n+1=2Sn+λ，Sn=2Sn-1+λ（n≥2），

相減，得an+1=2an（n≥2）.

所以{an}從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列.

因?yàn)镾2=2S1+λ，即a2+a1=2a1+λ.

所以a2=1+λ>0，得λ>-1.

所以an=1，n=1，（λ+1）2n-2，n≥2.

若使an是等比數(shù)列，

則a1a3=a22，即2（λ+1）=（λ+1）2.

解得λ=1，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

故存在λ=1，使得數(shù)列an為等比數(shù)列.

20.1設(shè)點(diǎn)Q（x0，4），由拋物線的定義可得|QF|=x0+p2.又QP⊥y軸于點(diǎn)P，且|QP|=

12|QF|，所以|QF|=2x0，即x0+p2=2x0，所以x0=p2.

又點(diǎn)Q（x0，4）在拋物線上，所以42=p2，p>0，解得p=4，所以拋物線的方程為y2=8x.

2由1可知，M（12，-2）在拋物線上，設(shè)直線AB的方程為x=my+n，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+n，y2=8x，得y2-8my-8n=0.

故y1+y2=8m，y1y2=-8n.

所以kAM+kBM=y1+2x1-12+y2+2x2-12

=y1+2y218-12+y2+2y228-12

=8y1-2+8y2-2

=8（y1+y2）-32y1y2-2（y1+y2）+4

=64m-32-8n-16m+4=-85.

解得n=3m-2，所以直線AB的方程為x+2=m（y+3），恒過定點(diǎn)（-2，-3）.

21.（1）因?yàn)閒（x）=ex-ln（x+t）+t，所以f ′x=ex-1x+t.

因?yàn)閤=0是f（x）的極值點(diǎn)，

所以f ′0=e0-1t=1-1t=0，解得t=1，經(jīng)檢驗(yàn)t=1符合題意，此時(shí)函數(shù)f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定義域?yàn)椋?1，+∞）.因?yàn)閒 ′（x）=ex-1x+1=ex（x+1）-1x+1，

設(shè)g（x）=ex（x+1）-1，則

g′（x）=ex（x+1）+ex>0，

所以g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間（0）=0，所以當(dāng)x>0時(shí)，g（x）>0.即f ′（x）>0.

當(dāng)-1<x<0時(shí)，g（x）<0，f ′（x）<0，所以f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減.在（0，+∞）單調(diào)遞增.

因此f（x）的最小值為f（0）=2.

因?yàn)閒（x）-k≥0在定義域內(nèi)恒成立，

所以k≤fxmin=2，即k≤2.

2要證f（x）=ex-ln（x+t）+t>t，即證ex-ln>（x+t）>0.

設(shè)F（x）=ex-ln（x+t），即證F（x）>0.當(dāng)t≤2，x∈（-t，+∞）時(shí)，

ln（x+t）≤ln（x+2），

故只需證明當(dāng)t=2時(shí)，F(xiàn)（x）>0.當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)F′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上

單調(diào)遞增，且F′（-1）<0，F(xiàn)′（0）>0.

故F′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根x0，且x0∈（-1，0）.當(dāng)x∈（-2，x0）時(shí)，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)∈（x0，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，

從而當(dāng)x=x0時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值.

由F′（x0）=0，得ex0=1x0+2，lnx0+2=-x0.

故F（x）≥F（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0.

綜上，當(dāng)t≤2時(shí)，F(xiàn)（x）>0，即f（x）>t.

22.1依題意，曲線C：（x-3）2+（y-4）2=25.

所以曲線C的參數(shù)方程是x=3+5cosαy=4+5sinα（α為參數(shù)）.

因?yàn)橹本€l1：x-3y=0，直線l2：3x-y=0，

所以l1，l2的極坐標(biāo)方程為l1：θ=π6（ρ∈R），l2：θ=π3（ρ∈R）.

（2）因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入

得ρ1=4+33.

所以A（4+33，π6）.

把θ=π3代入，得ρ2=3+43.所以B（3+43，π3）.

所以S△AOB=12ρ1ρ2sin∠AOB=12（4+33）（3+43）sin（π3-π6）=12+2534.

23.（1）a=2時(shí)，不等式為|x-12|+|x+2|≤3，

當(dāng)x≤-2時(shí)，不等式化為-x+12-x-2≤3，解得x≥-94，此時(shí)-94≤x≤-2.

當(dāng)-2<x<12時(shí)，不等式化為52≤3恒成立，此時(shí)-2<x<12.

當(dāng)x≥12時(shí)，不等式化為x-12+x+2≤3，解得x≤34，此時(shí)12≤x≤34.

綜上，不等式的解集為[-94，34].

（2）因?yàn)閒（x）=|x-1a|+|x+a|≥|（x+a）-（x-1a）|=|a+1a|，

f（x）>4fxmin>4，

所以|a+1a|>4.

又因?yàn)閍>0，所以a+1a>4.解得0<a<2-3或a>2+3.即a的取值范圍是

（0，2-3）∪（2，+3，+∞）.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：李昌成（1977-），男，四川省資陽人，本科，中學(xué)正高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]