《數(shù)理邏輯引論》

康宏逵

盡管今天的數(shù)理邏輯博大精深，它的第一課仍是古典的狹謂詞演算。這部引論在教學(xué)上所要達(dá)到的目標(biāo)也不是別的，就是想貢獻(xiàn)作者執(zhí)教四十年的經(jīng)驗(yàn)，來幫助讀者切切實(shí)實(shí)上好這第一課。

全書分為三篇。第二篇講古典狹謂詞演算，第一篇講它的子系統(tǒng)命題演算。兩篇布局相仿。每篇以一章作引子，通過典型命題和推理的邏輯分析，自然地得出將在演算的語義學(xué)里占中心位置的“重言式”和“普遍有效式”概念。只是當(dāng)人們對直觀的語義背景有了足夠的領(lǐng)悟，才著手建立作為一形式系統(tǒng)的演算。目前有好些教材只給演算作個大而化之的交代就算了事，這里相反，不憚其煩地解釋了每一公理和變形規(guī)則，證明了幾乎一切常見的定理，引進(jìn)了種種簡化演算的語法規(guī)則，如求否定規(guī)則、對偶規(guī)則、置換定理、演繹定理。只是當(dāng)人們對演算的細(xì)部有了足夠的知識，才轉(zhuǎn)向現(xiàn)代邏輯研究中更為重要的一步——從總體上討論演算的元邏輯性質(zhì)，主要是一致性、完全性、可判定性。由于元邏輯常用范式作工具，有關(guān)范式預(yù)先詳加紹介。

有等詞的狹謂詞演算見于第二篇末章。同一章還論及摹狀詞，論及各種摹狀詞理論的優(yōu)劣。這為讀者提供了一個機(jī)會去熟悉一種有趣的有示范作用的算子。

從前兩篇還可以找到古典邏輯的不同系統(tǒng)和非古典邏輯的兩個例子(多值邏輯、模態(tài)邏輯)的描述，然而是畫龍點(diǎn)睛式的。引論的力量不在多而在精。本書對狹謂詞演算的論述始終指向一個系統(tǒng)，務(wù)求完整深入。這就是希爾伯特－阿克曼系統(tǒng)。該系統(tǒng)不采用公理模式，變形規(guī)則較多較復(fù)雜，但也因此不使模糊或轉(zhuǎn)移難點(diǎn)而使初學(xué)者產(chǎn)生“顯而易見”的錯覺。想徹底掌握狹謂詞演算的精致技巧，由此入手倒是大有益的。

作者嚴(yán)格表述了他選定的系統(tǒng)，有的地方遠(yuǎn)比通常的更嚴(yán)格，定義置換規(guī)則的添入、謂詞變項(xiàng)代入規(guī)則的精確化便是如此。另一方面，他決不過分追求數(shù)學(xué)上的優(yōu)雅。書中公式有實(shí)例，技巧有動機(jī)，證明有指導(dǎo)思想，讀了知其所以然。一些歷來費(fèi)解的問題，如命題演算的算術(shù)解釋何以能證明一公理的獨(dú)立性、狹謂詞演算代入規(guī)則何以有許多限制、哥德爾完全性定理的證明中全能賦值系何以存在，作者的分析是很精彩、很有啟發(fā)性的，而在我們所知道的其他教材里，這類有用的注解多半付諸闕如或者語焉不詳。

本書有論有史。第三篇是十七世紀(jì)中葉至二十世紀(jì)三十年代的數(shù)理邏輯簡史，從古典邏輯演算的萌芽講到集合論、證明論、遞歸論等分支的早期工作，把讀者的視線引向一個新天地。

按作者的分期，數(shù)理邏輯先后經(jīng)歷“初始”、“奠基”和“發(fā)展”三個階段。第三篇分章敘述前兩個階段，第二階段尤詳，包括：集合論的創(chuàng)建、公理方法的發(fā)展、邏輯演算的建立、證明論的提出及其后果。關(guān)于表意語言的出現(xiàn)、數(shù)學(xué)方法在形式邏輯中的應(yīng)用、圍繞實(shí)無窮而進(jìn)行的爭論、集合論悖論的發(fā)現(xiàn)和消除、分析的一致性問題的提出、希爾伯特方案的受挫、哥德爾的劃時代貢獻(xiàn)等等，均有引人入勝的概述。全篇涉及邏輯學(xué)家數(shù)十人。另有一頗詳?shù)臍v史文獻(xiàn)目錄，附于書末。

在我國，數(shù)理邏輯史研究才邁第一步。作者將多年查考史料史書所得的初步結(jié)果匯為簡史，是非?？上驳氖?。他寫的不是年表，不是發(fā)明權(quán)登記冊，也不是已知事實(shí)與陳說的匯編。我們看到，一些新鮮的史實(shí)被記載下來了。一些有大影響的觀念、方法、學(xué)說的演化線索相當(dāng)清楚地整理出來了，不盡與流行的說法相符。一些大學(xué)者、大學(xué)派的學(xué)術(shù)思想也盡可能明確地作了評價，但并非重述一些不加分析的議論。例如，談到布勞威爾學(xué)派，作者認(rèn)為，直覺主義與構(gòu)造主義必須分開，與構(gòu)造邏輯和構(gòu)造數(shù)學(xué)更不可混為一談。又如，作者指出希爾伯特的數(shù)學(xué)思想可疑與錯誤之處雖多，卻不是什么“形式主義”。凡此種種都表現(xiàn)作者的尊重事實(shí)和公正。作者自己顯然是一個唯物主義者和實(shí)無窮論者——請看書中給與康托爾、哥德爾的唯物傾向和超窮思想的高度評價?？墒牵钚疟Ｐl(wèi)科學(xué)和保衛(wèi)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)是歷史研究中兩個互輔的方面。

要發(fā)展健全的數(shù)理哲學(xué)，先得正視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中一系列尖銳而深刻的哲學(xué)問題。本書從歷史角度把問題擺出來了，這就是一個功績。

(《數(shù)理邏輯引論》，王憲鈞著，北京大學(xué)出版社一九八二年六月第一版，1.75元)