第一屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題解答及分析

而對(duì)于每一類(lèi)有9×8個(gè)四位數(shù)，所以滿(mǎn)足條件的這樣的四位數(shù)共有6×9×8=432(個(gè))。

【解法二】①四位數(shù)中含有兩個(gè)1的情況:

在四位數(shù)中含有兩個(gè)1，其中一個(gè)1在千位數(shù)上的共有三類(lèi)。而對(duì)于每一類(lèi)的四位數(shù)中，剩下的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的取法共有2×92種，因此，符合情況①的四位數(shù)有3×2×92個(gè)。

②四位數(shù)中含有兩個(gè)相同數(shù)字(除兩個(gè)1以外)的情況:

由于四位數(shù)中，千位數(shù)字是1，且有兩個(gè)數(shù)字相同的共有三類(lèi)。而對(duì)于每一類(lèi)的這樣四位數(shù)，剩下的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的取法有91×C81種，因此，符合情況②的四位數(shù)有3×91×C81個(gè)。

綜上所述，滿(mǎn)足條件的四位數(shù)共有3×2×92=3×91×C81=432(個(gè))。

十一、一個(gè)以邊長(zhǎng)S的正方形為底的物體，其最上方的一條邊平行于底面，且長(zhǎng)度為2S，其他邊的長(zhǎng)

這是一個(gè)體積計(jì)算題，如果學(xué)生能根據(jù)圖形具有的對(duì)稱(chēng)性，把原來(lái)的圖形分成幾部分，然后運(yùn)用三棱錐的體積公式即可求解。

【解法一】如圖8所示，因?yàn)樵瓉?lái)以邊長(zhǎng)為S的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為AC，BC，AD和BD的中點(diǎn)，所以四面體ABCD是正四面體。且原正方形將正四面體ABCD分成體積相等的兩部分。

因?yàn)檎拿骟w的棱為2S，所以

【解法二】如圖4所示。ABCD是邊長(zhǎng)為S的正方形，EF平行底面ABCD，且EA=ED=FB=FC=S。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，EF在底面的正射影E′F′∥AB，EF的中點(diǎn)O在底面的正射影為正方形ABCD的中心O′。

十二、一圓的直徑AB是一個(gè)二位整數(shù)(十進(jìn)制)，把它的十進(jìn)制表示的兩個(gè)數(shù)字交換次序恰巧是垂直弦

CD的長(zhǎng)度，交點(diǎn)H到圓心O的距離為一正有理數(shù)(見(jiàn)圖5)，試決定AB的長(zhǎng)度。

這是一個(gè)代數(shù)題，如果掌握了數(shù)和數(shù)碼之間的關(guān)系，本題容易得出如下的解法。

【解】設(shè)AB=10a+b，則CD=10b+a，又設(shè)OH

∴a=6，b=5，從而得出AB的長(zhǎng)度為65。

十三、對(duì){1，2，……，n}及其每一非空子集，定義一個(gè)唯一確定的“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大的數(shù)開(kāi)始交替地減或加后繼的數(shù)。(例如{1，2，4，6，9}的“交替和”是9-6+4-2+1=6，{5}的“交替和”就是5)對(duì)n=7，求所有這種“交替和”的總和。

本題難度較大，較抽象，如果學(xué)生沒(méi)有一定的抽象思維和推理能力，就會(huì)感到束手無(wú)策。在76名考生中僅有12人比較順利地完成該題的解答。

【解】把{1，2，3，……，n}的所有子集(包括本身及空集)分成甲、乙兩類(lèi)，凡子集中含有元素n的歸甲類(lèi)，而不含n的歸乙類(lèi)。這樣，若甲類(lèi)中有集合{n，a1，a2，…，ak}，則乙類(lèi)中就有集合{a1，a2，…，ak}，反之亦然，即{n，a1，a2，…，ak}←→{a1，a2，…，ak}，而該兩集合的“交替和”之和為n，因此所有“交替和”的總和，就是甲類(lèi)中集合的個(gè)數(shù)乘以n，即

n·(C0n-1+C1n-1+…Cn-1n-1)=n·2n-1

當(dāng)n=7時(shí)，得448。

十四、在圖6中有半徑分別為6和8的圓，其圓心距為12。過(guò)兩圓的一個(gè)交點(diǎn)P引一直線，使弦QP和PB長(zhǎng)度相等，求QP的長(zhǎng)度的平方。

本題是一個(gè)平面幾何和三角的綜合題。解法如下:

【解法二】如圖7所示，QP=PR=2a，O1M=b，ON=c，O1K=b-e。

在直角三角形O1OK中，OK2+O1K2=O1O2，

即(2a)2+(b-C)2=122。

十五、如圖8所示，一個(gè)圓內(nèi)有兩條相交的弦，其中B點(diǎn)落在小弧AD上(注:小弧指所對(duì)的圓心角

小于180°的那段弧，下同)設(shè)圓的半經(jīng)為5，BC=6，且弦AD被BC等分。又設(shè)AD是從A點(diǎn)引出的被BC等分的唯一弦。這樣，小弧AB所對(duì)的圓心角的正弦必是一個(gè)有理數(shù)，若此數(shù)表示成既約分?jǐn)?shù)m/n，積mn是多少?

本題是這套題目中得分率最低的題目之一。僅有15名考生答對(duì)。如果學(xué)生能理解“AD是從點(diǎn)A引出的被BC等分的唯一弦”一語(yǔ)的意思為:BC是這樣的一條弦，從定點(diǎn)A引出的許多弦中有且只有一條弦AD被它所平分。那么，該題也就迎刃而解了。因?yàn)橄褹D的中點(diǎn)的軌跡是以AO為直徑的圓P，要BC平分AD，就要BC與圓P相交，而且只能有一個(gè)交點(diǎn)，即相切，否則有二條AD被同一BC所平分。BC弦長(zhǎng)為6，它是以O(shè)為圓心，4為半徑的圓的切線，因此是兩圓的公切線。具體解法如下:

【解法一】如圖9所示，MC=3，

所以積mn是175。

【解法二】如圖10所示，NM=O′F=

所以積mn是175。

(摘自《科學(xué)畫(huà)報(bào)》1983年第7期)

(續(xù)完)