數(shù)學方法在保險學中的應用

嚴 珉

【摘要】：隨著科學技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學作為一門基礎學科，已經(jīng)廣泛地，應用于各個科學領域，并在社會經(jīng)濟生活中起著越來越重要的作用。就保險而言，數(shù)學的應用使現(xiàn)代保險的科學性得以充分發(fā)揮，為人們的保險活動提供了科學的理論依據(jù)。因此，數(shù)學在保險教育中顯得尤為重要。數(shù)學是保險學的數(shù)理基礎，是保險業(yè)科學經(jīng)營的依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】：保險學連接函數(shù)風險模型泊松分布動態(tài)微觀模擬模型

保險不僅是一種經(jīng)濟行為和法律行為，同時也是一種科學行為。而現(xiàn)代數(shù)學則是保險科學行為的數(shù)理基礎。

一數(shù)學對保險的意義

概率論和大數(shù)法則既是保險學得以確立的數(shù)理基礎，又是制定各種保險費率的科學依據(jù)。概率論和大數(shù)法則的發(fā)現(xiàn)及應用不但使人們在保險活動中比較準確地預測未來損失，而且還為保險活動中的損失分攤提供了合理準確的方法。概率論和大數(shù)法則揭示的承保風險單位的數(shù)量越多風險越分散這一規(guī)律，為保險的科學經(jīng)營提供了依據(jù)。大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果與每一個別隨機現(xiàn)象的特征無關(guān)，就使保險人擺脫了對個別標的隨機風險無力把握的窘境，而把注意力轉(zhuǎn)向千千萬萬個保險標的總和的風險責任的把握，使保險人不必耗費大量精力去一一估價每一保險標的隨機風險。而把保險標的總體的平均風險責任視同個別保險標的的預期風險責任。

保險企業(yè)經(jīng)營保險業(yè)務是通過不斷的推出新險種得以實現(xiàn)的。而新險種的保險費率的制定是否科學、合理決定著這一險種是否能夠推出和發(fā)展，以及保險公司最終能否繼續(xù)經(jīng)營和生存下去。因此，從某種意義上講，沒有數(shù)學作依據(jù)，就沒有科學意義上的保險，更不會有保險科學。

二連接函數(shù)在保險產(chǎn)品中的應用

人壽保險中有一類保險，是一張保單以多個生命體為承保對象，且生命體之間具有較為親近的關(guān)系，它叫做連生保險。傳統(tǒng)的連生保險生存概率處理方l法較為粗略，忽略了生命體之間的相互關(guān)聯(lián)性，已無法滿足更精更準的要求。隨后連接函數(shù)被引入到連生保險中，用連接函數(shù)特有的性質(zhì)來處理這種相關(guān)性。

連接的數(shù)是把多元隨機變量的聯(lián)合分布與它們各自的一維邊際分布聯(lián)系起來的函數(shù)。事實上，連接函數(shù)就是一個多變量分布函數(shù)，對每一個具有連續(xù)的邊際分布的多元分布，存在著唯一的一個連接函數(shù)表達式可以度量它們的相依結(jié)構(gòu)。

在連生保險中，所涉及的各個生命體之間往往是具有某些經(jīng)濟、婚姻、血緣的聯(lián)系，從而導致了各個生命體的剩余壽命隨機變量之間存在著某種相依關(guān)系，這種相依關(guān)系必然會對定價產(chǎn)生一定的影響。保險產(chǎn)品的精算定價要求以公平性為原則，并且在競爭日趨激烈，消費者日趨理性的保險市場中，產(chǎn)品的價格過高會削弱市場競爭力，產(chǎn)品的價格過低又會使公司面臨風險，這些都對精算定價提出了更高的要求，要求精算定價能夠盡量真實地反映保險產(chǎn)品所面臨的風險，做到更精、更準。

使用連接函數(shù)建立模型能精確地反映保險產(chǎn)品所面臨的風險。在連生保險中，用來擬合被保險人聯(lián)合生存概率結(jié)構(gòu)的一般模型通常是一個合適的連接函數(shù)與描述單個生命體壽命的邊際分布函數(shù)的模型組合。

三風險模型在保險精算學中的應用

保險精算學是以數(shù)學知識和數(shù)理統(tǒng)計為工具。對保險業(yè)經(jīng)營管理的各個環(huán)節(jié)進行數(shù)量分析，為保險業(yè)提高管理水平、制定策略和作出經(jīng)營管理決策提供科學依據(jù)和運作途徑的一門學科。它已成為保險業(yè)在激烈的市場競爭中賴以生存和發(fā)展的重要因素之一。精算技術(shù)對保險公司的經(jīng)營和發(fā)展起著非常重要的作用，可以說沒有精算也就沒有真正意義上的保險。

風險模型是風險理論的一個重要組成部分，也是精算工作領域的一個重要組成部分。風險理論往往要借助于風險模型以利用概率論知識給出保費的計算方法。

我們知道，保險公司的盈余資本主要取決于保費的多少和賠付次數(shù)的多少。保費是需要由保險公司確定的，賠付次數(shù)的多少取決于投保事故發(fā)生的概率。保險公司在做盈余資本的規(guī)劃時必須預先知道投保事故發(fā)生的概率才能確定保費。可以說，投保事故發(fā)生的概率是確定保費的關(guān)鍵，是保險公司最關(guān)心的問題。因此確定投保事故發(fā)生的概率對保險公司正常經(jīng)營有著意義重大。

如風險模型中的蔣氏生存模型，它給出了接觸有害物質(zhì)人群患病概率的算法，將該模型應用于針對該人群的保險中有著一定的理論意義與實際意義。在進行保險精算務實及保險風險管理決策過程中可發(fā)揮一定作用。

蔣氏生存模型認為個體的死取決于內(nèi)部和外部這兩個完全不同的因素。內(nèi)部因素是指個體的年齡及健康狀況等內(nèi)在原因，外部因素是指周圍生存環(huán)境對個體的影響。假設個體持續(xù)暴露在一個有輕度污染的環(huán)境中，同時排出一部分已吸收在體內(nèi)的有害物質(zhì)，那么殘留在個體體內(nèi)的有害物質(zhì)就是導致個體死亡的外部因素。這個模型是用于研究接觸有害物質(zhì)人群的，可為該人群提供了一個生存分析參數(shù)統(tǒng)計模型，從而分析許多實際中有關(guān)生存的問題。

蔣氏生存模型給出了一個接觸有害物質(zhì)人群的生存概率表達式，同時也給出了該人群的患病概率的表達式。因此該模型可應用于解決針對這類人群的工傷保險中的精算問題。也就是說，蔣氏生存模型由于給出了該人群的患病概率的表達式，因而可用于解決工傷保險中保費的確定問題。

四泊松分布在保險學中的應用

無論是在自然科學領域還是社會管理活動中，我們都會遇到各種計數(shù)數(shù)據(jù)。通常情況下，泊松分布以及泊松過程對于描述這些社會管理活動、生產(chǎn)活動等產(chǎn)生的計數(shù)數(shù)據(jù)具有非常好的擬合效果。但在實際環(huán)境中，由于各種影響之間可能相互抵消，或者有些影響可以忽略不計，就常常會出現(xiàn)產(chǎn)生次品的概率非常小的情況，也就是次品數(shù)為零的情況大大增加。此時對于含零特別多的計數(shù)數(shù)據(jù)，人們構(gòu)造了一種新的分布，就是零堆積泊松分布。該分布是將一個在零處具有概率質(zhì)量的退化分布和一個普通概率分布相混合得到的。

在非壽險數(shù)學中，聚合風險模型常常被用來近似個體風險模型。在聚合風險模型中，風險組合被看作是一個隨著時間變化而逐漸產(chǎn)生新理賠的保險風險過程。這些理賠被假設為獨立于分布的隨機變量序列，并且獨立于時間段內(nèi)的理賠次數(shù)。于是，總理賠額便可以表示為一個由獨立同分布的理賠額變量相加構(gòu)成的隨機和。通常情況下，人們假設理賠次數(shù)是一個具有特定均值的泊松變量，將理賠次數(shù)的分布定義為零堆積泊松分布。

在保險中，尤其是針對機動車輛保險，保險公司一般會實行無賠款折扣制度，這就使得人們在去保險公司索賠前衡量利益損失，因此會使索賠次數(shù)為零的情況大大增加。但一旦發(fā)生索賠，因為已經(jīng)不會享受無賠款優(yōu)待，所以又會使索賠次數(shù)較多的情況增加。這樣的保險數(shù)據(jù)，用零堆積泊松分布去擬合，就會得到非常好的擬合結(jié)果。

五動態(tài)微觀模擬模型在養(yǎng)老保險中的運用

養(yǎng)老保險制度是社會保障制度中最重要的組成部分之一。養(yǎng)老保險制度能夠通過某種形式的社會統(tǒng)籌和安排，強制或非強制性地實現(xiàn)個

人收入在時間路徑上的社會最優(yōu)分配或個人最優(yōu)分配(包括財富的代際和代內(nèi)轉(zhuǎn)移)，從而有效消除年老時由于獲取收入能力下降所造成的風險。

然而，公共政策的設計和評價需要宏觀經(jīng)濟模型的支持，但傳統(tǒng)的宏觀經(jīng)濟模型由于采用典型個體分析模式或總量分析模式，無法分析公共政策對異質(zhì)性微觀個體的收入分配效應和由于微觀個體狀態(tài)改變導致的財政效應。隨著計算機仿真技術(shù)的發(fā)展，以及政府統(tǒng)計部門微觀數(shù)據(jù)調(diào)查的范圍越來越廣，微觀模擬模型得到日益廣泛的應用，已經(jīng)成為政府部門制定和分析公共政策的有力工具。特別是在養(yǎng)老保險制度研究領域，微觀模擬方法已經(jīng)被認為是最適合分析制度改革對同期和跨期個人收入分配造成影響的方法之一。

微觀模擬模型可以提供一個在社會經(jīng)濟系統(tǒng)中真實的、具體的模擬社會經(jīng)濟狀況和實施政策的環(huán)境。模型通過對個體微觀單位有關(guān)特征量的實際模擬，在微觀個體上具體實施有關(guān)政策，再對政策產(chǎn)生的影響進行總體的統(tǒng)計和估計，從而得到政策實施的宏觀效果。微觀模擬模型也可以分析政策實施對總體中不同群體的影響，從而比較一種政策的實施對哪一類群體有利，對哪些群體影響大等問題，特別適用于政策分配效果的評估。

動態(tài)模型比較復雜，適用于較長期的模擬和分析，常被用于分析著重考慮長期效果的社會經(jīng)濟政策項目，如養(yǎng)老保險制度和失業(yè)保險制度等。動態(tài)模型使用橫截面調(diào)查數(shù)據(jù)，模擬過程中產(chǎn)生大量家庭、收入、工作等這樣描述每個主體一生中每一年情況的信息。動態(tài)模擬模型能夠通過應用模擬技術(shù)預計微觀單位未來的特征，所以能夠分析社會人口統(tǒng)計學結(jié)構(gòu)的變化，從一個動態(tài)發(fā)展的觀點出發(fā)分析公共政策的作用效果。

有學者曾應用荷蘭微觀模擬模型分析了養(yǎng)老金平滑利率模式，發(fā)現(xiàn)平滑利率模式的社會保障制度對終生收入再分配的影響和與收入相關(guān)的社會保障制度沒有很大區(qū)別，社會輔助制度對部分群體的收入再分配作用較強，兩種制度對收入都有調(diào)節(jié)作用，而養(yǎng)老金制度加深了收入不平等程度。

六總結(jié)

保險業(yè)是經(jīng)營風險的特殊行業(yè)，保險公司經(jīng)過評估保險標的風險大小，以收取合理的保費為條件，按保險合同規(guī)定的保險責任賠付被保險人損失。隨著社會的發(fā)展，人們的保險意識也在不斷增強，保險公司在經(jīng)濟和社會發(fā)展中已經(jīng)成為了不可缺少的社會主體，與人民生生活息息相關(guān)。如何將統(tǒng)計模型應用到保險中來解決實際問題，已經(jīng)成為統(tǒng)計學中一個重要的課題。

綜上所述，數(shù)學在保險學中處于基礎性的地位，保險的運作是否良好需要數(shù)學方法的運用。