教給學(xué)生數(shù)學(xué)的思想和觀念

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想;初高中銜接;教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）18-0054-03

【作者簡(jiǎn)介】陳柏良，浙江省紹興市高級(jí)中學(xué)（浙江紹興，312000）教師，浙江省特級(jí)教師。

2014年10月，筆者應(yīng)邀參加了江蘇省第26屆“教海探航”征文頒獎(jiǎng)大會(huì)暨蘇派與全國(guó)名師課堂教學(xué)觀摩研討活動(dòng)，在此期間開設(shè)了一節(jié)“函數(shù)的最值問題——以二次函數(shù)為例”的示范課。該課既是初中二次函數(shù)知識(shí)的拓展課，也是初高中知識(shí)的銜接課。由于授課對(duì)象是初三學(xué)生，因此在課堂上避免使用“單調(diào)性”和“閉區(qū)間”等術(shù)語(yǔ)。本文將授課內(nèi)容進(jìn)行歸納與總結(jié)，以供參考。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.內(nèi)在邏輯線索。

2.教學(xué)過程設(shè)計(jì)。

簡(jiǎn)短的導(dǎo)語(yǔ)后，讓學(xué)生說一說下列函數(shù)的最值情況。

【設(shè)計(jì)意圖】給出學(xué)生熟知的三個(gè)函數(shù)解析式和圖象，讓學(xué)生觀察、分析、表達(dá)各自的最值情況。師生共同提煉如何從“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面對(duì)函數(shù)的最值情況進(jìn)行分析與判斷。例如，對(duì)函數(shù)（3），既要能從解析式的特征上進(jìn)行分析，得出y=（x-3）2-4≥-4，即當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最小值-4;又要能從圖象特征上進(jìn)行分析，得出：當(dāng)x≤3時(shí)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減小;當(dāng)x>3時(shí)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大。故當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最小值-4。

教師指出，“形”是“數(shù)”的幾何反映，“數(shù)”是“形”的代數(shù)刻畫，它們是同一事物的兩種不同表現(xiàn)形式。在分析問題中常采用“數(shù)形結(jié)合”的方法，本節(jié)課將以二次函數(shù)y=x2-6x+5為例，進(jìn)一步探討函數(shù)的最值問題。課上重點(diǎn)關(guān)注求最小值，最大值的求解留給學(xué)生課后探究。

問題1：當(dāng)1≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y=x2-6x+5的最小值。

該問題解答后，將自變量的取值范圍分別變更為“1≤x≤4”和“4≤x≤6”，讓學(xué)生繼續(xù)思考與分析。

【設(shè)計(jì)意圖】給定二次函數(shù)的解析式和自變量的取值范圍，讓學(xué)生求最值，其間通過變更自變量的取值范圍引導(dǎo)學(xué)生分辨函數(shù)值是如何隨著自變量的變化而變化的，列出幾種不同情況，從中領(lǐng)悟出求二次函數(shù)最值的基本思想和具體方法。本問重在對(duì)知識(shí)的操作性理解，即讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的基本概念、原理和方法，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決一些識(shí)記性與操作性步驟比較強(qiáng)的簡(jiǎn)單的問題。這里可先畫圖，然后截取自變量取值范圍內(nèi)的一段圖象，觀察分析。然后引導(dǎo)學(xué)生反思與感悟。

二次函數(shù)的解析式確定，如何求它在某一給定自變量取值范圍內(nèi)的最值？

在學(xué)生表達(dá)、交流的基礎(chǔ)上，師生共同概括出以下兩點(diǎn)：（1）求解的本源在于“探明”在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律;（2）關(guān)鍵在于弄清楚自變量的取值范圍與對(duì)稱軸的相對(duì)位置。

問題2：已知a為實(shí)數(shù)，當(dāng)a≤x≤a+4時(shí)，求函數(shù)y=x2-6x+5的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】給定二次函數(shù)的解析式，但自變量的取值范圍從“確定”變更為“不確定”，讓學(xué)生從“問題1”概括出的思想和方法中受到啟發(fā)，進(jìn)行畫圖（數(shù)形結(jié)合），分類討論求解。本問重在對(duì)知識(shí)的關(guān)系性理解，即學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)有比較深刻的認(rèn)識(shí)，能夠把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，能夠運(yùn)用（上一題）所學(xué)知識(shí)解決一些較綜合性問題。

接著，引導(dǎo)學(xué)生歸納：二次函數(shù)的解析式確定，如何求它在某一自變量取值范圍內(nèi)的最值？

教師仍引導(dǎo)學(xué)生從求解的“思想”和“方法”兩個(gè)視角加以概括，概括出以下兩點(diǎn)：（1）求解的本源在于“探明”在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律;（2）關(guān)鍵在于弄清楚自變量的取值范圍與對(duì)稱軸的相對(duì)位置。

為檢測(cè)學(xué)生是否領(lǐng)悟了以上的思想和方法，教師可提出如下問題供學(xué)生思考。

思考：已知a為實(shí)數(shù)，當(dāng)a≤x≤a+4時(shí)，如何求下列函數(shù)的最小值？（僅要求談思路）

【設(shè)計(jì)意圖】置換函數(shù)背景，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用知識(shí)的新情境，讓學(xué)生面對(duì)陌生的函數(shù)圖象，繼續(xù)思考如何求函數(shù)在某一自變量取值范圍內(nèi)的最小值。本問重在對(duì)知識(shí)的遷移性理解，即學(xué)生是否深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，能否將數(shù)學(xué)思想、方法以及所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到別的情境。然后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步歸納：函數(shù)的解析式確定，如何求它在某一自變量取值范圍內(nèi)的最值？

教師仍引導(dǎo)學(xué)生從求解的“思想”和“方法”兩個(gè)視角加以概括，概括出以下兩點(diǎn)：（1）求解的本源在于“探明”在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律;（2）關(guān)鍵在于弄清楚自變量的取值范圍與“關(guān)鍵點(diǎn)”的相對(duì)位置。

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，在“問題1”與“問題2”中，對(duì)稱軸不是主要的，主要的是二次函數(shù)的一個(gè)“頂點(diǎn)”，關(guān)鍵在于弄清楚自變量的取值范圍與“頂點(diǎn)”的相對(duì)位置。“頂點(diǎn)”在自變量的取值范圍內(nèi)，還是在自變量的取值范圍外？而對(duì)于一般函數(shù)，則關(guān)鍵是尋找使函數(shù)值變化規(guī)律發(fā)生變化的“關(guān)鍵點(diǎn)”，自然引出分類。

問題3：當(dāng)1≤x≤4時(shí)，求函數(shù)y=x2-6x+m的最小值。

學(xué)生回答后，將函數(shù)解析式變更為y=x2-mx+5和y=mx2-6x+5（m≠0）。

【設(shè)計(jì)意圖】將二次函數(shù)的解析式由“確定”變更為“不確定”，讓學(xué)生繼續(xù)研究如何求函數(shù)在某一確定自變量取值范圍內(nèi)的最小值，以檢測(cè)學(xué)生是否“內(nèi)化”了領(lǐng)悟的思想和方法。解析式中的參數(shù)從常數(shù)項(xiàng)置換到一次項(xiàng)處，再到二次項(xiàng)處，不同的位置影響著函數(shù)的“頂點(diǎn)”的變化與否？思維含量逐漸增加，尤其是實(shí)數(shù)m作為二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，分類討論更為復(fù)雜，出現(xiàn)了二級(jí)分類（兩次討論），使問題的探究更為深入，更有意義。

求解后，再引導(dǎo)學(xué)生歸納：二次函數(shù)的解析式不確定，如何求它在某一確定的自變量取值范圍內(nèi)的最值？

教師仍引導(dǎo)學(xué)生從求解的“思想”和“方法”兩個(gè)視角加以概括，概括出以下兩點(diǎn)：（1）求解的本源在于“探明”在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律;（2）關(guān)鍵在于弄清楚開口方向及自變量的取值范圍與“頂點(diǎn)”的相對(duì)位置。

在完成以上3個(gè)問題的求解和概括后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課研究的思路、所學(xué)的知識(shí)和領(lǐng)悟的思想、方法。特別地，通過對(duì)二次函數(shù)最值問題的研究，讓學(xué)生領(lǐng)悟求一般函數(shù)最值問題的思想和方法，即求解的本源在于“探明”在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律;關(guān)鍵在于弄清楚自變量的取值范圍與“關(guān)鍵點(diǎn)”的相對(duì)位置，即尋找“單調(diào)性改變的點(diǎn)”在哪里？在閉區(qū)間內(nèi)，還是在閉區(qū)間外，自然引出分類。同時(shí)深刻地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”和“分類討論”思想。

二、關(guān)于設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)思考

1.在教學(xué)立意上，旨在讓學(xué)生領(lǐng)悟“大”的東西。

中國(guó)畫論有“意在筆先”一說，意指完成一幅作品，事先有立意：想表達(dá)什么意象？借什么具象來表達(dá)？怎樣構(gòu)圖？怎樣使用畫語(yǔ)等等。有了這些主觀的構(gòu)思，將之爛熟于胸，再提筆追寫，方能得其形神。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也是如此，上課前，我們得深入思考：本節(jié)課該設(shè)定怎樣的教學(xué)目標(biāo)？培養(yǎng)學(xué)生哪些數(shù)學(xué)思維能力？在發(fā)展學(xué)生的智力、培育學(xué)生的理性精神上能做點(diǎn)什么？如何讓更多的學(xué)生在課堂上經(jīng)歷和體驗(yàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的樂趣？如何讓更多的學(xué)生通過課堂上的學(xué)與教獲得發(fā)展？有了這些認(rèn)識(shí)和思考后，再合理設(shè)計(jì)教學(xué)程序和方法，方能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)質(zhì)與高效，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的“育人”目標(biāo)。

本節(jié)課，筆者的立意是以二次函數(shù)為載體，研究函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的最值問題。教學(xué)不拘泥于二次函數(shù)的“羈絆”，而是通過對(duì)學(xué)生熟悉的二次函數(shù)最值問題的剖析，讓學(xué)生領(lǐng)悟到求一般函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的最值問題，這是更為一般意義上的“大”的東西。數(shù)學(xué)教學(xué)要有模型思想，要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力，讓學(xué)生能一般性地思考問題，只有當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到一個(gè)原理可運(yùn)用于各種不同的學(xué)習(xí)情境，并能運(yùn)用它們使能力有效提高時(shí)，這些原理和知識(shí)才能算真正掌握并有實(shí)用價(jià)值，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)才真正體現(xiàn)出它的高效率和高質(zhì)量。

2.在教學(xué)內(nèi)容上，善于將“米”釀成“酒”。

有這樣一個(gè)故事：一個(gè)徒弟去問他師傅，一碗米值多少錢？師傅說，一碗米，這太難說了，看在誰(shuí)的手里。要是在一個(gè)家庭主婦手里，就是一碗飯的價(jià)值。要是在有點(diǎn)腦子的小商人手里，用粽葉包成粽子，就是四五塊錢的價(jià)值。要是到一個(gè)更有頭腦的大商人手里，釀成一瓶酒，有可能是一二十塊錢的價(jià)值。所以，一碗米到底值多少錢，因人而異。但可以說明的是：加工的時(shí)間越短，費(fèi)的心思越少，越接近原來的形態(tài)，它的價(jià)值就越低。對(duì)教材內(nèi)容的加工處理亦如此。面對(duì)同樣的教材內(nèi)容，我們要有將其“釀”成酒的意識(shí)。這實(shí)際上也是解決好一個(gè)“教什么”的問題，“教什么”始終比“怎么教”重要。從“教什么”的角度看本節(jié)課，教師先通過一個(gè)顯而易見的例子（問題1），給定二次函數(shù)的解析式和自變量的取值范圍，引導(dǎo)學(xué)生分析求解的原理和方法;然后用提煉出的原理和方法去解決后續(xù)問題2;接著拓展到對(duì)一般函數(shù)的最值的探究和對(duì)含參二次函數(shù)最值的探究。教學(xué)時(shí)從特殊到一般，從具體到抽象，逐步深入，揭示問題求解的本源和方法。

3.在教學(xué)目標(biāo)上，著意教給學(xué)生數(shù)學(xué)的思想和觀念。

作為數(shù)學(xué)教師，要經(jīng)常思考這樣幾個(gè)問題：我們?cè)撘栽鯓拥姆绞浇毯脭?shù)學(xué)？學(xué)生該以怎樣的方式學(xué)好數(shù)學(xué)？我教的課是數(shù)學(xué)課嗎？要教好數(shù)學(xué)就要充分關(guān)注數(shù)學(xué)的思想和觀念，在教學(xué)目標(biāo)上就要突出教給學(xué)生數(shù)學(xué)的思想和觀念。教師通過知識(shí)這一載體，傳達(dá)給學(xué)生學(xué)科的觀點(diǎn)，學(xué)科的思想，讓學(xué)生能夠通過我們的教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解更加深刻，解決問題的方法更具有普遍意義，更符合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和邏輯。本節(jié)課在如何達(dá)成這一教學(xué)目標(biāo)上構(gòu)思簡(jiǎn)單，邏輯清晰。本節(jié)課整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)有一條主線貫穿，讓人一下子能識(shí)別和讀懂求函數(shù)最值問題的“核心”和“精華”。整個(gè)設(shè)計(jì)從教學(xué)起點(diǎn)，到教學(xué)過程，再到教學(xué)結(jié)果，各個(gè)環(huán)節(jié)清清楚楚，自然流暢。學(xué)生逐步建構(gòu)起一般函數(shù)求最值問題的思想觀念。

4.在教學(xué)實(shí)施上，始終做到“近人情”。

清代張問陶《論詩(shī)絕句》中有曰：“好詩(shī)不過近人情?！逼鋵?shí)，好課也不過近人情。課堂的近人情就是以學(xué)生為本去組織課堂教學(xué)。課堂上，教師心中要始終裝著學(xué)生，否則再巧妙的教學(xué)方法、教學(xué)技巧，失去這個(gè)根本就會(huì)變得毫無意義?！捌ぶ淮妫珜⒀筛?？”就是這個(gè)道理。本節(jié)課的設(shè)計(jì)，盡顯“以生為本”的理念，首先從淺顯的問題入手，設(shè)問在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，從學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中孕育新知識(shí)和新經(jīng)驗(yàn)。其次，本課的問題設(shè)計(jì)逐漸深入，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并且在教學(xué)中始終尊重學(xué)生的思維，讓學(xué)生先思考、先表達(dá)，不局限于對(duì)問題求解思路、方法和結(jié)果的表達(dá)與交流，也關(guān)注到了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的感受、情緒、認(rèn)識(shí)、想法和念頭的表達(dá)與交流，包括分析、評(píng)論、欣賞、贊嘆等等，即情緒體驗(yàn)的表達(dá)與交流。筆者認(rèn)為，在平時(shí)的日常教學(xué)中，教師要多給學(xué)生表達(dá)和交流的時(shí)間和空間，要多傾聽學(xué)生的思維成果，由于學(xué)生都是在自己已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行新的學(xué)習(xí)，他們對(duì)同樣的知識(shí)會(huì)有不同角度的理解，課堂上的表達(dá)與交流可以使師生獲得同一知識(shí)的不同側(cè)面理解的信息，顯然這對(duì)于知識(shí)的全面理解是極有好處的。另外，本節(jié)課中，筆者經(jīng)常問學(xué)生：你是怎么想的？大家都是這么想的嗎？筆者認(rèn)為，這樣的“追問”，在促使學(xué)生“再想一想”的同時(shí)，往往會(huì)捕捉到學(xué)生“高水平的思維”，有時(shí)也會(huì)常常讓人“眼前一亮”。