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    無窮級數(shù)的柯西和與切薩羅和

    2019-08-15 03:40:54趙小玲上海電機學院文理學院
    數(shù)碼世界 2019年8期
    關(guān)鍵詞:散性柯西級數(shù)

    趙小玲 上海電機學院 文理學院

    無窮級數(shù)求和問題是級數(shù)教學中的一個起點,也是重點和難點。在《高等數(shù)學》中,首先定義了無窮級數(shù)的收斂和發(fā)散,接著才定義了收斂級數(shù)的和,這種和稱為柯西和??梢园l(fā)現(xiàn),此種定義框架下,發(fā)散級數(shù)是不能求和的。但是,當我們改變和的定義方式時,某些發(fā)散級數(shù)也能求和,且與柯西和是相容的。意大利數(shù)學家切薩羅就提出了另一種定義方式方式,讓我們可以求出某些發(fā)散的無窮級數(shù)的和。

    一、柯西和

    利用上述定義,即求部分和數(shù)列的斂散性,我們可以得到級數(shù)的斂散性,并求出收斂級數(shù)的和。

    例1:用柯西和定義討論下列級數(shù)的和。

    (2)1-1+1-1+…+(-1)n-1+…

    (3)1+2+3+4+…+n+…

    解:(1) 因為級數(shù)的前n 項的部分和

    在判斷級數(shù)收斂或發(fā)散時,我們還特別強調(diào)了如下一些性質(zhì)。

    (1)收斂級數(shù)的逐項和構(gòu)成的新級數(shù)仍然收斂;發(fā)散級數(shù)的逐項和構(gòu)成的新級數(shù)不一定發(fā)散;如果兩級數(shù)逐項和的新級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)中至少有一個發(fā)散;如果兩級數(shù)逐項和的新級數(shù)收斂,原級數(shù)不一定都收斂。

    (2)在級數(shù)中增加或減少有限項不改變級數(shù)的斂散性;但在收斂時,級數(shù)的和數(shù)不同的;

    (3)在收斂級數(shù)上任意加括號構(gòu)成的級數(shù)仍然收斂,且和不變;若加括號構(gòu)成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)一定發(fā)散;若加括號構(gòu)成的級數(shù)收斂,原級數(shù)不一定收斂(即不能用加括號改變級數(shù)運算順序的方法求級數(shù)的和)。 在第三個性質(zhì)中,著重強調(diào)了發(fā)散級數(shù)求和不能任意加括號。例如是發(fā)散的,但是在給此級數(shù)用不同的方法加括號以后有:這兩個加括號后改變運算順序的級數(shù)均是收斂的,但收斂到不同的數(shù)值。表明用任意加括號的方法求級數(shù)的和并不科學。

    那么,對于發(fā)散級數(shù),有沒有一種方法可以更好地描繪級數(shù)趨近于哪一個常數(shù)呢。比如格蘭迪級數(shù),它的和一直在0 和1 之間擺動,我們直觀上認為,它應該趨近于二分之一比較合理。事實上,用切薩羅求和,確實可以得到這樣的結(jié)論。

    二、切薩羅和

    例如:用切薩羅和定義討論例1 中各級數(shù)的和。

    解:(1) 因為級數(shù)的前n 項的部分和

    所以級數(shù)和為1??梢?,此定義方式與柯西和是相容的,即柯西和若存在,則切薩羅和也存在且與柯西和相等。

    當然,切薩羅和也不是萬能的,對于(3)這個全體自然數(shù)相加的發(fā)散級數(shù),用切薩羅定義不能求出它的和。

    從以上例子可以看出,在研究無窮級數(shù)求和的發(fā)展過程中有著很多數(shù)學理論上的跳躍式發(fā)展。全體自然數(shù)相加的級數(shù),用切薩羅定義不能求出它的和,但是用拉馬努金和的定義方式可以得到一個令人瞠目結(jié)舌的 “和”。我們在數(shù)學的學習過程中要特別注意數(shù)學思維的培養(yǎng),注意數(shù)學架構(gòu)的嚴謹清晰,有理有據(jù)。在一定的公理體系下,通過嚴密的邏輯推理,可以發(fā)展出不同的數(shù)學新分支,豐富數(shù)學理論。

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