主余震序列地震動(dòng)譜加速度的空間相關(guān)性研究

中圖分類號(hào)：P315 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202307049

Abstract：Acording tocertain selectioncriteria，thispaperselects 8mainshock-aftershock events and 56O mainshockaftershock sequencesfromNGA-West2 groundmotiondatabase，usesASK14 ground motionpredictionequationtocarryoutresidualanaly sis onthemainshock-aftershocksequenes，obtainstheintraeventresidualofmainshock-aftershock sequencesateachstation，and standardizesthem.Accordingtothegeostatiticalsemivariogrammethod，teexponentialsemivariogrammodelandtemaafit ting methodareusedtocalculatethespatialautocoelationof thespectralaccelerationperiodofthemanshockaftershocksequence.Since the Pearsonlinearcorelationcoeffcientcanbetermeasure the linearrelatioshipbetween thefixed-distance Variables，thePearonlearelationcientisuedtoalulateteoselatioofthomalieditraevetsialsbe twendifrentspectralaceleratonperiodsofthmaisockaftershcksequencewitoutonsideringthespatialcooelatio. AccordingtoMarkov'shyothesis，espatialinfomationisitroducedintothcalculationofterossorelaionandthnthe expressionofthechangeofthespatialcrosscorrelationwiththespatialdistance（h）isobtained.Theresultsshowthatthemainshockisigniiantlydirentfroaftcksintesofpatialutocorelaonandosorrelationhaactesti，dfte shocksgenerallyhvehigherspatialcorelationinthelongperiodstage.Neglectingtespatialcorelationetweentemainshock andaftershocksorusingthecharacteristicsoftemainshcktoeplacethecharacteristicsofteaftershockswilladverselyectthe researchon earthquake hazard analysis，damage assessment，and thesynthesis of mainand aftershock sequences.

Keywords：mainshockaftershocksequence;semivariogram;spatialautocoelation;Markovmodel;spatialcrossorelation

近年來隨著結(jié)構(gòu)全壽命設(shè)計(jì)理論的發(fā)展，余震作為一種自然災(zāi)害愈發(fā)引起學(xué)者的關(guān)注。余震發(fā)生在主震之后，是由主震發(fā)展而來的，與主震在震源機(jī)制、震源位置、震級(jí)等方面存在一定的聯(lián)系。由于主震和余震的時(shí)間間隔較短，主震損傷結(jié)構(gòu)無法及時(shí)進(jìn)行修復(fù)和加固，在余震作用下將發(fā)生較為顯著的增量損傷，甚至發(fā)生倒塌等嚴(yán)重破壞，造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡。余震和主震在震源、傳播路徑以及場地條件等方面的相似性，導(dǎo)致主震地震動(dòng)與余震地震動(dòng)在幅值、持時(shí)以及頻譜等強(qiáng)度參數(shù)方面具有一定的相關(guān)性[]。

地面運(yùn)動(dòng)預(yù)測方程（GMPE）也被稱為地震動(dòng)衰減關(guān)系或地震動(dòng)模型，一般用來估計(jì)某單一位置處地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)（IMs）的概率分布（中值和方差），它是概率地震危險(xiǎn)性分析以及風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的重要工具，目前空間相關(guān)性的研究均從給定的GMPE中分離出相關(guān)殘差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。地震事件的空間相關(guān)性可以分為地震事件間的空間相關(guān)性（事件間殘差η_j） 和地震事件內(nèi)不同臺(tái)站間的空間相關(guān)性（事件內(nèi)殘差 ε_ij） 。BOORE等[2對(duì)1994年北嶺地震的峰值地面加速度（PGA）參數(shù)進(jìn)行了空間相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)PGA的空間相關(guān)性隨著兩個(gè)地點(diǎn)之間距離的增大而減小。GODA等[34]利用9次地震事件研究了PGA和1～3s的譜加速度（Sa）的空間相關(guān)性，提出了Sa的空間相關(guān)性變化系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)擬合公式。JAYARAM等[5研究了7次地震譜加速度在不同周期之間的空間相關(guān)性，進(jìn)一步驗(yàn)證了隨著臺(tái)站之間距離的增加，空間相關(guān)性降低的結(jié)論，并發(fā)現(xiàn)隨著周期的增大，空間相關(guān)性衰減變慢。ESPOSITO等[6-7]發(fā)現(xiàn)不同地震動(dòng)預(yù)測方程對(duì)同一記錄的空間相關(guān)性沒有顯著影響。DU等8采用9次地震共1500次地震記錄研究了累積絕對(duì)速度（CAV）阿里亞斯強(qiáng)度（Ia）以及Sa的空間相關(guān)性，結(jié)果表明殘差與剪切波速具有密切的關(guān)系，并將剪切波速融入到空間相關(guān)性的計(jì)算中。陳鯤等9利用美國加州納帕 M_w=6.0 地震的344組水平強(qiáng)震記錄，研究了PGA、峰值地面速度（PGV）、Sa（O.3s）、Sa（1.0s）與Sa（3.0s）的空間相關(guān)性函數(shù)地震動(dòng)空間相關(guān)性，并與其他相關(guān)性模型進(jìn)行了比較。胡磊[10]對(duì)日本關(guān)東地區(qū)的地震記錄進(jìn)行了空間相關(guān)性分析。

對(duì)主震的強(qiáng)度參數(shù)（PGA，PGV，Sa，CAV等）的空間相關(guān)性研究比較充分，但對(duì)于余震的強(qiáng)度參數(shù)的空間相關(guān)性以及主余震序列之間參數(shù)的空間相關(guān)性研究甚少。其中ZHU等利用Copula技術(shù)提出了主震與余震總殘差的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)模型，并探索了余震條件均值譜的生成。PAPADOPOULOS等[12]利用NGA-West2數(shù)據(jù)庫進(jìn)行了主余震的事件間殘差與事件內(nèi)殘差的相關(guān)性的對(duì)比分析，然而上述學(xué)者均忽略了IMs殘差間的空間信息即典型的空間距離（h）對(duì)相關(guān)性的影響。

MUDERRISOGLU等[13通過在主震發(fā)生條件下的非齊次泊松過程，開發(fā)了余震概率地震危險(xiǎn)性分析（APSHA）的框架。由于缺乏主震-余震譜加速度的經(jīng)驗(yàn)相關(guān)性估計(jì)，通常將后者視為獨(dú)立的，一般通過假設(shè)雙變量正態(tài)分布和不同程度的相關(guān)性來進(jìn)行研究。在實(shí)際應(yīng)用中，忽略這種相關(guān)性可能在某些情況下產(chǎn)生顯著影響。隨著地震災(zāi)害和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估由單一結(jié)構(gòu)向空間分布的建筑和基礎(chǔ)設(shè)施轉(zhuǎn)變，以及不可忽視余震對(duì)結(jié)構(gòu)造成的“二次損傷”，區(qū)域的主余震地震危險(xiǎn)性分析、區(qū)域的主余震風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)及建筑損失評(píng)估中，不僅需要對(duì)主震地震事件同時(shí)估計(jì)多場點(diǎn)IM的聯(lián)合超越概率，也要對(duì)余震IMs的空間相關(guān)性進(jìn)行聯(lián)合分析，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)域地震事件的整體危險(xiǎn)性和災(zāi)害損失的綜合估計(jì)。

本文介紹了利用地統(tǒng)計(jì)學(xué)半變異函數(shù)方法表征主余震序列IMs的空間自相關(guān)性隨空間間距變化的具體步驟以及半變異函數(shù)模型與擬合方法。利用傳統(tǒng)的Pearson線性相關(guān)對(duì)不考慮空間距離的IMs進(jìn)行了互相關(guān)性分析，基于馬爾可夫（Markov）模型的性質(zhì)，進(jìn)一步考慮空間距離對(duì)主余震序列IMs的空間互相關(guān)性的影響。本文按照一定的挑選準(zhǔn)則，以8次主余震事件，560條主余震序列地震動(dòng)為例，分析了主震與余震在空間的自相關(guān)性與互相關(guān)性，結(jié)果表明，主震與余震的空間相關(guān)性存在明顯的區(qū)別。

1事件內(nèi)殘差標(biāo)準(zhǔn)化與空間自相關(guān)性分析方法

1.1事件內(nèi)殘差的標(biāo)準(zhǔn)化處理

針對(duì)地震事件 j ，特定場點(diǎn)臺(tái)站 i 的地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)的預(yù)測方程服從下式：

式中， Y_ij 代表地震事件 j 發(fā)生時(shí)，臺(tái)站 i 處的地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)，通常為Sa、PGA、PGV、Ia等強(qiáng)度參數(shù)指標(biāo)； 表示在給定的震級(jí) （M） 、震源距（R） 以及其他參數(shù) （θ） 下地震動(dòng)預(yù)測方程估計(jì)該地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)的中位值； η_j 代表事件間的殘差，對(duì)于給定的地震事件的所有臺(tái)站的地震記錄， η_j 為一常數(shù)，代表著不同地震事件均值的系統(tǒng)偏差，服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為 τ_j 的獨(dú)立正態(tài)分布； ε_ij 為事件內(nèi)的殘差，對(duì)不同臺(tái)站的地震記錄是一個(gè)變量，服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為 σ_ij 的獨(dú)立正態(tài)分布?？倸埐畹臉?biāo)準(zhǔn)差可以表示為 σ_T=（σ_ij²+τ_j²）^1/2 。GMPE通常假設(shè)IM服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，對(duì)數(shù)化地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)服從正態(tài)分布：

其中標(biāo)準(zhǔn)化后的事件內(nèi)殘差 ε_ij 可以表示為：

1.2基于地統(tǒng)計(jì)學(xué)的單變量空間自相關(guān)性計(jì)算

半變異函數(shù)是地統(tǒng)計(jì)學(xué)中研究空間變異性的工具函數(shù)，用來表征隨機(jī)變量的空間變異結(jié)構(gòu)，或空間連續(xù)性，在空間隨機(jī)向量的建模中得到了廣泛的應(yīng)用，不少學(xué)者應(yīng)用半變異函數(shù)構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)的空間相關(guān)性模型。當(dāng)隨機(jī)變量 V 的均值不隨位置 m 變化，其協(xié)方差 Cov[V（m），V（n） ]取決于樣本點(diǎn) Ω_m 和 n 之間的距離 h 時(shí)，即隨機(jī)變量 V 滿足二階平穩(wěn)假設(shè)[15]，如下式所示：

先前的研究已經(jīng)證明[5-9]，地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)的殘差的空間相關(guān)性并不取決于空間間距的方向，同時(shí)一般假設(shè)事件內(nèi)殘差空間分布的各向同性，因此可以考慮將空間間距表示為 ，即半變異函數(shù)可以表示為[15-16]：

由于地震動(dòng)的事件內(nèi)殘差滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，即

經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)可以表示為[16]：

式中， h 為滯后距（即空間兩點(diǎn)間距離）； γ（h） 表示距離為 h 時(shí)的半變異函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值； N（h） 表示樣本間所有距離為 h 的臺(tái)站的對(duì)數(shù)； V（m_i+h） 與V（m_i） 分別代表距離為 h 時(shí)兩臺(tái)站的標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差值。與半變異函數(shù)類似的協(xié)方差 C（h） 可以表示為：

聯(lián)立式（6）與（7）可得：

γ（h）=C（0）-C（h）

相關(guān)性函數(shù) ρ（h） 可以表示為：

結(jié)合式（8）與（9）可得：

γ（h）=C（0）[1-ρ（h）]=Var（V）[1-ρ（h）] （11）從而將半變異函數(shù) γ（h） 與相關(guān)性函數(shù) ρ（h） 進(jìn)行了結(jié)合，可以通過對(duì)半變異函數(shù)的估計(jì)來獲得隨機(jī)變量的空間相關(guān)性分布。

1.3典型的半變異函數(shù)模型與擬合方法

常見的二階平穩(wěn)各向同性半變異函數(shù)的理論模型有：

球狀 a，其他

高斯型： （14）式中， a 為基臺(tái)（sill）; b 為變程（range），在指數(shù)模型中一般取 95% 基臺(tái)對(duì)應(yīng)的變程 b 值作為空間相關(guān)距。在地震記錄數(shù)據(jù)的處理中，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)形式簡單、計(jì)算方便的指數(shù)型半變異函數(shù)更適用于地震空間相關(guān)性的計(jì)算。

通常采用手工擬合法或最小二乘法對(duì)經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)值進(jìn)行擬合估計(jì)，采用最小二乘法雖然可以提高計(jì)算效率，但對(duì)于更加注重短距離區(qū)間的空間相關(guān)性來說，采用最小二乘法是在整個(gè)區(qū)間等權(quán)重?cái)M合，在一定的程度上削弱了短距離的空間相關(guān)性，JAYARAM等5討論了最小二乘法和手工擬合法（即一種專注于在短分離距離擬合經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)的手動(dòng)擬合方法）等不同方法在擬合經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)方面的優(yōu)缺點(diǎn)，并認(rèn)為手工擬合法不僅使用簡單，且在分離“有實(shí)際意義的距離”上更適合。因此本文采用更為有效的手工擬合方法進(jìn)行半變異函數(shù)擬合。圖1為基于指數(shù)半變異函數(shù)模型分別采用手工擬合方法與最小二乘法擬合的典型譜加速度周期（Sa（ T=0.05 s）Sa （T=1s） ）的半變異函數(shù)模型?？梢悦黠@地看出，手工擬合方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)短距離空間相關(guān)性變化趨勢(shì)的準(zhǔn)確估計(jì)。

2 空間互相關(guān)性分析

互相關(guān)分析是指對(duì)兩個(gè)或多個(gè)具備相關(guān)性的變量元素進(jìn)行分析，從而衡量兩個(gè)因素的相關(guān)密切程度，在對(duì)地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)的殘差進(jìn)行互相關(guān)分析時(shí)，可以分別考慮兩種互相關(guān)性分析方法，一種是忽略

殘差的地理位置等信息，僅對(duì)兩種變量本身進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)相關(guān)性分析，這種方法也是最為通用的，因其簡單，不需要考慮變量的其他信息，具有一定可靠性；另一種是考慮殘差的地理空間位置信息，對(duì)于具有空間信息的變量來說，忽略變量的空間信息會(huì)對(duì)其相關(guān)性等特性具有重要的影響，因此全局考慮變量的空間信息，對(duì)變量的相關(guān)性具有重要意義。各臺(tái)站得到地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)的殘差具有顯著的空間特征信息，其中各臺(tái)站的間距 h 對(duì)相關(guān)性的計(jì)算具有重要影響。

2.1不考慮空間信息的互相關(guān)性分析

在不考慮參數(shù)間空間信息 h 時(shí)，通常采用更為直觀的相關(guān)系數(shù)反映兩種不同參數(shù)之間相關(guān)性的強(qiáng)弱。本文選取三種典型的相關(guān)系數(shù)：Pearson線性相關(guān)系數(shù)、Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman秩相關(guān)系數(shù)計(jì)算不同周期譜加速度標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差的相關(guān)性。它們可分別用來反映變量間線性相關(guān)程度、一致性變化程度以及單調(diào)相關(guān)程度，計(jì)算公式分別為：

式中， x_1i 和 x_2i 分別為任意兩個(gè)不同周期譜加速度標(biāo)準(zhǔn)化殘差的第 i 個(gè)值； 和 分別為它們的樣本均值； N 為樣本容量； sign[?] 為符號(hào)函數(shù)，其中當(dāng)（x_1i-x_1j）（x_2i-x_2j）gt;0 時(shí) sign=1 ，否則 sign=0;r_i 和 s_i 分別為向量 θ 中任意兩個(gè)參數(shù)的秩， 和 分別為它們的樣本均值。

2.2基于馬爾可夫模型考慮空間信息的空間互相關(guān)性分析

將條件作用于較小的變量集而不是考慮的全部變量集的模型稱為馬爾可夫模型。JOURNEL[14]引入了一個(gè)馬爾可夫模型用于兩個(gè)隨機(jī)變量：主要變量 Z₁（u） 和次要變量 Z₂（u） 的聯(lián)合建模，考慮到“篩選”假設(shè)如下：

E{Z₂（u）|Z₁（u），Z₁（u+h）}=

假設(shè)次要變量 Z₂（u） 對(duì)主要變量 Z₁（u） 的依賴僅限于同位主變量，排除其他主要變量 Z₁（u+h） 對(duì)Z₁（u） 的影響?；谏鲜黾僭O(shè)，兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化變量的互相關(guān)性可以表示為：ρ₁₂（h）=E{Z₂（u）Z₁（u+h）}= （20號(hào)Z₁（u+h）=z₁^′}.f_h（z，z^′）dz₁dz₁^′= （204號(hào) （19）式中 ，f_h（z₁，z₁^′） 為主要變量 Z₁（u） 的二維概率密度函數(shù)； ρ₁（h） 為標(biāo)準(zhǔn)化主要變量 Z₁（u） 的空間相關(guān)圖或協(xié)方差； ρ₁₂（h） 為空間互相關(guān)圖或互協(xié)方差； ρ₁₂（0） 為主要變量 Z₁（u） 和次要變量 Z₂（u） 的線性相關(guān)系數(shù)； z₁ 為 Z₁（u） 向量的子變量。

主要變量 Z₁（u） 是主、次要變量中相關(guān)范圍較大的變量，在此假設(shè)下，兩個(gè)變量之間的空間相關(guān)性可以表示為：

ρ₁₂（h）=ρ₁₂（0）?ρ₁（h）

在二階平穩(wěn)以及各向同性的假設(shè)條件下， |h|= h ，上式可以表示為：

ρ₁₂（h）=ρ₁₂（0）?ρ₁（h）

式（21）根據(jù)馬爾可夫模型的性質(zhì)，構(gòu)造了考慮空間信息互相關(guān)性的表達(dá)式，將互相關(guān)性與空間距離 h 聯(lián)系起來。GODA等3提出了與上述類似的模型表征不同周期（ Z₁=lnSa（ΔT₁） Z₂=lnSa（ΔT₂） ）譜加速度之間的空間互相關(guān)性，如下式所示：

ρ（T₁，T₂，h）≈ρ₀（T₁，T₂）?ρ（T_max，h）

式中， T_max=max{T₁，T₂} ，即默認(rèn)周期越大，空間自相關(guān)性越大，這與上面的主要變量 Z₁（u） 的定義基本一致，但是發(fā)現(xiàn)在中長周期階段的空間相關(guān)性隨周期增大呈增長趨勢(shì)，即 ρ（T_min，h）lt;ρ（T_max，h） ，而在短周期卻存在 ρ（T_min，h）gt;ρ（T_max，h） 的現(xiàn)象，因此相對(duì)于GODA等[3]提出的公式，本文依據(jù)馬爾可夫原理進(jìn)行了精細(xì)化改進(jìn)，如下式所示：

3 主余震序列地震記錄的空間相關(guān)性 分析

3.1主余震序列地震記錄的挑選

研究主余震序列地震動(dòng)作用下結(jié)構(gòu)的抗震性能以及如何科學(xué)合理地選擇主余震序列地震動(dòng)是一個(gè)非常關(guān)鍵的問題。本文利用太平洋地震工程研究中心（PEER）的NGA-West2地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫，依據(jù)以下原則挑選主余震系列地震動(dòng)：

（1）只挑選主震及其震級(jí)最大的余震作為研究對(duì)象；（2）主震地震動(dòng)和相應(yīng)的余震地震動(dòng)記錄必須來自同一記錄臺(tái)站，并且臺(tái)站數(shù)目大于20；（3）主震和余震的PGA大于 0.05g ，較小的PGA地震記錄對(duì)結(jié)構(gòu)影響不大；（4）主震和余震地震記錄的可用反應(yīng)譜周期在0.01～10s （5）主震和余震均發(fā)生在淺層地殼，且臺(tái)站須處于自由場地或者結(jié)構(gòu)低矮處，從而可以忽略土-結(jié)構(gòu)間的相互作用。

最終，本文獲取了8次主余震事件的560組水平地震記錄，其中所選主余震地震動(dòng)的基本信息及計(jì)算質(zhì)心Joyner-Boore距離（ （CR_JB） 如表1所示。

圖2分別給出了各臺(tái)站主震與余震下的Joyner-Boore距、臺(tái)站場地剪切波速 V_s30 的分布關(guān)系?？梢钥闯?，主震相對(duì)于余震距離震中位置更近，Joyner-Boore距更小，其中剪切波速 V_s30 大致均勻分布在 200～600m/s 。

譜加速度作為典型的地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)，廣泛應(yīng)用于地震動(dòng)空間相關(guān)性的分析。目前存在很多方法用來計(jì)算兩個(gè)水平分量地震動(dòng)記錄的代表性譜加速度幅值，考慮到NGA-West2項(xiàng)目相關(guān)的地震動(dòng)預(yù)測方程模型是基于所有水平方向地震動(dòng)記錄給出的每一指定周期譜加速度的中位值，本文根據(jù)BOORE等[17-18]提出的與觀測儀器布設(shè)方向無關(guān)的方法，計(jì)算560個(gè)臺(tái)站的兩個(gè)水平地震記錄得到所有非冗余角譜值的中值譜加速度（ Sa_RotD50） ，周期為 0.01～ 10s，共劃分105個(gè)周期點(diǎn)。本文利用ASK14[19]基于NGA-West2地震數(shù)據(jù)庫提出的地震動(dòng)預(yù)測方程，采用混合效應(yīng)回歸方法，對(duì)所有臺(tái)站的 Sa_RotD50 進(jìn)行回歸分析，得到事件內(nèi)殘差 ε_ij 。

圖3（a）為主震Sa （T=0.1s） 與Sa（ T=1 s）的標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差的分布圖；圖3（b）為余震Sa（ T= 0.1s）與Sa （T=1s） 的標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差的分布圖。圖4（a）為主震Sa（ T=0.1 S）與余震 Sa（T=0.1s） 的標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差的分布圖；圖4（b）為主震Sa（ ?T=0.1 s）與余震Sa（ T=1 s）的標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差的分布圖。

3.2主余震序列地震記錄的空間自相關(guān)性分析

在地統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常采用半變異函數(shù)表示不同場點(diǎn)的地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)的空間自相關(guān)性，在采用式（7）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化后的事件間殘差 ε_ij^′ 半變異函數(shù)經(jīng)驗(yàn)值估計(jì)時(shí)，需要保證臺(tái)站間距離區(qū)間 [h-Δh/2 ， h+Δh/2] 內(nèi)具有足夠多的臺(tái)站對(duì)數(shù)目 N（h） ，如圖5所示，本文分別計(jì)算了當(dāng)間隔 Δh=2km 與 Δh=3km 時(shí)臺(tái)站對(duì)數(shù)目隨臺(tái)站間距的直方圖，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng) Δh=2km 時(shí)，最小的臺(tái)站對(duì)數(shù)目為46；而 Δh=3km 時(shí)，最小的臺(tái)站對(duì)數(shù)目為102，GODA等[3-4]建議距離區(qū)間的臺(tái)站對(duì)數(shù)目不小于80個(gè)，才可保證數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的可靠性。因此本文采用臺(tái)站間距離間隔 Δh=3km 進(jìn)行主震余震地震動(dòng)序列的空間自相關(guān)性研究。

本文基于指數(shù)半變異函數(shù)模型采用手工擬合方法對(duì)主余震序列地震記錄的不同周期的譜加速度的標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差進(jìn)行分析，結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?，隨著周期的增大，整體上，主震與余震地震動(dòng)的半變異函數(shù) γ（h） 的增長速率變小，且余震更加明顯，同時(shí)發(fā)現(xiàn)大部分情況下余震的增長速率較主震的增長速率更低。

因標(biāo)準(zhǔn)化后事件內(nèi)殘差的方差為1，故根據(jù)式（11）可以得到強(qiáng)度參數(shù)空間相關(guān)性 ρ（h） 的表達(dá)式：

ρ（h）=1-γ（h）

圖7對(duì)比了主震與余震在典型周期的空間相關(guān)性曲線，這種空間相關(guān)性也可以被近似地認(rèn)為是空間分布的地震動(dòng)時(shí)程的相似性?？梢园l(fā)現(xiàn)整體上，余震與主震相比，空間相關(guān)性衰減得更慢，特別是中長周期；同時(shí)隨著周期的增大，空間相關(guān)性 ρ（h） 的衰減速率減小，空間相關(guān)性更大，導(dǎo)致這種現(xiàn)象的主要原因是：地震波在傳播過程中，由于波的散射作用，使得地震波的相似性降低。傳播過程中，高頻的地震波相似性減小的幅度更大，可能是因?yàn)槎滩ㄩL成分更容易被小尺度的異質(zhì)體所影響或改變，因此短周期地震波的空間相關(guān)性沒有長周期地震波顯著。

圖8分別計(jì)算了主震、余震譜加速度周期在0.01～10 S區(qū)間內(nèi)指數(shù)半變異函數(shù)模型 95% 基臺(tái)值（a） 對(duì)應(yīng)的變程 b 值（空間相關(guān)距）。相關(guān)距越大，空間相關(guān)性衰減得越慢，可以看出，在 T 小于1.2s時(shí)，主震與余震的空間相關(guān)距變化趨勢(shì)基本一致，在20～40km 之間；當(dāng)周期 T 在 之間時(shí)，主震的空間相關(guān)距稍大于余震的空間相關(guān)距；當(dāng) T 大于3.2s時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)余震的空間相關(guān)距大于主震的空間相關(guān)距，這也進(jìn)一步說明了余震的空間相關(guān)性相比主震衰減得更慢，具有更高的空間相關(guān)性。因此主余震的空間相關(guān)性的變化趨勢(shì)具有明顯的區(qū)別，特別是在中長周期階段。

3.3.1不考慮h的互相關(guān)性分析

依據(jù)2.1節(jié)，當(dāng)不考慮變量的空間信息時(shí)，一般采用更加簡單直觀的相關(guān)系數(shù)來表征兩種參數(shù)的相關(guān)性，采用上述三種不同的相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法，分別針對(duì)主震不同周期譜加速度間標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差，以及余震不同周期譜加速度間標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差，進(jìn)行了相關(guān)性分析。圖9所示為典型周期的三種不同的相關(guān)性計(jì)算結(jié)果。整體上，三種相關(guān)系數(shù)隨周期的變化趨勢(shì)一致，都可以較好地表征不同參數(shù)間的相關(guān)性，Pearson線性相關(guān)系數(shù)與Spearman秩相關(guān)系數(shù)的計(jì)算結(jié)果更加接近，而Kendall秩相關(guān)系數(shù)相對(duì)較小?？紤]到Spearman秩相關(guān)系數(shù)更注重于變量間的單調(diào)性，是對(duì)定序變量的統(tǒng)計(jì)，且對(duì)于數(shù)據(jù)錯(cuò)誤和極端值的反應(yīng)不敏感，而Kendall相關(guān)系數(shù)是對(duì)于定類變量的統(tǒng)計(jì)，因此對(duì)于不同周期譜加速度間標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差這種定距變量來講，采用Pearson線性相關(guān)系數(shù)最為合適。圖10為主震、余震不同周期間的Pearson線性相關(guān)系數(shù)的等值線圖。圖11對(duì)比了給定周期的主震與余震的相關(guān)系數(shù)隨其他周期的變化曲線，可以看出，在給定周期的附近區(qū)間，無論主震還是余震均具有較高且類似的相關(guān)性，隨著遠(yuǎn)離給定周期，相關(guān)性均呈現(xiàn)衰減的趨勢(shì)，且周期與給定周期的間隔越大，相關(guān)性越低。其中，相對(duì)余震，主震在長周期的衰減速率更快，余震在長周期的相關(guān)性明顯大于主震，在短周期階段，兩者的相關(guān)性相差不大。綜上，主震與余震的相關(guān)性的變化趨勢(shì)具有明顯的不同，特別是在長周期階段，因此深入地研究主震與余震的相關(guān)性的差異具有重要的意義。

為進(jìn)一步探究主震與余震在同一周期譜加速度標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差的相關(guān)性，以及主余震不同周期間的相關(guān)性，本文依舊采用Pearson線性相關(guān)系數(shù)進(jìn)行計(jì)算。圖12（a）為所有主震周期與余震周期的相關(guān)系數(shù)的等值線圖，圖12（b）為典型周期余震與主震的相關(guān)性，綠色直線分別表示主震周期在0.05、0.1、1和5s時(shí)與余震同一周期的相關(guān)系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，主余震相關(guān)性最大值幾乎出現(xiàn)在相同周期，且隨著遠(yuǎn)離給定周期，相關(guān)性呈現(xiàn)衰減趨勢(shì)，特別是在長周期階段呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)的性質(zhì)。周期在3s以前，最大相關(guān)性（圖中紅色實(shí)線）在0.3以上，而隨著周期增大，最大相關(guān)性呈衰減趨勢(shì)，特別是當(dāng)周期為10s時(shí)，相關(guān)性幾乎為0。總體上，長周期的相關(guān)性低于短周期的相關(guān)性。

3.3.2考慮h的空間互相關(guān)性分析

2.2節(jié)采用馬爾可夫原理，構(gòu)造了考慮空間信息的互相關(guān)性函數(shù)模型，根據(jù)式（21）可以計(jì)算主震不同周期間的空間互相關(guān)性、余震不同周期間的空間互相關(guān)性和主余震間不同周期的互相關(guān)性。本文采用相關(guān)距離更大的周期作為主要變量 Z₁（u） ，如式（23）所示，因?yàn)樵谕痪嚯x h 下，相關(guān)距離越大，相關(guān)性就越大。圖13（a）為當(dāng) h=20km 時(shí)主震不同周期間標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差的空間互相關(guān)性等值線圖，圖13（b給出了指定周期與其他周期隨空間距離 h 的空間互相關(guān)性的變化趨勢(shì)。圖14為余震的不同周期間互相關(guān)性的計(jì)算結(jié)果，圖15為主震與余震的不同周期間互相關(guān)性的計(jì)算結(jié)果。

對(duì)比圖13、14和15可以發(fā)現(xiàn)，余震相較于主震，整體上具有更高空間互相關(guān)性，在長周期階段間的空間互相關(guān)性較短周期更大，這種現(xiàn)象與余震較主震具有更高的空間相關(guān)距以及長周期具有更高的互相關(guān)性有重要的關(guān)系，同時(shí)，周期的間隔越大，空間互相關(guān)性越小，這種現(xiàn)象在主余震空間互相關(guān)性上表現(xiàn)得最為明顯（如圖15所示），造成這種現(xiàn)象的主要原因是長周期與短周期的地震波在傳播場地介質(zhì)中受到散射等因素的影響，其主要的頻率成分發(fā)生明顯變化，進(jìn)而導(dǎo)致其相關(guān)性具有明顯的區(qū)別。且主震與余震之間不同周期的空間互相關(guān)性要明顯低于主震周期間、余震周期間的空間互相關(guān)性，這種現(xiàn)象在后續(xù)對(duì)余震地震記錄的合成以及依據(jù)主震信息合成余震地震記錄中起到重要作用，為合理評(píng)估主震與余震的相關(guān)性奠定了基礎(chǔ)。

4 結(jié)論與展望

本文以挑選出來的主余震地震動(dòng)序列為例，通過地統(tǒng)計(jì)學(xué)方法分別計(jì)算了主震、余震不同周期譜加速度標(biāo)準(zhǔn)化事件內(nèi)殘差的經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)值，采用指數(shù)半變異函數(shù)模型與手工擬合方法得到IMs的空間相關(guān)性函數(shù)，結(jié)果表明：整體上主震與余震的空間相關(guān)性隨著周期的增大而增大，特別是在長周期階段具有更高的相關(guān)性，同時(shí)發(fā)現(xiàn)主震與余震在周期大于1.2s以后，余震的空間相關(guān)性變化與主震的空間相關(guān)性變化具有明顯的區(qū)別。

本文采用Pearson線性相關(guān)系數(shù)來計(jì)算不考慮空間信息（主震、余震以及主余震之間不同譜加速度周期的互相關(guān)性，結(jié)果表明：在短周期內(nèi)，主震、余震不同周期間的互相關(guān)的大小以及變化趨勢(shì)保持一致，然而在長周期處，余震的互相關(guān)性明顯大于主震的互相關(guān)性。隨著遠(yuǎn)離給定周期，互相關(guān)性呈衰減趨勢(shì)，且周期間隔越大，互相關(guān)性越小。對(duì)于主震與余震之間的互相關(guān)性而言，最大互相關(guān)性發(fā)生在主震周期等于余震周期處，中短周期主震與余震的最大互相關(guān)性系數(shù)在0.3左右，而長周期的互相關(guān)性更低。采用馬爾可夫模型將空間距離引入到主余震序列的不同周期互相關(guān)分析中，發(fā)現(xiàn)余震相對(duì)于主震具有更高的空間互相關(guān)性，且主震與余震之間的空間互相關(guān)性明顯低于自身的空間相關(guān)性。

綜上所述，主震與余震的空間自相關(guān)性以及互相關(guān)性具有明顯的差異，這種主余震之間的相關(guān)性為主余震的地震動(dòng)合成、挑選以及概率地震危險(xiǎn)性分析奠定了基礎(chǔ)。同時(shí)考慮主余震的空間相關(guān)性對(duì)大跨度橋梁、生命線工程及建筑群落的空間分布系統(tǒng)的地震風(fēng)險(xiǎn)損失評(píng)估、風(fēng)險(xiǎn)防控、地震區(qū)劃、交通基礎(chǔ)設(shè)施與城市韌性建設(shè)具有重要意義。

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