連續(xù)多穩(wěn)態(tài)齒輪元胞機(jī)械超結(jié)構(gòu)及其力學(xué)性能

關(guān)鍵詞：機(jī)械超結(jié)構(gòu)；齒輪元胞；力學(xué)性能；連續(xù)可調(diào)；減振結(jié)構(gòu)

中圖分類號：TB34

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.04.023 開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

Continuous Multi-stable Gear Cell Mechanical Metastructures and Mechanics Properties

MO Shuai1，2，3 * HUANG Xuan1，2 HUANG Zurui1，2 ZHANG Wei1 1.State Key Laboratory of Featured Metal Materials and Life-cycle Safety for Composite Structures，Nanning，530004 2.School of Mechanical Engineering，Guangxi University，Nanning，530004 3.State Key Lab of Digital Manufacturing Equipment and Technology，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan，430074

Abstract： In order to expand the forms of mechanical metastructures and optimize the dynamic adjustment ability of mechanical metastructures，a micro gear unit structure was designed，which was periodicall arranged in a two-dimensional plane to form a metastructure. The structural design principle and stability of the metastructure were analyzed.It is demonstrated that continuous and stable tunable of mechanics properties may be achieved by the designed metastructure. The extensive mechanics properties of this metastructure，including statics and dynamics，were analyzed through finite element simulation method.The results indicate that the elastic modulus of the externall meshed gear cells has a tuning range exceeding 1O times，while that of the internally meshed planetary gear cells exceeds 200 times. A considerable tunable range is also observed in the shear modulus.Additionally，the continuous change of the natural frequency and frequency amplitude curve may be realized by this gear unit-based metastructure，providing a new idea for the design of materials aimed at vibration reduction. Finally，a variety of metastructure vibration reduction devices were designed based on this micro gear unit， demonstrating the unique advantages and broad application prospects in vibration reduction and dynamic control.

Key words： mechanical metastructure; gear cell; mechanics property; continuously tunable； vibration-reduction structure

0 引言

超材料/超結(jié)構(gòu)是具有非常規(guī)性能的人工結(jié)構(gòu)[1-3]，機(jī)械超結(jié)構(gòu)的發(fā)展可以追溯到早期的周期梁、板、蜂窩等結(jié)構(gòu)，通過合理配置與優(yōu)化這些元素，可以實(shí)現(xiàn)負(fù)泊松比、低密度、高強(qiáng)度等優(yōu)異力學(xué)性能，如GAO等[4]、CHENG等[5]通過對負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，得到具有增強(qiáng)機(jī)械性能的超材料。根據(jù)不同的應(yīng)用場景有望在智能設(shè)備、能量吸收、減振降噪等領(lǐng)域取得重大應(yīng)用前景，如將柔性超材料應(yīng)用于電子皮膚，能夠使機(jī)械手臂更加精確地執(zhí)行抓取任務(wù)6；在汽車零部件中引入超材料，能夠有效緩解輕量化材料所帶來的噪聲問題。

隨著高精度制造技術(shù)的不斷開發(fā)，機(jī)械超結(jié)構(gòu)的力學(xué)可調(diào)超結(jié)構(gòu)在設(shè)計、制造、應(yīng)用等方面發(fā)生快速轉(zhuǎn)變[7-8]，具有易設(shè)計、多功能、動態(tài)可調(diào)的機(jī)械超結(jié)構(gòu)受到大量學(xué)者的廣泛關(guān)注，這類超結(jié)構(gòu)通過主動或被動調(diào)節(jié)使自身可重構(gòu)[9]，這樣的可重塑性使裝備機(jī)械超結(jié)構(gòu)的設(shè)備能夠靈活地調(diào)節(jié)自身剛度，從而可適應(yīng)多場景任務(wù)。ZHANG等[10]設(shè)計了一種可再入結(jié)構(gòu)，通過控制其內(nèi)置的楔形塊實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)剛度可調(diào)；TAO等[11]利用水凝膠的溶脹特性驅(qū)動復(fù)合結(jié)構(gòu)彎曲，獲得了帶隙可調(diào)的三維力學(xué)超材料；區(qū)別于上述設(shè)計方案，F(xiàn)ANG等[12]、MEEUSSEN等[13]利用齒輪元素設(shè)計出性能可調(diào)的力學(xué)超材料，但未從微觀結(jié)構(gòu)上進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，同時缺乏動力學(xué)特性及其在減振結(jié)構(gòu)設(shè)計方面的研究。

傳統(tǒng)力學(xué)超結(jié)構(gòu)存在性能調(diào)節(jié)范圍與精度不足、難以適應(yīng)多工況作業(yè)等缺陷，本文提出一種可編程性能超結(jié)構(gòu)的非傳統(tǒng)設(shè)計方案，該設(shè)計方案在多工況下可實(shí)現(xiàn)大范圍、連續(xù)可調(diào)的彈性特性，同時保持穩(wěn)定性和魯棒性。在表征方面，除了材料的基本性能外，還突出所設(shè)計機(jī)械超結(jié)構(gòu)在動力學(xué)方面的特性。最后，利用齒輪基超結(jié)構(gòu)設(shè)計出可用于多工況的減振裝置，從微觀到宏觀展示了齒輪機(jī)械超結(jié)構(gòu)在減振降噪、性能調(diào)控、動力學(xué)優(yōu)化等方面的獨(dú)特優(yōu)勢。在擴(kuò)展齒輪應(yīng)用場景的同時，為智能設(shè)備在作業(yè)過程中實(shí)現(xiàn)自主控制與自適應(yīng)優(yōu)化提供思路，為設(shè)計完全可編程振動控制設(shè)備拓寬視野，可推動齒輪基超結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用中的探索。

1連續(xù)多穩(wěn)態(tài)可調(diào)齒輪超結(jié)構(gòu)設(shè)計

為實(shí)現(xiàn)機(jī)械超結(jié)構(gòu)力學(xué)性能連續(xù)穩(wěn)定調(diào)節(jié)，需要從微觀入手。簡支梁在受到外力作用時不同位置的“軟硬”程度是不同的，具體來說，靠近支點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)變形較小，而遠(yuǎn)離支點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)變形較大。引入齒輪則能夠使梁上的受力位置發(fā)生周期性變化，同時賦予結(jié)構(gòu)良好的動態(tài)穩(wěn)定性。通過優(yōu)化齒輪拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、合理設(shè)計支撐位置及數(shù)量，齒輪機(jī)械超結(jié)構(gòu)的力學(xué)可調(diào)性可以實(shí)現(xiàn)定制，通過以周期的方式將齒輪單元排列、堆疊，就能得到連續(xù)穩(wěn)態(tài)周期性可調(diào)的力學(xué)超結(jié)構(gòu)。

本文設(shè)計了兩種齒輪元胞超結(jié)構(gòu)，一種為通用外嚙合輪輻式齒輪胞，另一種為內(nèi)嚙合行星齒輪胞結(jié)構(gòu)。圖1以內(nèi)嚙合行星齒輪為例展示了齒輪機(jī)械超結(jié)構(gòu)的設(shè)計過程，主要包括三個步驟，即核心元素的設(shè)計、單元胞的制造與組裝、單元胞周期性排列與堆疊形成超結(jié)構(gòu)。

2連續(xù)多穩(wěn)態(tài)齒輪超結(jié)構(gòu)力學(xué)性能

2.1 輪輻式齒輪胞超結(jié)構(gòu)力學(xué)性能

如圖2所示，利用輪輻式外嚙合齒輪組成超結(jié)構(gòu)基本單元，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計出一種力學(xué)性能連續(xù)可調(diào)結(jié)構(gòu)，其中齒輪齒寬 b=6mm ，輪輻按照十字形對稱分布。以圖2中順時針方向?yàn)辇X輪胞轉(zhuǎn)動方向，并且定義初始轉(zhuǎn)角 α=0^° 。

為了便于施加載荷和約束，從齒輪兩面（正面和背面）引出帶有平臺的軸，軸的長度略大于齒寬且保持固定，載荷與約束在正面與背面是一致的，為了在后續(xù)分析中得到更加精確的結(jié)果，軸的彈性模量遠(yuǎn)大于齒輪的彈性模量。采用線性加載方式得到該單胞結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，見圖3，從應(yīng)力-應(yīng)變曲線中可以得到該平面胞的彈性模量E_e 和變形量 y ，如圖4所示，其中調(diào)節(jié)周期 T 與支撐輪輻數(shù)量 N 的關(guān)系可表示為 T=2π/N ，此處即為 T=90^° ，彈性模量的調(diào)節(jié)范圍為14.4倍（從下限值 5.8GPa 到上限值 83.5GPa） ，當(dāng) α=0^° （或 α=90^°. 時，可以獲得最大的彈性模量，這一點(diǎn)主要是齒輪單元輪輻支撐的貢獻(xiàn)，由于齒輪間嚙合關(guān)系，彈性模量曲線前半周期與后半周期并不對稱。

此外，利用三維有限元對齒輪胞的剪切行為進(jìn)行了仿真，得到材料的變形量 y 和剪切模量 G 隨齒輪轉(zhuǎn)角 α 的變化曲線，見圖5，其變化周期為90^° ，調(diào)節(jié)范圍達(dá)到2.4倍（從下限值 0.4GPa 到上限值 0.94GPa; ，與彈性模量曲線不同，當(dāng) α=0^° （或 α=90^° 時，剪切模量并沒有獲得最大值，但是剪切模量的最小值位置與彈性模量的最小值位置幾乎是一致的。

為了研究不同轉(zhuǎn)角 α 下二維外嚙合齒輪胞超結(jié)構(gòu)的固有特性，圖6給出了外嚙合齒輪胞在不同角度下的四階約束模態(tài)，具體地，當(dāng)轉(zhuǎn)角 α 增大，第四階固有頻率（即圖6中 f₄ ）降低，這說明通過轉(zhuǎn)動齒輪可以避開共振頻率，為避振結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了新的思路。基于模態(tài)疊加法分析了 2× 2外嚙合胞在不同角度下的頻幅響應(yīng)，當(dāng) α=0^° ！

20^°?40^° 時，外嚙合齒輪胞超結(jié)構(gòu)在前8階固有頻率范圍下掃頻分析所得到的頻幅響應(yīng)曲線見圖7。結(jié)果表明，低頻激勵下， α=0^° 對應(yīng)的結(jié)構(gòu)頻幅特性穩(wěn)定， α=20^°，40^° 時，在不同頻率區(qū)間出現(xiàn)帶隙，當(dāng) α 逐漸增大，頻輻響應(yīng)曲線的第一個落差峰值逐漸前移，上述現(xiàn)象可解釋為：當(dāng) α 逐漸增大，行星輪逐漸遠(yuǎn)離載荷點(diǎn)，此時超結(jié)構(gòu)剛度逐步減小，根據(jù)固有頻率公式 ，在質(zhì)量 Σ_m 不變的情況下，剛度 k 減小，固有頻率 f 降低，因此當(dāng)超結(jié)構(gòu)柔性增大時，頻幅特性曲線的第一個落差峰值前移。

2.2單胞內(nèi)嚙合行星輪超結(jié)構(gòu)力學(xué)性能

構(gòu)型I中應(yīng)用十字輪輻式外嚙合齒輪作為超結(jié)構(gòu)的基本單元，但顯然由外嚙合齒輪單元組成的超結(jié)構(gòu)在受到拉伸作用時不能保持穩(wěn)定，只能應(yīng)用于壓縮場景。為使齒輪超結(jié)構(gòu)獲得更大的力學(xué)性能調(diào)節(jié)范圍，同時適應(yīng)多種應(yīng)用場景，引入行星齒輪作為超結(jié)構(gòu)的基本單元，在超結(jié)構(gòu)設(shè)計時，將行星齒輪的齒圈作為環(huán)形簡支梁，與之相嚙合的行星輪可以當(dāng)作動態(tài)支點(diǎn)，在內(nèi)嚙合行星齒輪中引入行星架以提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性；此外，舍棄太陽輪以減小結(jié)構(gòu)質(zhì)量，擴(kuò)大齒間空間，利于安裝的同時可減少齒輪間的磨損與沖擊。

如圖8所示，單胞內(nèi)嚙合超結(jié)構(gòu)的齒圈外徑R=40mm ，通過改變行星架轉(zhuǎn)角 β （初始轉(zhuǎn)角β=0^°） 就可以實(shí)現(xiàn)超結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的連續(xù)調(diào)節(jié)。為了方便加載，在齒圈 y 軸方向設(shè)計平面凸臺，基于有限元法對行星齒輪單元進(jìn)行 y 方向上的拉伸與壓縮模擬，圖9為不同的行星架轉(zhuǎn)角 β 下，單胞行星齒輪在多工況下（包括拉伸、壓縮和剪切）的變形云圖和應(yīng)力云圖。基于有限元線性分析得到單胞行星齒輪的應(yīng)力-應(yīng)變曲線見圖10，圖11中的彈性模量曲線可以通過應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率得到，單個行星胞的變形量 y 和剪切模量G 的變化見圖12。研究結(jié)果表明，內(nèi)嚙合超結(jié)構(gòu)的彈性模量與剪切模量調(diào)節(jié)周期為 180^° ，當(dāng)行星輪位置靠近加載位置時，超結(jié)構(gòu)的彈性模量顯著增大，而剪切模量顯著減小，這主要由兩者加載方式不同導(dǎo)致。

在不同的轉(zhuǎn)角 β 下單元胞的固有頻率會發(fā)生變化，如圖13所示。圖14計算了當(dāng)行星架轉(zhuǎn)角β=0^°，30^°，45^° 三種角度時單胞行星齒輪在掃頻激勵下的頻幅響應(yīng)曲線，可以看到三種角度下單胞結(jié)構(gòu)的頻幅特性有顯著變化，與外嚙合齒輪超結(jié)構(gòu)類似，當(dāng)單元胞剛度較低時，圖14中第一個落差峰值前移；同時還注意到， β=0^° 時只有兩個帶隙，另外兩種角度下的單胞結(jié)構(gòu)則有多個帶隙，因此，不同結(jié)構(gòu)形態(tài)對應(yīng)的應(yīng)用場景有顯著區(qū)別。

基于單胞內(nèi)嚙合行星齒輪超結(jié)構(gòu)的拉壓、壓縮與剪切工況模擬可以看出，單胞行星齒輪的力學(xué)性能變化周期為 180^° ，同時，比十字輪輻式齒輪單元的調(diào)節(jié)范圍更大，其中彈性模量的調(diào)節(jié)范圍達(dá)到268倍（從下限值 0.22GPa 到上限值59GPa） ，剪切模量的調(diào)節(jié)范圍為4.5倍（從下限值 到上限值 0.36GPa） 。但需要注意的是，彈性模量 E_e 在行星架轉(zhuǎn)角位于 0^°～30^° 、150^°～180^° 區(qū)間內(nèi)變化顯著，在其他區(qū)間變化較小，而剪切模量 G 在行星架轉(zhuǎn)角位于 60^°～100^° 區(qū)間內(nèi)變化顯著，其他區(qū)間變化較小，因此，使用多齒、小模數(shù)的傳動齒輪有助于精確調(diào)節(jié)。同時，為保證能得到較大的彈性模量，行星齒輪的個數(shù)應(yīng)設(shè)置為偶數(shù)，而行星架的結(jié)構(gòu)決定了超結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能峰值及整個超結(jié)構(gòu)的承載能力。

2.3 多胞內(nèi)嚙合行星輪超結(jié)構(gòu)力學(xué)性能

在單胞行星齒輪的基礎(chǔ)上進(jìn)行二維堆疊可以得到多胞行星齒輪超結(jié)構(gòu)。圖15所示為 3×3 的行星胞齒輪超結(jié)構(gòu)，相鄰齒圈之間經(jīng)凸臺連接成為整體，沿 y 軸上設(shè)置有承載平臺，與單胞行星齒輪不同的是，每個行星架上連接一個外嚙合傳動齒輪，以實(shí)現(xiàn)組合行星胞中行星架同時轉(zhuǎn)動γ角（或一γ角），然后基于有限元法對行星胞的拉伸、壓縮與剪切工況進(jìn)行模擬，分析行星胞的力學(xué)特性，需要說明的是，由于外嚙合直齒輪只起驅(qū)動作用，因此沒有將其納人有限元分析中。

在線性加載的情況下模擬了多胞行星齒輪的變形量 y 和彈性模量 E_e 隨轉(zhuǎn)角γ變化的曲線，見圖16，發(fā)現(xiàn)多胞行星齒輪的拉伸-壓縮行為與單胞內(nèi)嚙合行星超結(jié)構(gòu)類似，當(dāng)γ為 0^°～30^° 時，彈性模量 E_e 隨 γ 增大而迅速減小，當(dāng)γ為 150^°～ 180^° 時，彈性模量 E_e 隨 γ 增大而迅速增大，對應(yīng)的彈性模量調(diào)節(jié)范圍達(dá)到231倍（從上限值0.25GPa 到下限值 57.8GPa） ，在其他位置，彈性模量數(shù)值來回跳動，但變化較小。這是由于行星胞在二維平面內(nèi)與單個行星齒輪單元具有串并聯(lián)的關(guān)系，因此可以推測，由這種行星齒輪單元組成的二維 為胞元個數(shù)）行星胞與單胞行星輪的拉伸-壓縮行為是一致的，而它們在數(shù)值上的差異歸因于齒圈單元的連接方式以及裝配誤差。

圖17為基于有限元法得到的二維行星胞的變形量 y 和剪切模量 G 隨行星架轉(zhuǎn)角γ的變化關(guān)系曲線，與單個行星胞相比，盡管剪切模量 G 取得最大值的位置是一致的，但是它們隨 γ 角變化趨勢是明顯不同的，多胞行星齒輪超結(jié)構(gòu)的剪切模量 G 調(diào)節(jié)范圍為4倍（從下限值 到上限值 。由掃頻分析計算得到的頻幅響應(yīng)曲線見圖18，本文選取了3個角度作為對比（γ=30^°，45^°，50^°） ，可以看到，角度γ增大使得第1個落差峰值頻率（即第四階固有頻率）降低，但3種角度下結(jié)構(gòu)的帶隙基本一致；同時還注意到，γ從 30^° 增大到 45^° 時，頻幅響應(yīng)曲線變化較小，但γ=50^° 時，頻幅曲線在低頻區(qū)間有顯著波峰，說明頻幅曲線也存在快速變化區(qū)間，并且該區(qū)間與 E_e 和 G 快速變化區(qū)間不同。

3齒輪超結(jié)構(gòu)在減振領(lǐng)域的應(yīng)用前景

將機(jī)械超結(jié)構(gòu)應(yīng)用到減振設(shè)備中，一方面要保證原結(jié)構(gòu)有足夠的強(qiáng)度，同時還要賦予結(jié)構(gòu)力學(xué)性能連續(xù)可調(diào)的能力，以提高原設(shè)備的穩(wěn)定性與適應(yīng)性。本文所設(shè)計的齒輪機(jī)械超結(jié)構(gòu)可保持穩(wěn)定性、強(qiáng)度和高承載能力，同時具有原位可調(diào)性，可編程性強(qiáng)且易于實(shí)現(xiàn)。齒輪組提供了廣闊的設(shè)計空間，允許超結(jié)構(gòu)的可定制性能，除已研究的彈性模量、形狀變形和剪切模量外，可調(diào)性還可擴(kuò)展到其他彈性性能，如沖擊保護(hù)、泊松比、強(qiáng)度、變形模式甚至阻尼系數(shù)。通過高分辨率和大規(guī)模3D打印，可以將齒輪基超結(jié)構(gòu)進(jìn)一步制造與集成。以齒輪構(gòu)建的減振裝置在智能與自適應(yīng)設(shè)備中具有獨(dú)特優(yōu)勢。

如圖19a所示，以外嚙合齒輪胞為核心元素，設(shè)計了用于裝配的輔助框架和對應(yīng)的承載平板，形成適合平面結(jié)構(gòu)減振的超結(jié)構(gòu)，如將其應(yīng)用在減振地基中。如圖19b所示，分別將輔助框架設(shè)計成平面結(jié)構(gòu)、弧形結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部裝配多組經(jīng)齒形優(yōu)化的內(nèi)嚙合行星齒輪[14]，通過調(diào)節(jié)行星齒輪的位置，使框架具備連續(xù)調(diào)節(jié)的力學(xué)性能，從而提高了齒輪超結(jié)構(gòu)在各種結(jié)構(gòu)中的適用性。此外，齒輪機(jī)械超結(jié)構(gòu)在機(jī)器人等智能設(shè)備領(lǐng)域具備廣闊的應(yīng)用前景。例如，在機(jī)器人的腿部軀干上應(yīng)用這種超結(jié)構(gòu)可以有效減少執(zhí)行跳躍任務(wù)時的大幅振動。同樣，將這種超結(jié)構(gòu)應(yīng)用在機(jī)器人關(guān)節(jié)處可以增強(qiáng)其對頻繁肢體擺動和扭轉(zhuǎn)的適應(yīng)性，通過主動調(diào)節(jié)重新配置系統(tǒng)參數(shù)，進(jìn)而優(yōu)化系統(tǒng)動態(tài)性能[15]。圖19c中，利用多組外嚙合齒輪演示了多源調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)了更精確的調(diào)節(jié)能力，中間的圓孔提高了減振結(jié)構(gòu)的裝配性能，為超結(jié)構(gòu)的減振設(shè)計帶來了更多可能性。人工智能的不斷發(fā)展將加速齒輪力學(xué)可調(diào)超結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)智能化和自適應(yīng)，進(jìn)一步增強(qiáng)其在各種設(shè)備中的功能性與適應(yīng)性。

4結(jié)論

基于齒輪的強(qiáng)耦合和內(nèi)置可變性，使用輪輻式齒輪和內(nèi)嚙合行星齒輪作為核心組成元素，提出一種可編程性能裝置的非傳統(tǒng)設(shè)計方案，為機(jī)械超結(jié)構(gòu)的設(shè)計拓寬道路，結(jié)論如下：

（1）基于齒輪元胞的機(jī)械超結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)力學(xué)性能的連續(xù)穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)，這種調(diào)節(jié)方式是有源主動的，并且得益于齒輪的穩(wěn)定傳動，因此齒輪元胞超結(jié)構(gòu)具備良好的動態(tài)穩(wěn)定性。

（2）所設(shè)計的兩種齒輪超結(jié)構(gòu)具有相當(dāng)可觀的性能調(diào)節(jié)范圍，十字輪輻式齒輪胞的彈性模量調(diào)節(jié)范圍為14.4倍，其剪切模量調(diào)節(jié)范圍達(dá)到了2.4倍；單個行星齒輪元胞和由其組成的行星齒輪晶胞具有相近的拉-壓性能，它們的彈性模量調(diào)節(jié)范圍分別達(dá)到268倍和231倍，對應(yīng)的剪切模量調(diào)節(jié)范圍為4.5倍和4倍。

（3）基于模態(tài)分析發(fā)現(xiàn)三種微觀齒輪單元的固有特性是連續(xù)可調(diào)的，通過形態(tài)的變化可以實(shí)現(xiàn)齒輪胞固有頻率和模態(tài)的調(diào)節(jié)，此外，齒輪機(jī)械超結(jié)構(gòu)在激勵下的頻幅響應(yīng)是不同的，這為避振、減振裝置的設(shè)計提供了新的思路。

（4）由微觀齒輪單元構(gòu)成的機(jī)械超結(jié)構(gòu)具有廣闊的潛在應(yīng)用，通過調(diào)整齒輪的結(jié)構(gòu)、尺寸，合理設(shè)計輔助框架，可以設(shè)計出多種減振裝置，從而幫助更多智能設(shè)備實(shí)現(xiàn)減振及動態(tài)性能優(yōu)化。

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（編輯胡佳慧）

作者簡介：莫帥”，男，1987年生，教授，博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)榱W(xué)超材料設(shè)計及復(fù)雜非線性動力學(xué)。E-mail： moshuai2010@163.com。本文引用格式：

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