考慮端部效應(yīng)的電磁直線執(zhí)行器解析建模方法

中圖分類號：TM359.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.7535/hbkd.2025yx04002

Analytical modeling method for electromagnetic linear actuators considering end effects

LIYuxin，LI Bo，GE Wenqing，LUJiayu，CHENJiewei （Schoolof Transportationand VehicleEngineering，Shandong Universityof Technology，Zibo，Shandong 2550o，China

Abstract：Inordertosolve theproblemof magneticfielddistortioncausedbythehigh magnetic permeabilityoftheend cover of movingcoil electromagneticlinearactuator，which leadstofluctuations inthethrustofactuatorandtheinaccuracyof the analyticalsolution，amagneticfieldanalyticalmodelingmethodcombiningthepseudo-periodmethodandthemagneticvector potential methodwas proposed.Considering theendefect，the virtualarraywas extended toboth sidesof thepermanent magnetandwindingarrayinthepseudo-periodtocompensatetheend magneticcircuit，andtheanalytical expresionsof the magneticfielddistributionof theopencircuitandarmaturereactionwerederived intheformofFourierseries.Onthis basis， theanalytical expressionof electromagnetic thrust wasderivedbyLorentzforce method.Theresultsshow thatcompared with finite element simulation，the maximum error of the analyzed thrust value is 9.04% when ignoring the end cap，while the maximum error of the analyzed thrust value is 3.97% when considering the end effect，which verifies the effectiveness of the proposed method；the average relative error of the experiment is 3.77% ，which verifies the correctness of the proposed method.This methodcanefectivelyconsiderthe influenceof theendcaponthe magnetic fielddistortion，which provides theoreticalreferenceforsolvingtheelectromagneticcharacteristicsof theelectromagneticlinearactuatorquicklyandacurately， optimizing the structural parameters and the control process.

Keywords：electrical machinery；movingcoilelectromagneticlinearactuator；analyticalmodeling；pseudo-periodicmethod; end effect

動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器與旋轉(zhuǎn)電機(jī)相比，沒有機(jī)械齒輪或傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡單、效率高、推力密度高的特點(diǎn)，現(xiàn)已常用于軍事、高精度車床及汽車等領(lǐng)域[1]。由于動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器在汽車領(lǐng)域的應(yīng)用逐漸深入，分析執(zhí)行器運(yùn)行的穩(wěn)定性和性能以及對其電磁性能的研究也日益受到重視。

目前對動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器磁場計(jì)算的研究主要包括有限元法和解析法[2-3]。有限元法可以在考慮復(fù)雜結(jié)構(gòu)及各種非線性問題的條件下進(jìn)行電機(jī)磁場分析計(jì)算，求解精度高且適用性好[4]。但其運(yùn)算周期長，適合用于對提出的模型進(jìn)行正確性驗(yàn)證[5]。解析法以電磁場理論為基礎(chǔ)，常見的有保角映射法、等效磁網(wǎng)絡(luò)模型、等效面電流模型、磁矢勢模型等。文獻(xiàn)[6利用保角變換得到了氣隙復(fù)數(shù)磁導(dǎo)，進(jìn)而考慮到定子開槽的影響。但該方法無法考慮飽和導(dǎo)致的非線性，并且永磁體的存在會(huì)使該方法的應(yīng)用變復(fù)雜[7]。文獻(xiàn)[8-9]針對永磁直線電機(jī)建立了等效磁網(wǎng)絡(luò)模型并分析了電磁力、磁鏈等與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，但該方法計(jì)算精度受限于等效磁導(dǎo)單元數(shù)量，需要平衡計(jì)算精度與計(jì)算時(shí)間。文獻(xiàn)[10]采用等效面電流法分析了不同結(jié)構(gòu)直線電機(jī)的氣隙磁場分布，雖然該方法可考慮磁飽和，但只能計(jì)算結(jié)構(gòu)上的幾個(gè)離散點(diǎn)的橫向磁場。文獻(xiàn)[11]最早使用極坐標(biāo)系建立了標(biāo)量磁位的拉普拉斯和泊松方程，得到永磁電機(jī)的磁矢勢模型，并求解了定子無槽徑向充磁永磁電機(jī)空載氣隙磁場，該方法可以快速計(jì)算直線電機(jī)的氣隙磁場分布。文獻(xiàn)[12-13]計(jì)算了動(dòng)磁式直線電機(jī)永磁體陣列假設(shè)為無限長時(shí)的氣隙磁密，但此時(shí)無法考慮永磁體陣列的端部效應(yīng)。文獻(xiàn)[14-15]將偽周期法與子域法相結(jié)合，考慮了有限長永磁體陣列的端部效應(yīng)，提高了永磁體端部磁場的解析精度，但不適用于動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器中端蓋引起的端部磁場畸變。動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器的端部效應(yīng)體現(xiàn)在端蓋的高磁導(dǎo)率特性會(huì)改變執(zhí)行器兩端的磁路從而改變磁場分布，最終對推力的波動(dòng)產(chǎn)生影響，因此求解磁場時(shí)不應(yīng)忽略這種現(xiàn)象。

精確的磁場解析模型能為執(zhí)行器的電磁推力推導(dǎo)、結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化及控制過程提供理論依據(jù)。本文為求解端蓋導(dǎo)致的磁場畸變，首先，在磁場解析建模過程中引入偽周期概念，通過擴(kuò)展磁場源陣列的方式補(bǔ)償端部磁路；然后，以修正的傅里葉級數(shù)形式推導(dǎo)磁場的泊松方程及拉普拉斯方程得到磁場分布，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出推力解析表達(dá)式；最后通過與有限元和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比，驗(yàn)證所提解析建模方法的準(zhǔn)確性。

1電磁直線執(zhí)行器結(jié)構(gòu)

本文研究的動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器用于直驅(qū)空氣懸架用空氣壓縮機(jī)[16]，其結(jié)構(gòu)如圖1a）所示。

執(zhí)行器結(jié)構(gòu)如圖1b）所示，該結(jié)構(gòu)主要部件包括內(nèi)外磁軛、端蓋、Halbach永磁體陣列、線圈及線圈骨架。磁軛及端蓋在磁路中起導(dǎo)通磁路的作用，同時(shí)為動(dòng)子的運(yùn)動(dòng)起導(dǎo)向支撐作用。永磁體陣列安裝在外磁軛內(nèi)，采用徑向磁化磁瓦和軸向磁化磁環(huán)以Halbach陣列形式安裝，其自屏蔽效應(yīng)可以加強(qiáng)線圈處的磁感

應(yīng)強(qiáng)度，從而提高動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器的推力密度。動(dòng)子部分由線圈及線圈骨架構(gòu)成，在氣隙磁場中，線圈通電后受洛倫茲力作用產(chǎn)生軸向運(yùn)動(dòng)，并由與之固定的線圈骨架對外輸出力。

2電磁直線執(zhí)行器磁場及推力解析建模

2.1基于偽周期的開路磁場解析建模

永磁體陣列由徑向磁化磁瓦和軸向磁化磁環(huán)組合，且電樞繞組在結(jié)構(gòu)上關(guān)于軸向?qū)ΨQ，氣隙磁通密度在柱坐標(biāo)系中的分布是關(guān)于軸向?qū)ΨQ的，因此可簡化為二維模型以便于解析計(jì)算，同時(shí)做出以下假設(shè)：

1）內(nèi)、外磁軛相對磁導(dǎo)率恒定且為無窮大；

2）永磁體相對磁導(dǎo)率恒為1；

3）不考慮電樞繞組的集膚效應(yīng)；

4）為便于傅里葉級數(shù)展開，認(rèn)為模型沿軸向無限重復(fù)。

求解磁場分布前先根據(jù)磁場激勵(lì)源劃分求解區(qū)域，然后采用分離變量法以及傅里葉級數(shù)展開求解各區(qū)域的磁矢勢。根據(jù)結(jié)構(gòu)條件對執(zhí)行器劃分求解區(qū)域，建立二維開路永磁體磁場簡化解析模型，如圖2所示。

圖2中模型被劃分為永磁體弱磁側(cè)氣隙區(qū)域I、永磁體陣列區(qū)域Ⅱ及永磁體強(qiáng)磁側(cè)氣隙區(qū)域Ⅲ。其中， R_n 為內(nèi)磁軛外徑 為永磁體內(nèi)徑， .R_pw 為永磁體外徑 為外磁軛內(nèi)徑 ?τ_r 為徑向磁化磁瓦寬度、 τ_z 為軸向磁化磁環(huán)寬度、 τ₁ 為永磁體陣列寬度。

磁通密度的分布由永磁體陣列磁化矢量分布的情況決定，采用傅里葉級數(shù)展開的方法來描述磁化矢量，在柱坐標(biāo)系中磁化矢量表示為

M=M_re_r+M_ze_z，

一執(zhí)行器內(nèi)磁場分布；---偽周期足夠大的解析結(jié)果。

式中： M_r 為磁化矢量的徑向分量； M_z 為磁化矢量的軸向分量?？紤]永磁體陣列端部效應(yīng)的傳統(tǒng)解析模型將偽周期假設(shè)為足夠大，1個(gè)周期內(nèi)包含1組原永磁體陣列，陣列之間由空氣隔開以消除相鄰陣列間磁場的影響，使解析的端部磁場向遠(yuǎn)端趨近于零以解得端部效應(yīng)，此時(shí)磁場分布的求解情況如圖3所示。

圖3中磁場分布整體可劃分為類余弦分布區(qū)域和兩側(cè)畸變區(qū)域，偽周期 τ_lp 足夠大時(shí)解析模型求解的磁場分布如虛線所示，永磁體陣列兩側(cè)靠近氣隙處的磁通密度迅速降低，并隨著軸向距離的增加逐漸趨向于零，對無端蓋影響時(shí)永磁體陣列的磁場分布求解精度較好。而端蓋是動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器中重要的組成部分，除固定和支撐作用外，高導(dǎo)磁端蓋構(gòu)成了端部的主要磁通路，起到了增強(qiáng)磁通、提高永磁體利用率的作用，其增強(qiáng)磁通的作用會(huì)使端部磁場畸變，由此對推力產(chǎn)生影響。此時(shí)磁場分布如圖3中實(shí)線所示，近端部磁場被加強(qiáng)，靠近 τ₁/2 即端蓋內(nèi)側(cè)面處的磁場趨近于零，傳統(tǒng)偽周期法解得的磁場趨勢不再吻合，不適用于動(dòng)圈式執(zhí)行器的解析求解。

為求解包含端蓋影響磁場的分布，建立的永磁體陣列模型偽周期如圖4所示，實(shí)際陣列兩側(cè)空白區(qū)域定義為磁化方向相反的反向陣列。由圖3可知，一組陣列產(chǎn)生的磁場在兩側(cè)逐漸衰減為零，由磁場疊加原理可知，類余弦分布區(qū)域的磁場不會(huì)被影響。

而在反向陣列的作用下，端部的磁路得到補(bǔ)償，與有端蓋情況下的磁路形式一致。此時(shí)對偽周期內(nèi)磁化矢量進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開可得：

式中 m_k=2kπ/τ_lp 。令 cax=τ_r/2+τ_z ，求解傅里葉級數(shù)系數(shù)可得：

執(zhí)行器內(nèi)磁場接近穩(wěn)靜磁場，存在的本構(gòu)關(guān)系表示為

式中： B_I，B_I，B_II 及 分別為各區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度，單位分別為T及 A/m;μ₀ 為真空磁導(dǎo)率，其值為 4π×10^-7N/A²;μ 為永磁體的相對磁導(dǎo)率； M₀ 為永磁體的剩余磁化強(qiáng)度， A/m 。

模型中引入磁矢勢 A 用以求解磁通密度分布，首先由麥克斯韋方程組推導(dǎo)得到磁場的控制方程，由磁場的基本特性 abla?B=0 可得：

B=?×A

空載時(shí)，各區(qū)域電流密度 J=0 ，因此氣隙區(qū)域有 abla×H=0 ，式（5）可表示為

abla×?×A_p=μ₀?×M

氣隙區(qū)域I及氣隙區(qū)域Ⅲ中無磁場激勵(lì)源，永磁體區(qū)域 I 中磁化強(qiáng)度 M=M₀ ，考慮外爾規(guī)范 abla?A= 0，各區(qū)域控制方程表示為

考慮到電磁直線執(zhí)行器永磁體陣列是軸對稱分布，因此執(zhí)行器內(nèi)磁場也為軸對稱分布， ??A_p 僅有周向分量 A_pi，θ ，其中 i=I ， I ，Ⅲ；由此得到區(qū)域I、區(qū)域Ⅲ的拉普拉斯方程為

區(qū)域 I 的泊松方程為

采用分離變量法對式（8）、（9）進(jìn)行求解，得到各區(qū)域磁矢勢為

式中 I_i（x），K_i（x） 分別為第 i 階的第一類、第二類修正貝塞爾函數(shù)，定義表示為

L_i（x） 為修正斯特魯夫函數(shù)，由斯特魯夫函數(shù) H_i（x） 導(dǎo)出，其定義表示為

根據(jù)式（5）求解得到氣隙區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度分布為

式中： B_pi，r?B_pi，z 分別為區(qū)域 i 中的徑向磁通密度和軸向磁通密度； a_i，k，b_i，k 分別修正貝塞爾函數(shù)的待求解系數(shù)。令 T_k=-πμ₀R_k/2m_k ，得到永磁體區(qū)域 I 的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布為

為求解式中的待定系數(shù)，需要根據(jù)模型建立邊界條件，混合邊界條件表示為

由式（14）—（16）可得待定系數(shù)求解矩陣，計(jì)算可得空載磁場分布的唯一解。

2.2基于偽周期的電樞反應(yīng)磁場解析建模

動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器通電工作時(shí)，由電樞繞組激發(fā)的電磁場與永磁體磁場相疊加，產(chǎn)生電樞反應(yīng)使氣隙磁場分布發(fā)生畸變，是影響電磁場分布的重要因素之一。

采用同樣的方法來描述電樞反應(yīng)磁場分布。假設(shè)永磁體的磁導(dǎo)率為1，此時(shí)永磁體區(qū)域可以和氣隙合并，視為一個(gè)氣隙區(qū)域。因此，電樞反應(yīng)解析模型中同樣被劃分為3個(gè)區(qū)域，如圖5所示。

該模型中區(qū)域劃分為繞組區(qū)域Ⅱ以及繞組兩側(cè)的氣隙區(qū)域I、Ⅲ，其中 R_cn 為繞組內(nèi)徑、 R_cw 為繞組外徑 、τ_w 為單個(gè)繞組寬度 ?τ_m 為相鄰兩繞組間的極距離。

為考慮端蓋對端部電樞反應(yīng)磁場的導(dǎo)磁作用，在偽周期內(nèi)擴(kuò)展與實(shí)際電樞繞組電流方向相同的虛擬繞組陣列以模擬端部磁路，此時(shí)電樞反應(yīng)場的偽周期繞組結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6中，黃色區(qū)域代表實(shí)際繞組，是模型最終需要求解的區(qū)域，虛擬繞組與實(shí)際繞組關(guān)于 r 軸對稱分布。偽周期內(nèi)對電流密度進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開可得：

式中 C_k 為傅里葉級數(shù)系數(shù)。電樞在執(zhí)行器工作時(shí)需往復(fù)運(yùn)動(dòng)，受端蓋導(dǎo)磁特性影響，不同位置電樞反應(yīng)場會(huì)發(fā)生變化。為便于動(dòng)態(tài)計(jì)算不同位置處的電樞反應(yīng)場，設(shè) y=-τ_d+z_d ，其中 z_d 為繞組移動(dòng)距離， τ_d 為繞組在中間位時(shí)，外側(cè)繞組中心與端蓋內(nèi)側(cè)面的距離，其值為 τ_d=τ_z+τ_r/2 ，計(jì)算系數(shù)可得：

式中 n_k=2kπ/τ_cp 。由 abla×H=J 得電樞區(qū)域 I 中磁矢勢可表示為

abla×?×A_c=μ₀μ_rJ

由式（1）得各區(qū)域的控制方程可表示為

電樞繞組為軸對稱結(jié)構(gòu)，電流密度僅有切向分量，因此磁矢勢也僅有切向分量。根據(jù)式（20）建立區(qū)域I、區(qū)域Ⅲ的拉普拉斯方程，并利用分離變量法求解得到磁通密度分布為

式中 Λ_Ci?d_i 為待求解系數(shù)。對區(qū)域 I 建立泊松方程，令 P_k=-πμ₀C_k/2n_k ，可解得：

電樞反應(yīng)模型混合邊界條件可表示為

負(fù)載時(shí)，根據(jù)磁場疊加原理，將開路磁場與電樞反應(yīng)場線性疊加即可得負(fù)載時(shí)磁場的分布情況。

2.3 電磁推力推導(dǎo)

動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器中電樞繞組所受的電磁推力滿足洛倫茲定律：

對繞組2的推力計(jì)算可得：

同樣的方法計(jì)算繞組1、繞組3的推力，加和得到的電樞總推力為

式中：

由上述推導(dǎo)，根據(jù)不同時(shí)刻線圈所在軸向位置及電流密度的大小可積分得到線圈所受電磁推力的大小。

3有限元驗(yàn)證及結(jié)果討論

為驗(yàn)證所提解析方法的有效性，對動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器進(jìn)行有限元仿真。本文所研究動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，在JMAG Designer 電磁場仿真軟件中建立包含端蓋的動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器有限元模型，選取電樞外表面處的磁場分布進(jìn)行對比。

在JMAG中進(jìn)行靜態(tài)磁場仿真可以得到由永磁體激發(fā)的開路磁場分布，與考慮端蓋影響及忽略端蓋時(shí)的解析模型結(jié)果對比如圖7所示。

由圖7可知，忽略端蓋影響時(shí)，中間區(qū)域磁場分布基本一致，但靠近端部位置時(shí)，求解誤差變大且分布趨勢不再吻合，因此傳統(tǒng)偽周期法不適用于本電磁直線執(zhí)行器結(jié)構(gòu)。而考慮端蓋影響的解析模型因偽周期內(nèi)虛擬永磁體陣列模擬了端蓋引起的磁路變化，磁通密度在繞組運(yùn)動(dòng)范圍中靠近端部處被加強(qiáng)并在端蓋內(nèi)側(cè)面趨向于零，與有限元模型的結(jié)果整體吻合較好，驗(yàn)證了考慮端部效應(yīng)的開路磁場解析模型的正確性。

將永磁體區(qū)域材料定義為空氣，設(shè)置繞組電流值為8A，電樞繞組在 z_d=0 和 z_d=+5mm 處分別進(jìn)行靜態(tài)仿真可得到端蓋存在時(shí)僅由電樞繞組激發(fā)的電磁場分布，與解析結(jié)果對比如圖8所示。由圖可知，與有限元結(jié)果相比，當(dāng)忽略端蓋存在時(shí)，偽周期無窮大的解析結(jié)果誤差較大且磁場分布趨勢不一致，由于無法考慮端蓋對磁路的影響，此時(shí)也無法體現(xiàn)電樞移動(dòng)時(shí)電樞反應(yīng)磁場的變化。而考慮端部效應(yīng)的解析模型結(jié)果與有限元得到的磁場分布趨勢基本吻合： z_d=0 時(shí)，磁通密度向端蓋內(nèi)側(cè)處逐漸趨向于零； z_d=+5mm 時(shí)，結(jié)構(gòu)上電樞不再關(guān)于軸向?qū)ΨQ，遠(yuǎn)離端蓋側(cè)磁通密度趨零段變長而靠近端蓋側(cè)磁通密度趨零段縮短。結(jié)果驗(yàn)證了考慮端部效應(yīng)電樞反應(yīng)磁場解析模型的正確性。

在靜態(tài)開路磁場仿真基礎(chǔ)上設(shè)置電樞繞組，在8A電流下進(jìn)行仿真得到負(fù)載磁場分布，與解析模型結(jié)果對比如圖9所示。由圖可知，電樞反應(yīng)使負(fù)載磁場隨電樞位置產(chǎn)生變化，解析模型與有限元結(jié)果吻合較好，

進(jìn)一步驗(yàn)證了考慮端部效應(yīng)的解析模型的正確性。

為對比驗(yàn)證推力的有效性，設(shè)置電樞繞組電流為8A，在0到 +5mm 行程內(nèi)進(jìn)行有限元瞬態(tài)仿真及解析計(jì)算。為直觀對比解析與有限元的誤差情況，定義相對誤差如下：

式中： F_FEM 為有限元法求解的推力值； F_AM 為解析法求解的推力值。

在磁場解析模型基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到的電磁推力分布與有限元結(jié)果對比如圖10所示。

因?yàn)楹雎远松w時(shí)靠近端部的磁通密度明顯較小，如圖中紅色曲線所示，此時(shí)計(jì)算得到的推力偏低，最大誤差為 9.04% 。隨著行程增大，各繞組偏離磁場的幅值區(qū)域，推力隨行程增大會(huì)逐漸降低。考慮端部效應(yīng)的推力解析值誤差由圖中藍(lán)色曲線所示，在端部處，磁場解析值誤差增大從而導(dǎo)致解析的推力值相對偏高，與有限元結(jié)果的最大誤差為 3.97% ，相對忽略端蓋時(shí)提高了求解精度，驗(yàn)證了解析模型的準(zhǔn)確性。

4電磁推力實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提解析方法的正確性，搭建動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器靜態(tài)電磁推力測試平臺(tái)，如圖11所示。

測試平臺(tái)由樣機(jī)、DYLY-103力傳感器（量程2kN）、支撐平臺(tái)、上位機(jī)、RUT-BOX控制單元、驅(qū)動(dòng)單元以及直流電源組成。執(zhí)行器結(jié)構(gòu)對稱，因此為簡化實(shí)驗(yàn)過程僅測量單側(cè)行程，即 0～+5mm 位移段內(nèi)的推力值。測試時(shí)，通入8A電流，通過調(diào)整動(dòng)子位置，每隔 0.5mm 作為一個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行推力值檢測，測得的實(shí)驗(yàn)值如圖12所示。

結(jié)果表明，考慮端部效應(yīng)的推力解析和有限元結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果的趨勢基本吻合，而測試值低于有限元值，誤差存在的原因是由于永磁體裝配間隙導(dǎo)致電磁性能下降以及存在測量誤差。計(jì)算可得實(shí)驗(yàn)最大相對誤差為 5.69% ，出現(xiàn)在 +5mm 位移處，平均相對誤差為3. 77% ，驗(yàn)證了所提出解析建模方法的正確性。

5結(jié)語

為精確求解在端蓋影響下的磁場分布及推力變化，以動(dòng)圈式電磁直線執(zhí)行器為研究對象，建立了包含端部效應(yīng)的執(zhí)行器磁場解析數(shù)學(xué)模型，主要結(jié)論如下。

1）在原永磁體陣列的兩側(cè)擴(kuò)展磁化方向相反的虛擬永磁體陣列以補(bǔ)償端部磁路，在新的偽周期內(nèi)推導(dǎo)了考慮端部效應(yīng)的開路磁場解析式；在電樞繞組一側(cè)擴(kuò)展同向電流虛擬繞組，并引入位置參數(shù) z_d 到新的偽周期內(nèi)以便于求解磁場隨位移的變化，建立了考慮端部效應(yīng)和位置因素的電樞反應(yīng)磁場解析式。

2）通過與各工況下的有限元仿真對比驗(yàn)證，與傳統(tǒng)偽周期法求解得到的磁通密度分布相比，考慮端部效應(yīng)的解析磁通密度分布趨勢與有限元結(jié)果更相吻合，驗(yàn)證了磁場解析模型的正確性。

3）在磁場解析模型基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了推力解析式，計(jì)算得到電磁推力與位移的關(guān)系。通過與有限元的推力值對比，忽略端蓋時(shí)的誤差為 9.04% ，考慮端部效應(yīng)的最大誤差為 3.97% ，因此，考慮端部效應(yīng)時(shí)模型的求解精度更高，驗(yàn)證了所提解析方法的有效性；實(shí)驗(yàn)平均相對誤差為 3.77% ，驗(yàn)證了所提解析方法的正確性。

本文所提磁場解析建模方法僅考慮了由端蓋引起的端部效應(yīng)的影響，而未考慮磁飽和等因素的影響，導(dǎo)致求解誤差增大。未來還需采用更多修正方法完善解析建模過程，以提高建模精度。

參考文獻(xiàn)/References：

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