“排列”與“組合”，定義大不同

江蘇省姜堰中學(xué) 張圣官

“排列”與“組合”問題的求解往往需要縝密的思維方式和獨(dú)特的解決辦法，考慮稍有不周便會(huì)出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”而導(dǎo)致計(jì)數(shù)的結(jié)果發(fā)生偏差，在初學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)我們首先要把握定義的實(shí)質(zhì).

1.“有序”或“無序”是“排列”與“組合”定義的本質(zhì)區(qū)別

通俗地講，排列即有序，組合即無序，“有序”或“無序”是區(qū)分“排列”與“組合”的重要標(biāo)志.從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中取三個(gè)不同的數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這時(shí)要考慮有序，如123與213就是其中不同的兩個(gè)排列；而從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中取三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)集合，這時(shí)是無序的，像{1，2，3}就是其中一個(gè)組合.例如，從1，3，5，7四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相乘可得多少個(gè)不同的積？從1，3，5，7四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相除可得多少個(gè)不同的商？第一個(gè)“無序”是組合問題，結(jié)果為C24=6；第二個(gè)“有序”是排列問題，結(jié)果為A24=12.當(dāng)然，第二題也可以分步進(jìn)行，先從4個(gè)數(shù)中選兩個(gè)，再將選出的兩數(shù)按分子、分母討論，一樣可得結(jié)果為C24·A22=12.事實(shí)上，Amn=Cmn·Amm是永遠(yuǎn)成立的.

碰到有關(guān)順序一定的計(jì)數(shù)問題怎么辦？例如讓5個(gè)人排成一排，要求其中甲、乙兩人中甲必須在乙的左邊（可相鄰或不相鄰），排法有多少種？結(jié)果為怎樣解釋呢？在5人全排列A55中每一種都算了A22次（甲在乙左邊或甲在乙右邊），因此符合事實(shí).當(dāng)然，換個(gè)角度思考，第一步從5個(gè)座位中選2個(gè)座位讓甲、乙兩人去坐，由于甲在乙的左邊，兩人確定地坐下了，第二步讓另外3人隨便坐，這樣結(jié)果為C25·A33=60，結(jié)果一樣正確.從這個(gè)意義講，“排列”與“組合”又是辯證統(tǒng)一的.比如，要求有多少個(gè)百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字依次減小的三位數(shù)？用或C39+C29或C310都行，你能分別給以解釋嗎？

2.“排列”或“組合”必須是“從n 個(gè)不同元素中取出m 個(gè)（不同）元素”

我們教材中所學(xué)的“排列”與“組合”，前提條件首先必須是“從n個(gè)不同的元素中取出m 個(gè)（不同）元素”.之所以要突出“不同”兩字，說明相同元素問題可不能直接套用排列組合公式.

例1（1）若a，b∈{3，4，5}，則函數(shù)f（x）=ax2+bx 有多少條不同的對(duì)稱軸？

（2）若{a，b}?{3，4，5}，則函數(shù)f（x）=ax2+bx 有多少條不同的對(duì)稱軸？

解析二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=故只要研究有多少個(gè)不同的的值即可，都有順序但要注意兩小題的區(qū)別.第（1）小題中a，b∈{3，4，5}，當(dāng)a，b不同時(shí)有6個(gè)不同的的值，當(dāng)a，b相等時(shí)因此共有7條不同的對(duì)稱軸；第（2）小題中{a，b}?{3，4，5}，說明a，b必須不相等，因此只有6條不同的對(duì)稱軸.

換一個(gè)角度來看，在某些計(jì)數(shù)問題中，我們還要善于在關(guān)于“相同元素”的問題中挖掘出不同因素，這樣才能運(yùn)用排列或組合解題.

例25個(gè)“1”與2個(gè)“2”可以組成多少個(gè)不同的數(shù)列？

解析按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.由于7個(gè)位置不同，故只要優(yōu)先選兩個(gè)位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”，思考一下兩種方法的優(yōu)劣）.因此，一共可以組成C27C55=21個(gè)不同的數(shù)列.問題如果改成：“將5個(gè)相同的紅球與2個(gè)相同的白球排成一排，問有多少種不同的結(jié)果”，答案其實(shí)是一樣的.

點(diǎn)評(píng)本題還可以分類解決.先把5個(gè)“1”放好，再把2個(gè)“2”插入.但要注意分兩個(gè)“2”在一起和分開在兩處兩種情形討論.結(jié)果為有C16+C26=21個(gè)不同的數(shù)列.

例310個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球，問有多少種不同的方法？

解析小球相同但盒子不同，本題相當(dāng)于將10個(gè)相同小球分成3堆，可將10個(gè)球一字排開，中間有9個(gè)空檔，在這9個(gè)空檔中選2個(gè)插入2個(gè)隔板，每一種插法對(duì)應(yīng)一種放小球的方法.因此，共有C29=36種放法.這種解題方法稱為“隔板法”.

3.“排列”與“組合”問題歸根結(jié)底關(guān)鍵還是在于準(zhǔn)確計(jì)數(shù)

排列、組合是兩類特殊而重要的計(jì)數(shù)模型，求解的基本手法是準(zhǔn)確利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，首先要考慮分類或分步，然后常常是先組后排，最終要確保結(jié)果“不重不漏”.

例4如圖1，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D 共4塊，現(xiàn)有4種不同的花供選擇，要求在每塊里種1種花且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法為_______.

圖1

解法一先按A，C 是否選種相同的

解法二按選種幾種花來分類求解.若選種4種花有A44種；若選種3種花，則有A，C種同一種花，B，D 種另2種花，或者B，D 種同一種花，A，C 種另2種花兩種情形，2C34A33種；若選種2種花，則A，C與B，D 分別種同一種花，C24A22種.總共84種.最后通過一則教學(xué)案例，來說明利用排列組合定義解題時(shí)的一些注意點(diǎn).

師：把形狀大小完全相同的分別標(biāo)有1，2，3的3個(gè)小球隨機(jī)地放在編號(hào)分別是1，2，3，4的4個(gè)盒子中，則1號(hào)盒子內(nèi)有球的不同放法有多少種？

生1（先下手為強(qiáng)）：先從3個(gè)球中任取一個(gè)放在1號(hào)盒內(nèi)，其余2球任意放，得=48種放法.（因重復(fù)計(jì)數(shù)而犯錯(cuò)）

生2（折半扣除）：以上解法重復(fù)，應(yīng)折半扣除，只有24種.（因出現(xiàn)新的遺漏致誤）

生3（套用隔板）：由隔板法得C25=10種.（視3個(gè)球完全相同而致誤）

生4（抓1號(hào)球分類求解）：按1號(hào)球放“1號(hào)盒、2號(hào)盒、3號(hào)盒、4號(hào)盒”分類.第1類，1號(hào)球在1號(hào)盒內(nèi)且另2球任意放，有C14C14種；第2類時(shí)，1號(hào)盒又分有1球或有2球兩種情形，有種；第3類、第4類與第2類相同.因此共有C14C14+3（C12C13+C22）=37種放法.（特殊元素法）

生5（抓1號(hào)盒分類求解）：按1號(hào)盒內(nèi)分別放“1個(gè)球、2個(gè)球、3個(gè)球”來分類.有=37種.（特殊位置法）

生6（正難則反）：3個(gè)球任意放有43種，其中1號(hào)盒無球的有33種，故符合條件的共有43-33=37種.（間接法）

生7（追根究底）：無疑37種為正確答案了，生1多了，生2折半又少了，是怎么產(chǎn)生的？

生8（指點(diǎn)迷津）：在C13C14C14=48種放法中，當(dāng)1號(hào)盒內(nèi)只放1個(gè)球時(shí)不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)；當(dāng)1號(hào)盒內(nèi)放2個(gè)或3個(gè)球時(shí)就出現(xiàn)重復(fù).假如放入1號(hào)盒內(nèi)為“1號(hào)、2號(hào)球”，則按“1號(hào)、2號(hào)先后順序”與“2號(hào)、1號(hào)先后順序”放入屬同一種放法，但在C13C14C14中當(dāng)成了不同，因此會(huì)出現(xiàn)種重復(fù)應(yīng)予扣除；而當(dāng)1號(hào)盒內(nèi)放3個(gè)球時(shí)只有1種放法，但在C13C14C14中計(jì)成了3種.故正確放法有=37種.