逼近思想是學(xué)習(xí)“實變函數(shù)”課程的鑰匙

摘 要：“實變函數(shù)”是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的專業(yè)課之一，也是大多數(shù)師生公認(rèn)的最難課程。本文分析了學(xué)生在理解課程理論時的一些困難點，并針對性地指出可將逼近思想作為學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的思想“鑰匙”，探討了逼近思想在該課程中的核心地位與其重要的教學(xué)意義，并整理了多個案例來展示逼近思想在教學(xué)內(nèi)容中的具體運用。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握逼近思想，有利于幫助學(xué)生更好地理解課程理論，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神與創(chuàng)新能力，并對實現(xiàn)立德樹人，推動學(xué)生全面發(fā)展有著積極意義。

關(guān)鍵詞：逼近思想；實變函數(shù)；Lebesgue積分

中圖分類號：O174

Abstract：\"Real variable function\" is one of the most important professional courses in mathematics，and it is also the most difficult course recognized by most teachers and students.This article analyzes some difficulties for students when understanding course theory，and points out that the approaching thought can be used as the \"key\" for students to learn the course，explores the core position of approximate thought in the course and its important teaching significance，and organizes multiple cases to show the specific application of approximate thought in the teaching content.Guide students to master the approaching ideas in teaching will help students better understand the curriculum theory and improve their mathematical literacy，and will help cultivate students' scientific spirit and innovation abilities，and will have positive significance for realizing moral education and promoting students' allround development.

Keywords：approximate idea;real variable function;Lebesgue integral

一、學(xué)習(xí)難點分析

“實變函數(shù)”是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程之一。該課程以Lebesgue積分理論為核心，是數(shù)學(xué)分析課程的進(jìn)一步深化，同時也是學(xué)習(xí)泛函分析、PDE、現(xiàn)代概率理論、多復(fù)變函數(shù)論等高級數(shù)學(xué)所必須掌握的知識基礎(chǔ)。

該課程具有理論性強(qiáng)、高度抽象的特點，因而也常被認(rèn)為是最難專業(yè)課。該課程內(nèi)容多課時少，學(xué)生往往不能及時消化其中蘊(yùn)含的方法和思想。在教學(xué)實踐中，學(xué)生常反映難以理解課程內(nèi)容，并且在作業(yè)和考試中的表現(xiàn)也不盡如人意。面對這一困境，已有不少數(shù)學(xué)教育工作者進(jìn)行了深入研究，提出了提升教學(xué)效果的諸多方法與策略。

筆者觀察到，學(xué)生學(xué)習(xí)該課程時易陷入具體細(xì)節(jié)的驗證中難以自拔。學(xué)生在面對新的概念和性質(zhì)時，往往只能被動接受，不能正確體會其與已有知識間的內(nèi)在聯(lián)系。此時學(xué)生的自我效能感會不斷受到挫折，學(xué)習(xí)意愿也會不斷降低。

實變函數(shù)理論并非如學(xué)生所感受到的那樣晦澀艱深，事實上該課程各章節(jié)的目標(biāo)是十分清晰的。盡管如此，在教學(xué)過程中學(xué)生仍會遇到諸多困惑。如外測度，盡管容易理解到提出該概念的目標(biāo)是為了推廣“長度”的概念，但為何如此定義，這仍然是困擾學(xué)生的重要問題；又如Lebesgue積分的定義和性質(zhì)，開始時學(xué)生往往不能自主理解到為何先研究簡單函數(shù)，再討論非負(fù)可測、一般可測函數(shù)的積分性質(zhì)，從而不能建立起順暢的邏輯鏈條。

以上兩個情境都指向了同一個問題，即學(xué)生雖知道了實變函數(shù)的目標(biāo)“是什么”，但對于理論推導(dǎo)中的“為什么”仍缺少認(rèn)識。這造成了在面對問題時對“怎么辦”無從下手。為了改變這一現(xiàn)狀，教師須對本課程中重要的思維方法進(jìn)行抽象總結(jié)，凝練出簡明的思想方法，作為學(xué)生修習(xí)本課程的指導(dǎo)。

二、逼近思想可作為學(xué)習(xí)實變函數(shù)的鑰匙

（一）逼近思想簡述

“逼近”一詞在數(shù)學(xué)中常用來特指函數(shù)逼近理論，比如Runge逼近、Mergelyan逼近等術(shù)語，但這里所希望討論的“逼近思想”卻要更加寬泛。

逼近思想或許可以這樣來概括，其核心是利用已知的、熟悉的事物，通過一個合理的近似過程，來實現(xiàn)對該目標(biāo)事物性質(zhì)進(jìn)行一定的描述和刻畫，最終實現(xiàn)認(rèn)識層面上質(zhì)的提升。這是我們認(rèn)識未知事物、拓展知識邊界的一種重要思想方法。

逼近思想歷史久遠(yuǎn)，而隨著微積分理論的產(chǎn)生，極限工具的嚴(yán)格化，如芝諾悖論等哲學(xué)問題被正確解答，這是逼近思想的重大勝利。如今這一思想已成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的思想方法之一，為數(shù)學(xué)理論的前進(jìn)提供了重要指引。

（二）逼近思想是“實變函數(shù)”課程的核心思想方法

“實變函數(shù)”課程作為一門典型的分析學(xué)理論，其中廣泛地運用逼近思想是不言而喻的。但與“復(fù)分析”“泛函分析”等課程中多種數(shù)學(xué)思想交叉靈活運用的特點不同，在實變函數(shù)中，各個階段主要困難的克服都依賴于逼近思想的運用，這一思想的使用貫穿了課程始末，是絕對的核心思想。

實變函數(shù)理論中還包含了一種典型的思維范式：在面對一個困難問題時，可以先研究最容易解決的情形，推導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論，再將這些結(jié)論作為條件，對問題進(jìn)行進(jìn)一步研究，得到更強(qiáng)的結(jié)論，如此逐步推進(jìn)。這一過程中我們的知識不斷擴(kuò)張，技術(shù)不斷強(qiáng)化，直至最終建立起一套強(qiáng)大的理論，解決最終目標(biāo)。

上述這一思維范式在實變函數(shù)中如此重要，Lusin定理等重要定理的證明，乃至整個課程理論的建構(gòu)，都充分體現(xiàn)了這一思維范式。這一過程中，我們將抽象的條件與命題作為已知的事物，不斷逼近并最終證明目標(biāo)命題，這正是逼近思想在認(rèn)知與思維層面的精彩運用。

（三）學(xué)生具備掌握逼近思想的知識基礎(chǔ)

要作為學(xué)習(xí)實變函數(shù)理論的鑰匙，僅僅能夠串聯(lián)課程內(nèi)容是不夠的，還需要在學(xué)生的能力范圍之內(nèi)。比如度量空間的完備化對于理解實數(shù)的完備性理論有很大幫助，但教學(xué)實踐中不可能先講泛函分析對應(yīng)部分，再來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析。學(xué)習(xí)的過程必須遵循由易到難的認(rèn)知規(guī)律。

而在“實變函數(shù)”課程前，學(xué)生對逼近思想已并不陌生。不論是對實數(shù)的認(rèn)識，還是函數(shù)的求導(dǎo)和積分，這些都是逼近思想的典型運用，示范了如何利用熟悉的事物來刻畫陌生的對象。學(xué)生已有很多感性認(rèn)知，只是沒有將這種認(rèn)知上升到方法論層面，只需對這些內(nèi)容進(jìn)行簡單的回顧與提煉，就可以幫助學(xué)生明確其背后的共性，并能將其作為學(xué)習(xí)中的思想指導(dǎo)。

三、將逼近思想引入教學(xué)的育人意義

（一）提高專業(yè)能力與素養(yǎng)

在教學(xué)過程中，將逼近思想的具體應(yīng)用明確地作為一條教學(xué)線索，能夠幫助學(xué)生站在更高的角度來理解課程理論，同時還可以幫助學(xué)生聯(lián)系以往知識，實現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，并且實現(xiàn)授人以漁，提升解決問題的能力，對學(xué)生專業(yè)素養(yǎng)的塑造有深遠(yuǎn)意義。

專業(yè)課的學(xué)習(xí)也是建立專業(yè)認(rèn)同與專業(yè)自信的重要階段。在逼近思想指導(dǎo)下，學(xué)生將體會到更多的成功經(jīng)驗，建立起自信與對本專業(yè)的熱愛。

（二）培養(yǎng)創(chuàng)新能力與科學(xué)精神，促進(jìn)全面發(fā)展

在合適的數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)下，學(xué)習(xí)的過程將會蛻變成對科學(xué)突破的一次簡化模擬。在這一過程中，學(xué)生將可以對數(shù)學(xué)探索過程近距離感受。雖然這和真正的科研仍有一定差距，但這種經(jīng)驗已經(jīng)可以作為科學(xué)創(chuàng)新能力的啟蒙，產(chǎn)生科研興趣，并激勵學(xué)生勇于突破與創(chuàng)新，塑造科學(xué)精神。

在教學(xué)中幫助學(xué)生凝練總結(jié)數(shù)學(xué)知識中的思想方法，是課程思政的重要手段，是數(shù)學(xué)專業(yè)實現(xiàn)立德樹人、全面發(fā)展這一教育目標(biāo)的重要途徑。數(shù)學(xué)是教人如何正確面對并尋求解決問題之道的學(xué)科，其中凝聚了人類的最高智慧與追求真理的崇高勇氣。經(jīng)過數(shù)學(xué)思想教育洗禮的學(xué)生，在未來人生中面對挑戰(zhàn)和對人生的命題時，定能擁有無畏的勇氣，并在前人的智慧中獲得啟迪，尋找到突破瓶頸的思考方法。

四、逼近思想在教學(xué)內(nèi)容中的具體體現(xiàn)

以下我們以案例的形式，梳理了逼近思想在“實變函數(shù)”各教學(xué)篇章中的部分運用并加以分析。

例1：對于一族集合{Uα}α∈Λ，它們的并集定義為

∪α∈ΛUα∶{x；存在某個α∈Λ使得x∈Uα}。

此定義雖然簡單，但直接認(rèn)識一個進(jìn)行無窮次的過程其實并不容易。此定義其實是通過推廣并運算在有限個集合所保持的性質(zhì)來描述一個新的集合，而有限并是容易理解的，可見這其實也是逼近思想的一種運用。

中的開集總可以寫成至多可數(shù)個互不相交的左開右閉區(qū)間的并。

這里的證明技巧是使用“打格子”的方法，尋找完整落在區(qū)域當(dāng)中的區(qū)間，隨著“打格子”過程的加細(xì)，不斷添入新的更小區(qū)間。這里每一步所產(chǎn)生的集合，正是在從內(nèi)部不斷地逼近原區(qū)域。通過這一做法，可輕松證明開集必定是可測集。

例3：康托爾三分集C。

這是一個著名的例子，不論是其構(gòu)造，還是驗證其性質(zhì)的過程，都體現(xiàn)了逼近思想。比如直接驗證其疏朗性，此集合的復(fù)雜難免會讓人困惑，但對于每個局部，定義C時第n步所產(chǎn)生的集合是一些閉區(qū)間構(gòu)成的，再讓n不斷變大，就很容易看到思路。

這里的目標(biāo)是對更加一般的集合來定義它們的“體積”，而n維區(qū)間的體積無疑是為人熟知的，我們正是使用一些區(qū)間的體積來近似代替這個點集的體積。這樣所得到的體積直觀上比E的“體積”總是會大一點，于是可用下確界來逼近E的體積。

例5：可測集的定義。

在例5中外測度的定義是從外部對E進(jìn)行逼近，即所謂的外包法，而以內(nèi)填法為思路事實上還可以定義一個“內(nèi)測度”，參考文獻(xiàn)［13］的附錄。一個有界集如果內(nèi)外測度相等就被稱為是可測集，這一要求也很自然，因為我們總希望可測集的余集也可測，但如果E的內(nèi)外測度不相等，勢必會導(dǎo)致關(guān)于這個集合和它的余集的外測度不再具備可加性。這樣一看，可測集的要求與黎曼積分的可積性要求頗有異曲同工之處。

例6：可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系定理。對于可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)f，總可以找到一列簡單函數(shù)φk（x），滿足對任意的k∈

我們希望定義的Lebesgue積分，是通過對函數(shù)值域進(jìn)行劃分，將函數(shù)圖像下方區(qū)域劃分成若干個矩形來實現(xiàn)近似代替。而這里簡單函數(shù)的構(gòu)造，正是在用函數(shù)逼近的語言來描述劃分值域這件事。該定理表明，非負(fù)可測函數(shù)的定義，翻譯成白話就是可以進(jìn)行上述分割值域操作的函數(shù)，這正是為了定義Lebesgue積分自然產(chǎn)生的要求。通過體會這里逼近思想的運用，會對可測函數(shù)概念的理解大有助益。

例7：依測度收斂的定義：設(shè){fn}是可測集E

這是較難掌握的一個概念。逼近方法使用的一個重要條件，就是要能夠合理地描述兩個互相比較事物之間的差距，這一概念給出了一個很好的示范。這里是如何衡量fn與f的差距的呢。類似于數(shù)列極限，先任意給定一個誤差范圍σ，希望當(dāng)n充分大時fn與f之間的某種差距小于σ。粗糙地來說，這種差距指的是在定義域的“絕大部分”，fn和f的函數(shù)值差距都要小于誤差范圍σ。但這意味著允許在一些點上函數(shù)值差距大于誤差范圍，隨之而來的要求就是這個集合要比較小。這里點集的“大小”是用測度來衡量的，因此這一要求就被描述為m（E［fn-f≥σ］）隨著n增大而收斂到0。

例8：可測函數(shù)Lebesgue積分的定義過程與基本性質(zhì)證明。

這里的定義過程是先從非負(fù)簡單函數(shù)出發(fā)，而后利用案例7過渡到非負(fù)可測函數(shù)的積分定義和性質(zhì)的討論，在此基礎(chǔ)上再研究一般可測函數(shù)的積分。以上思路不僅在技術(shù)上體現(xiàn)了逼近方法，更是體現(xiàn)了思維層面的逼近方法。這一例子在思維層面、概念層面和具體技術(shù)層面同時體現(xiàn)了逼近思想。

例9：實變函數(shù)課程學(xué)習(xí)全過程回顧。

縱觀整個實變函數(shù)教學(xué)過程，為了解決積分的定義這一核心目標(biāo)，逐步克服了各種障礙，最終構(gòu)建起Lebesgue積分的理論框架，其中的每一步都極致地運用了逼近思想，與案例9頗有相同之處。整個學(xué)習(xí)過程，目標(biāo)明確，直面困難，像推土機(jī)一樣逐步推進(jìn)，最終將困難鏟平，這一過程充分體現(xiàn)了實變函數(shù)理論獨特的學(xué)科魅力。

結(jié)語

逼近思想貫穿于實變函數(shù)的各個層面，可以作為學(xué)生掌握這門理論的思想指引，并且對于培養(yǎng)專業(yè)素質(zhì)、創(chuàng)新能力和科學(xué)精神，實現(xiàn)學(xué)生全面發(fā)展也有著重要意義。

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