探秘?cái)?shù)學(xué)之鑰：線段中點(diǎn)與角平分線的應(yīng)用

例1如圖1所示，在 ΔABC 中， BD⊥AC ，垂足為 D，CE⊥AB ，垂足為 E ，其中點(diǎn) F 和 G 分別是線段 BC 和 DE 的中點(diǎn)，若 BC=18，DE=10 ，則 FG 的長度是（ ）

答案 (A).

解析通過構(gòu)造輔助線，即連接 EF 和 FD 便于后續(xù)計(jì)算，利用中點(diǎn)的性質(zhì)可確定 FD 和 EF 的長度，最終使用勾股定理可計(jì)算出 FG 的長度.

如圖2所示，連接 EF，DF ，

在 ΔBDC 中，因?yàn)?BD⊥AC ，點(diǎn) F 是 BC 的中點(diǎn)，

所以

同理可得，在 ΔBEC 中，因?yàn)?CE⊥AB ，

所以 ，

則 EF=DF=9 ，

又因?yàn)?G 為 DE 的中點(diǎn)，

所以

在 RtΔEFG 中，依據(jù)勾股定理可得：

(A)2 ： (B) ： (C)8. (D)9.

例2如圖3所示，現(xiàn)有 ΔABC ，延長 BC 至點(diǎn)D ，使得 CD 是 BC 的一半，取邊 AC 的中點(diǎn)為點(diǎn) E ，過點(diǎn) E 作一條平行線，得到 EF / CD ，且 EF= 2CD ，連接 FD ，若 AB=8 ，試求出 FD 的長度

(A)3. (B)4. (C)2√3. (D)3√2.

答案 (B).

解析通過構(gòu)造輔助線，即連接 EG ，再結(jié)合三角形中位線定理和平行四邊形的判定定理可解決該題.

如圖4所示，取邊BC的中點(diǎn) G ，連接 EG ，

因?yàn)辄c(diǎn) E 是邊 AC 的中點(diǎn)，則 EG 是 ΔABC 的一條中位線，所以 業(yè)又根據(jù)題意得到 所以 CD=CG ，則可得到 GD=2CD 因?yàn)?EF=2CD ，所以 EF=GD ·因?yàn)閮蓷l對(duì)邊互相平行且相等，因此可得四邊形EFDG是一個(gè)平行四邊形，

則 EG=FD=4

例3如圖5所示，在 ΔABC 中， CE 是 ∠ACB 的角平分線，過點(diǎn) A 作 AF⊥CE 交 CE 于點(diǎn) F ，延長AF 交 BC 于點(diǎn) D = ∠AEC=2∠ACE

（1）求證： BE=EC ·

（2）如圖6所示，作 AH//BC ，延長 CE 交 AH 于點(diǎn) H ，求證： AB=2CF

解析首先由角平分線的性質(zhì)確定角度相等，再利用角度關(guān)系確定線段相等，即 BE=EC ，再利用

平行線的性質(zhì)可證明.

（1）由圖5可得， CE 平分 ∠ACB ，

所以 ∠ACE=∠BCE

因?yàn)?∠AEC=∠B+∠BCE=2∠ACE ，

所以 ∠B=∠ACE=∠BCE ，

則 BE=EC ·（2）如圖6所示，可得 AH//BC 0由兩條線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)可得 ∠H=

∠BCE，∠HAE=∠B ，由（1）可得 ∠ACB=2∠BCE=2∠ACH ，

∠B=∠BCE ，因此在 ΔACH 中，可得 ∠H=∠ACH

=∠HAE ，所以 EB=EC ，可得 ΔEBC 和 ΔAHC 是一個(gè)

等腰三角形，因此可得 AH=AC，EA=EH ，所以 EA+EB=EH+EC ，即 AB=HC ·又因?yàn)?AF⊥CH ，所以 CF=HF ，所以 HC=2CF ，則由等量代換可得 AB=2CF ：

結(jié)語

初中數(shù)學(xué)的幾何應(yīng)用題目中多會(huì)出現(xiàn)線段中點(diǎn)和角平分線等性質(zhì)的內(nèi)容，需要同時(shí)結(jié)合勾股定理、角平分線的性質(zhì)和判定以及平行線的性質(zhì)等內(nèi)容進(jìn)行解題.而在證明過程中，需要多使用分類討論或類比等思想轉(zhuǎn)化題目條件，構(gòu)造多類輔助線以形成等腰三角形或矩形等圖形，深入思考，最終達(dá)到提升計(jì)算思維能力這一目標(biāo).