四兩撥千斤

轉(zhuǎn)化思想如同數(shù)學(xué)思維的“變形術(shù)”，能將復(fù)雜問(wèn)題巧妙切換視角求解.本文結(jié)合初中階段轉(zhuǎn)化思想的具體要求，通過(guò)三個(gè)典型案例揭秘其神奇應(yīng)用，提煉出“觀(guān)察聯(lián)想-策略選擇 驗(yàn)證反思-易錯(cuò)分析”的思維鏈條，為初中生打造打開(kāi)數(shù)學(xué)解題奧秘之門(mén)的“萬(wàn)能鑰匙”.

1 二次根式比大小

1. 1 平方消根法

例1 比較 與 的大小.

觀(guān)察聯(lián)想求差法和求商法在這個(gè)例子中不是很適用，通過(guò)觀(guān)察兩個(gè)式子中的被開(kāi)方數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們的和相等，可以嘗試把兩個(gè)式子先平方，再比較大小.

策略選擇 因?yàn)? ，

又因?yàn)? ，

所以

驗(yàn)證反思 兩個(gè)正的二次根式之和（差）比較（被開(kāi)方數(shù)之和相等），可以同時(shí)平方，減少根號(hào)的個(gè)數(shù)，比較平方后的數(shù)值.

易錯(cuò)分析 ① 正性?xún)?yōu)先：正數(shù)表達(dá)式可以使用平方法； ② 完全平方：嚴(yán)格展開(kāi)平方項(xiàng)，避免遺漏平方項(xiàng).

1.2 有理化變形法

例2 比較 與 的大小.

觀(guān)察聯(lián)想用求差法、求商法和平方消根法在這個(gè)例子中顯然不適用，我們可以將分子分母分別乘以一個(gè)式子，把分母或分子中的根號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化成分母或分子為有理數(shù)，再進(jìn)行比較.

策略選擇

同理 1

又因?yàn)? ，

所以 中

所以

驗(yàn)證反思把二次根式的分子或分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過(guò)程叫有理化變形，我們常常通過(guò)這種等值變形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再比較大小.

易錯(cuò)分析 ① 嚴(yán)格符號(hào)管理：記錄每一步的符號(hào)變化，避免正負(fù)混淆； ② 精準(zhǔn)選擇：確保分子或分母通過(guò)共軛乘法消除根號(hào).

2 最短路徑

例3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn) B 為 x 軸上的任意一點(diǎn)，連接 AB ，在線(xiàn)段 AB 的右側(cè)作等邊三角形 ABC ，連接 ，則OC 的最小值為

觀(guān)察聯(lián)想 在此問(wèn)題中要注意不變的是坐標(biāo)軸和點(diǎn) A 的位置，變化的是隨著點(diǎn) B 的移動(dòng)而變化的點(diǎn) c .如果能把兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

策略選擇如圖2，把線(xiàn)段 AO ，以 A 為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60^° 到 AO^′ ，連接 BO^′ ·

所以 ΔBAO^′?ΔCAO 所以 BO^′=OC ·

這樣就把兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把問(wèn)題

OC 最短轉(zhuǎn)化成 x 軸外一點(diǎn) ω^′ 到 x 軸的最短距離

（垂線(xiàn)段最短原理）.過(guò)點(diǎn) ω^′ 作 O^′D⊥s 軸，垂足為 D ，在 RtΔO^′AD 中，因?yàn)?∠OAO^′=60^° ，所以 ∠AO^′D=30^° ，所以 ，所以 OD=4 ，即 的最小值為4.

驗(yàn)證反思利用旋轉(zhuǎn)變換的幾何性質(zhì)，將動(dòng)點(diǎn)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)化為靜態(tài)或簡(jiǎn)單路徑，使問(wèn)題簡(jiǎn)化為尋找固定點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離（垂線(xiàn)段最短原理）.

易錯(cuò)分析 ① 旋轉(zhuǎn)方向混淆：需明確順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，避免坐標(biāo)符號(hào)錯(cuò)誤； ② 忽略幾何約束：旋轉(zhuǎn)后需檢查動(dòng)點(diǎn)軌跡是否仍滿(mǎn)足原問(wèn)題條件.

3截長(zhǎng)補(bǔ)短

例4如圖3，在等邊三角形ABC中，點(diǎn) E 在A(yíng)B 邊上，點(diǎn) D 在 CB 的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且 DE=EC .若AB=12，AE=2 ，求 CD 的長(zhǎng).

觀(guān)察聯(lián)想在此問(wèn)題中以現(xiàn)有圖形難以直接求出 CD 的長(zhǎng)度.利用等邊三角形可知 BC=AB= 12，從而可將求 CD 的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求 BD 的長(zhǎng)，可借助構(gòu)造輔助線(xiàn)，利用已知求未知.

策略選擇

如圖4，延長(zhǎng) EB 至 F ，使 BF=AE ，

所以 BF+BE=AE+BE ，

即 EF=AB=AC

因?yàn)?DE=EC ，

所以 ∠EDC=∠ECD

又因?yàn)?∠DEF+∠EDC=∠ACE+∠ECD=60^° 所以 ∠DEF=∠ACE ，

所以 ΔDEF?ΔECA ，

所以 DF=AE=2 ，

所以 DF=BF ·

又因?yàn)?∠DBF=∠ABC=60^°

所以 ΔBDF 為等邊三角形.

所以 DB=DF=2 ，

所以

驗(yàn)證反思通過(guò)截取長(zhǎng)線(xiàn)段或補(bǔ)足短線(xiàn)段構(gòu)造全等三角形，轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系.適用于線(xiàn)段和差等問(wèn)題，關(guān)鍵在輔助線(xiàn)位置選擇與圖形完整性保持，體現(xiàn)了幾何變換思想.

易錯(cuò)分析 ① 隨意截補(bǔ)破壞圖形結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致條件丟失； ② 忽略截補(bǔ)后新邊角關(guān)系，或未驗(yàn)證全等條件，引發(fā)邏輯斷裂.需嚴(yán)格匹配原始條件與構(gòu)造條件.

4結(jié)語(yǔ)

總之，轉(zhuǎn)化思想通過(guò)“化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”的策略，利用平方法和有理化法比較二次根式的大小，強(qiáng)化邏輯推理與運(yùn)算能力；將幾何難題中的線(xiàn)段通過(guò)轉(zhuǎn)化求得未知長(zhǎng)度，提升數(shù)學(xué)推理能力.這種思維遷移過(guò)程，不僅深化知識(shí)理解，更培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，契合新課標(biāo)“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的培養(yǎng)素養(yǎng)目標(biāo)，可以助力學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展.

【本文系山東省齊魯名師建設(shè)工程（2022一2025）研修課題“基于雙減背景下的初中數(shù)學(xué)學(xué)生錯(cuò)題資源開(kāi)發(fā)和利用研究”研究成果】