結(jié)構(gòu)化視域下單元復(fù)習(xí)課的實(shí)踐

1研究背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》體現(xiàn)了“課程結(jié)構(gòu)化”等理念，其重點(diǎn)是對課程內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合；重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的直觀表述并處理好直觀與抽象的關(guān)系.但由于教材的編寫和教學(xué)時(shí)間的限制，加之?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中一直存在的“數(shù)學(xué)知識的整體把握和局部認(rèn)知之間的矛盾”[1]，使得初中數(shù)學(xué)教學(xué)存在離散而間斷的現(xiàn)象，學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的整體把握有所欠缺.

本文立足于課堂實(shí)踐，以反比例函數(shù)單元復(fù)習(xí)課為研究起點(diǎn)，體現(xiàn)單元復(fù)習(xí)課教學(xué)的結(jié)構(gòu)化特征.有觀點(diǎn)認(rèn)為充滿聯(lián)系的數(shù)學(xué)教學(xué)才有利于學(xué)生理解、掌握、運(yùn)用知識.[2]本節(jié)復(fù)習(xí)課筆者從數(shù)學(xué)內(nèi)容的直觀與抽象結(jié)合這一要點(diǎn)出發(fā)，利用函數(shù)來解決幾何問題.由于初中階段不涉及解析幾何，所以在本節(jié)反比例函數(shù)單元復(fù)習(xí)課中，筆者利用函數(shù)數(shù)學(xué)建模的思想去解決幾何中平行四邊形構(gòu)造的問題.反比例函數(shù)圖象和平行四邊形的共通點(diǎn)是兩者都是中心對稱圖形，而之前所學(xué)的正比例函數(shù)也關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以利用三者的共通性通過旋轉(zhuǎn)變化來構(gòu)建這門課.

2 教學(xué)過程

2.1聚焦核心概念，分析整體結(jié)構(gòu)

反比例函數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)之后又一個(gè)新的函數(shù)，學(xué)生在課程之前已經(jīng)對反比例函數(shù)這一章節(jié)的知識點(diǎn)有了認(rèn)識，但是知識點(diǎn)往往是零散的碎片狀的，所以本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)從一次函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑和反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑出發(fā)，讓學(xué)生重新認(rèn)識到函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑：函數(shù)概念一圖象與性質(zhì)一函數(shù)應(yīng)用，然后通過發(fā)現(xiàn)問題一提出問題一解決問題，對已知的反比例函數(shù)知識點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的復(fù)習(xí).

問題1 對于反比例函數(shù)，我們是從哪幾個(gè)方面去研究的？

問題2表1和表2表現(xiàn)了兩個(gè)變量之間的關(guān)系，你認(rèn)為可以用什么式子表示？

問題3通過列表、描點(diǎn)、連線，我們來畫一下表1和表 2（y₁=3x 與 ）中的兩個(gè)函數(shù)，針對這兩個(gè)函數(shù)圖象，請大家自己提出問題并進(jìn)行解答.

學(xué)生1兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn) A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)的坐標(biāo)分為什么？答：

學(xué)生2 線段 AO 和線段 BO 有什么數(shù)量關(guān)系？答： AO=BO

學(xué)生3當(dāng) x 為何值時(shí)， y₁gt;y₂？y₁2？ 答：當(dāng) -2-2 時(shí)， _y1gt;y₂ ；當(dāng) xlt; -2 或 012 ：

學(xué)生4若過點(diǎn) A 作 AC⊥x 軸，交 x 軸于點(diǎn)C ，那么所得 ΔACO 的面積為多少？答：面積為6.

學(xué)生5若再過點(diǎn) A 作 AD⊥y 軸，交 軸于點(diǎn) D ，那么所得四邊形ADOC的面積為多少？答：面積為12.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在提問前2個(gè)問題的時(shí)候教師追問：你是如何得到這樣的結(jié)論的？學(xué)生通常會有兩種方法，其一是通過聯(lián)立方程組得到，其二是通過對稱性得到.后3個(gè)問題則復(fù)習(xí)了兩個(gè)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

2.2 設(shè)計(jì)開放母題，發(fā)現(xiàn)分析問題

本節(jié)課知識點(diǎn)聚焦于通過函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)來構(gòu)建中心對稱圖形，為了充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)的主體性，在這里設(shè)計(jì)一道開放性的母題（問題4），學(xué)生在旋轉(zhuǎn)函數(shù)的過程中通過教師引導(dǎo)，小組合作探究的形式不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，加深對知識點(diǎn)的理解，提升遷移學(xué)習(xí)能力.

問題4接下來我們將正比例函數(shù)繞著原點(diǎn) O 進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在這個(gè)過程中，你能夠得到什么結(jié)論？

學(xué)生1在正比例函數(shù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)一開始會有兩個(gè)交點(diǎn)，后面就沒有交點(diǎn)了.

學(xué)生2 正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)始終關(guān)于原點(diǎn)對稱，

學(xué)生3 兩個(gè)交點(diǎn)與原點(diǎn)所連線段的長度始終相等.

教師追問：如果這時(shí)候我們順次連接AMBN，所得的四邊形是什么四邊形？為什么？學(xué)生很容易通過對角線互相平分的特征得到其為平行四邊形.

設(shè)計(jì)意圖正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)情況分為兩種，無交點(diǎn)或者有2個(gè)交點(diǎn).對于開放性的問題4，學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、得到結(jié)論.其中運(yùn)用幾何直觀，能夠直接得到函數(shù)與圖形之間的抽象關(guān)系，獲得數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極的情感態(tài)度和價(jià)值觀，逐步形成核心素養(yǎng).

2.3提煉思想方法，促進(jìn)能力提升

學(xué)生作進(jìn)一步探究，從平行四邊形的一般情況出發(fā)去推理矩形、菱形、正方形等特殊情形，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識.

問題5請你利用剛剛的探究思路，利用正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)畫一個(gè)矩形，使得矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在反比例函數(shù) 圖象上.

問題6你能不能再畫一個(gè)矩形，使得矩形的四個(gè)點(diǎn)都在反比例函數(shù)y2=12 圖象上？

學(xué)生1因?yàn)樵谛D(zhuǎn)的過程中四邊形的對角線始終互相平分，所以只要使對角線相等就能夠得到矩形.在這里正比例函數(shù) 與反比例函數(shù) 12 得到的交點(diǎn)所組成的四邊形為矩形（如圖1）.

學(xué)生2 利用網(wǎng)格紙?zhí)攸c(diǎn)，我發(fā)現(xiàn)正比例函數(shù) x與反比例函數(shù)y=12 得到的交點(diǎn)與原點(diǎn)連線段長度均為5，所以也是矩形（如圖1）.

教師追問：我們在上圖可以畫幾個(gè)矩形？這些矩形有什么特點(diǎn)？請各位同學(xué)們動手實(shí)踐，自主探索，最后小組合作交流并請小組代表進(jìn)行發(fā)言總結(jié).

學(xué)生3利用兩條對角線相等可以畫出無數(shù)個(gè)矩形，這些矩形的兩條對角線關(guān)于直線 y=x 和直線 y=-x 成軸對稱，這些矩形的中心都是原點(diǎn)（如圖1）.

設(shè)計(jì)意圖 先通過網(wǎng)格紙畫圖得出特殊情形，然后探究一般規(guī)律：要使得平行四邊形變?yōu)榫匦?，則對角線需要相等.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)此時(shí)兩條對角線關(guān)于直線 y=x 和直線 y=-x 對稱這一性質(zhì).最后發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)與兩條一次函數(shù)構(gòu)造成的矩形的整體圖形都是軸對稱的.

問題7 請你繼續(xù)研究，你還能得到什么圖形？

學(xué)生1還能夠通過對角線垂直得到菱形.

學(xué)生2兩條互相垂直的正比例函數(shù)和反比例函數(shù)不會有4個(gè)交點(diǎn).

學(xué)生3可以再將反比例函數(shù)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到另外兩個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)成菱形.

教師追問：任意的兩條互相垂直的正比例函數(shù)，所得四邊形還是菱形嗎？學(xué)生得到因?yàn)?OA= OB，OM=ON，AB⊥MN ，所以四邊形ANBM始終為菱形.教師繼續(xù)追問，這個(gè)菱形有什么特殊之處？學(xué)生發(fā)現(xiàn)它是正方形（如圖2）.

證明過程如下：

過點(diǎn) A 和點(diǎn) M 分別作 AQ⊥x 軸， MP⊥x 軸因?yàn)?AO⊥MO，AQ⊥PQ，MP⊥PQ

所以 ΔMPO～ΔOQA

（2

因?yàn)?A 點(diǎn)在 上， B 點(diǎn)在

所以 S_ΔMPO=S_ΔOQA=6 ：

所以相似比為 1：1 .

所以 AO：MO=1：1

進(jìn)而得到菱形ANBM為正方形.

設(shè)計(jì)意圖在探究矩形的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的研究過程，通過網(wǎng)格紙這一特殊工具最后得到在一般情況下均為矩形的基本事實(shí).此題利用反比例函數(shù)“K”的幾何意義，與相似證明結(jié)合，通過反比例函數(shù)和一次函數(shù)構(gòu)建的中心對稱圖形得到了證明全等的新方法，不單單拓寬了學(xué)生的思路，更是將本學(xué)期所學(xué)的知識構(gòu)建起來，形成了一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)建模模型.

2.4創(chuàng)建變式題型，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

變式例題主要是為了培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，讓學(xué)生利用所學(xué)的反比例函數(shù)、正比例函數(shù)以及中心對稱圖形所構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型來解決新的變式題型，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，形成模型觀念.

問題8已知有反比例函數(shù) ，如何構(gòu)建另一個(gè)反比例函數(shù)，使得我們得到的菱形的對角線之比為 1：2？

問題9通過今天的學(xué)習(xí)，請你思考一下，如何通過反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象繪制平行四邊形.

學(xué)生1利用面積比等于相似比的平方，可以得到另一個(gè)反比例函數(shù)為 或者y= ·

學(xué)生2利用反比例函數(shù)的軸對稱性我們可以畫出不同的矩形，利用 k 為異號的兩個(gè)反比例函數(shù)，通過畫出相互垂直的兩個(gè)正比例函數(shù)能夠得到不同比例對角線的菱形.

設(shè)計(jì)意圖問題7與問題8均為問題6的補(bǔ)充練習(xí)，可在發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)“ K ”的幾何意義能夠和相似中的相似比和面積比構(gòu)成聯(lián)系，進(jìn)而得到想要的結(jié)論，同時(shí)兩個(gè)問題也是對本節(jié)課的總結(jié).

3結(jié)語

數(shù)學(xué)知識縱橫交錯(cuò)、內(nèi)容繁多，結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)可以體現(xiàn)知識的整體性、思路和方法的關(guān)聯(lián)性[3]，易于學(xué)生理解與運(yùn)用.此次反比例函數(shù)的章節(jié)復(fù)習(xí)，筆者以“中心對稱”這一概念為知識線，以學(xué)生自主合作探究為學(xué)習(xí)線，將正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和平行四邊形這三個(gè)大章節(jié)的內(nèi)容結(jié)合到一起，構(gòu)成了一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，在不斷探究的過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型意識.

參考文獻(xiàn)：

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