反比例函數(shù)中面積問題的解決策略

1引言

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的一類重要函數(shù)，其中涉及的面積問題更是各類考試中的常見題型.這類面積問題不僅考查學(xué)生對反比例函數(shù)知識的掌握程度，還考查對幾何圖形性質(zhì)的理解和運(yùn)用，對學(xué)生的綜合能力有較高的要求.對反比例函數(shù)中的面積問題進(jìn)行歸納整理，分析其解決策略，有助于提高學(xué)生的解題能力.

2反比例函數(shù)中的三角形面積問題

這類問題通常會給出反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，其與坐標(biāo)軸或其他特定點(diǎn)構(gòu)成三角形.這些三角形的面積與反比例函數(shù)的系數(shù)有一定關(guān)聯(lián)，且常常涉及點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的相互轉(zhuǎn)化.解決這類問題的關(guān)鍵是利用反比例函數(shù) 為常數(shù)， k≠ 0）中系數(shù) k 的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)分別作兩條與坐標(biāo)軸垂直的直線，那么這兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成的圖形為矩形，且這一矩形的面積為 ．靈活利用這一結(jié)論，可以有效解決反比例函數(shù)中的面積問題．例如，在反比例函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)，連接此點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，再過這點(diǎn)作x 軸或 軸的垂線，則所構(gòu)成的直角三角形的面積為 ：

例1如圖1，在反比例函數(shù) 的圖象中，點(diǎn) P 是圖象上任意一點(diǎn)，且在第二象限，過點(diǎn) P 作直線 PM 垂直于 x 軸，垂足為 M .若 ΔPOM 的面積等于3，則 k 的值等于

解析 因?yàn)?ΔPOM 的面積等于3，且 PM⊥ （20 x 軸，

所以S△POM 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 則 所以 ，即 ∣k∣=6 觀察圖象可知 klt;0 ，所以 k=-6

例2如圖2，設(shè)反比例函數(shù)的圖象與直線 y=

A（3，a） B

在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，線段 OB 與 x 軸正半軸

的夾角為 α ，且滿足 業(yè)

（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求S△OAB·

解析 （1）因?yàn)橹本€ 與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn) A（3，a） ，將點(diǎn) A（3，a） 代人直線解析式，得 ，

所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（3，4）.因此 k=3×4=12 所以反比例函數(shù)的解析式

（2）因?yàn)辄c(diǎn) B 在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 因?yàn)? .12所以 ，即 x²=36 .解得 x=±6 又因?yàn)辄c(diǎn) B 在第一象限，所以 x=6 ，所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（6，2）.設(shè)直線 OB 的解析式為 y=kx（k≠0） ，因?yàn)辄c(diǎn) B（6，2） 在直線 OB 上，所以 2=6k ，故 因此直線 ?OB 的解析式為

如圖3，過點(diǎn) A 作 AC⊥x 軸，交 OB 于點(diǎn) C ，則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（3，1）.

所以 AC=4-1=3 ，因此 S_ΔOAB=S_ΔOAC+

3反比例函數(shù)中的四邊形面積問題

此類問題通常涉及反比例函數(shù)與直線交點(diǎn)形成的四邊形的面積.解題思路通常是借助坐標(biāo)或幾何性質(zhì)表示出四邊形各邊相關(guān)線段長度，再運(yùn)用拼接、割補(bǔ)等方法轉(zhuǎn)化為三角形的面積.

例3如圖4，已知直線 ξ_l 分別與反比例函數(shù) 和y= 的圖象交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B ，且與 軸交于點(diǎn) P .過點(diǎn) A 作 AC 垂直于 x 軸，垂足為點(diǎn) c ，過點(diǎn) B 作 BD 垂直于 x 軸，垂足為點(diǎn) D .若點(diǎn) P 為線段 AB 的中點(diǎn)，求四邊形ABDC的面積.

解析 設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為

如圖5，過點(diǎn) A 作 AF 垂直于 軸，垂足為點(diǎn) F ·過點(diǎn) B 作 BE 垂直于 軸，垂足為點(diǎn) E ：

因?yàn)辄c(diǎn) P 是 AB 中點(diǎn)，所以 PA=PB

又因?yàn)?∠APF=∠BPE，∠AFP=∠BEP Ψ=90^° ，

所以 ΔAPF?ΔBPE ，所以 S_ΔAPF=S_ΔBPE ：

4結(jié)語

反比例函數(shù)中的面積問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，涵蓋豐富的函數(shù)與幾何知識.解決此類問題需熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)、三角形的相關(guān)性質(zhì)和面積公式，并善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

參考文獻(xiàn)：

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