巧用問(wèn)題的自然生成設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“課程理念”中指出，要設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容[1].這是當(dāng)前教育背景下提高學(xué)生核心素養(yǎng)的要求.大單元主題教學(xué)基于數(shù)學(xué)邏輯，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，凸顯教學(xué)的結(jié)構(gòu)化特征，滲透數(shù)學(xué)的教與學(xué)思維.這種教學(xué)模式不但適用于新授課，而且能發(fā)揮出復(fù)習(xí)課的應(yīng)用價(jià)值.本文以蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第9章“中心對(duì)稱圖形一平行四邊形”的單元復(fù)習(xí)教學(xué)為例，談?wù)劥髥卧尘跋聫?fù)習(xí)課的教學(xué)構(gòu)想.

1 教學(xué)理論分析

2022年版課標(biāo)中的課程內(nèi)容中（第四學(xué)段）與平行四邊形（包括平行四邊形、矩形、菱形和正方形）有關(guān)的描述是：理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它們之間的關(guān)系；探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理.探索并證明矩形、菱形的性質(zhì)定理；探索并證明矩形、菱形的判定定理；正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系.本節(jié)課的目標(biāo)是復(fù)習(xí)整章的知識(shí)，所以要在一節(jié)課內(nèi)把知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái).

2 內(nèi)容分析

在學(xué)習(xí)了2022年版課標(biāo)后，筆者把第9章“中心對(duì)稱圖形一平行四邊形”的所有知識(shí)點(diǎn)，用兩種變換方式，即翻折和平移串聯(lián)起來(lái).如此進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，是因?yàn)樵诒菊陆虒W(xué)的教學(xué)中，出現(xiàn)了很多翻折和旋轉(zhuǎn)的題型.后來(lái)筆者思考了為什么會(huì)出現(xiàn)很多翻折和旋轉(zhuǎn)題，發(fā)現(xiàn)最根本的原因是中心對(duì)稱圖形本身具有的特點(diǎn)，以及特殊的中心對(duì)稱圖形還具有軸對(duì)稱性.在弄清了這層邏輯之后，上課的思路就清晰了起來(lái).首先，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，從學(xué)生容易入手的折紙問(wèn)題出發(fā)，借用翻折和旋轉(zhuǎn)的圖形變換思路，引出本章的幾個(gè)重要的中心對(duì)稱圖形，從平行四邊形$$ 矩形 $$ 菱形 $$ 正方形逐一推進(jìn)，對(duì)這些圖形的定義、性質(zhì)、判定進(jìn)行知識(shí)體系的梳理.在一個(gè)個(gè)問(wèn)題的推進(jìn)中，讓學(xué)生嘗試以圖形變換為問(wèn)題的切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這些圖形的價(jià)值及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)模型，嘗試用圖形的變換來(lái)解題甚至編題.

由此，本節(jié)復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)可以確定為借用問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)，以圖形的變換為主線，串聯(lián)起“中心對(duì)稱圖形一平行四邊形”中的知識(shí)點(diǎn)，完成知識(shí)體系的整體建構(gòu)，通過(guò)問(wèn)題的生成和解決實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化，再據(jù)此來(lái)解決新的問(wèn)題；難點(diǎn)確定為用圖形變換的思想解決問(wèn)題.

3教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1設(shè)置問(wèn)題情境，激發(fā)興趣

問(wèn)題1同學(xué)們手上有一張平行四邊形紙片，想一想，如何通過(guò)翻折的方式，把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)矩形.

生 （拿出平行四邊形紙片，開(kāi)始對(duì)折）

師（這道題學(xué)生們基本完成了，隨意指定一位學(xué)生，展示折法）請(qǐng)問(wèn)你這樣操作的依據(jù)是什么呢？

生這里是一個(gè)直角.

師為什么呢？

師引導(dǎo)學(xué)生一起：因?yàn)榉劭梢孕纬上嗟鹊慕?，而它們的和?180^° ，所以每一個(gè)角都是 90^° ，然后通過(guò)“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”這一條來(lái)判定.

設(shè)計(jì)意圖借助問(wèn)題情境，讓學(xué)生很快地進(jìn)入到課堂中，同時(shí)這個(gè)問(wèn)題起點(diǎn)不高，基本所有學(xué)生都能解決問(wèn)題，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性.學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，真切地體會(huì)到了“翻折可以形成相等的角”

3.2關(guān)注聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生思維

問(wèn)題2同學(xué)們手上有一張矩形紙片，想一想，如何通過(guò)翻折的方式，把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)菱形（非正方形）.

生 （拿出矩形紙片，開(kāi)始折疊）

師（發(fā)現(xiàn)有很多學(xué)生利用了“四條邊都相等的四邊形是菱形”這一原理，請(qǐng)一個(gè)學(xué)生展示他的做法）來(lái)，講講你的做法.

生我先對(duì)折、再對(duì)折，形成了四個(gè)全等的矩形，然后像這樣折出對(duì)角線，這樣這個(gè)圖形的四邊都相等，我們就知道它是一個(gè)菱形.

師非常好！大家給這位同學(xué)鼓掌（掌聲響起）.那么老師還想再問(wèn)一問(wèn)，有沒(méi)有別的折法？

生 （動(dòng)手操作）

師 （看了一圈，進(jìn)展不大）提示一下，能不能從一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形這個(gè)角度來(lái)折疊？

生 （繼續(xù)研究，進(jìn)展仍然不大）

師（展示折法）同學(xué)們來(lái)看看，看看老師這樣折可不可以？老師拿矩形的一個(gè)頂點(diǎn)去尋找它對(duì)角線的頂點(diǎn)，然后讓這兩部分重合，這樣就構(gòu)造了相等的邊，現(xiàn)在我把其他兩個(gè)點(diǎn)也連起來(lái)，你們看中間這個(gè)是不是菱形，如何證明呢？（學(xué)生思考了一段時(shí)間，還是沒(méi)有舉手）你們看，通過(guò)翻折，已經(jīng)形成“一組鄰邊相等”，我們是不是只要先證明它是一個(gè)平行四邊形就行了？

生 （思考一段時(shí)間后，有學(xué)生舉手）通過(guò)翻折和平行，可以得到角相等，根據(jù)等邊對(duì)等角，我們可以得到等腰三角形，再通過(guò)翻折，等量代換之后，我們就能得到一組對(duì)邊相等，接著我們就證明了四邊形的一組對(duì)邊平行且相等.

師非常好！其實(shí)這里有一個(gè)我們非常熟悉的“三兄弟”模型，我們一起來(lái)回顧一下.在一個(gè)圖形中，如果有角平分線、平行線，往往會(huì)形成等腰三角形.

師老師看到這個(gè)圖形，突然靈光一閃，能不能用這個(gè)圖形來(lái)編寫(xiě)一道題呢？比如老師告訴大家這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬，請(qǐng)你來(lái)看看，可以求出圖中的哪些線段？

生1 可以求菱形的邊長(zhǎng)！

師很好，那請(qǐng)你來(lái)講講你的做法.

生1可以根據(jù)勾股定理列方程，

師非常好，這位同學(xué)給我們復(fù)習(xí)了求線段的一個(gè)重要方法，那就是勾股定理.同學(xué)們回顧一下，在本章的學(xué)習(xí)中，有很多時(shí)候我們都要用到勾股定理，是不是？（學(xué)生點(diǎn)頭）好，那么順著剛剛的思路，除了求菱形邊長(zhǎng)，我們還可以求什么？

生2可以求菱形的面積和周長(zhǎng)，還有三角形的面積和周長(zhǎng).

師 還有嗎？圖中還有其他線段可以求出嗎？

生3還可以求出菱形的對(duì)角線長(zhǎng)！

師 很好，怎么求呢？

生4利用勾股定理.

生5還可以用等積法！

師很好，大家說(shuō)得都非常棒，讓我們來(lái)總結(jié)一下.

師生活動(dòng)結(jié)合學(xué)生的回答，回顧\"角平分線、平行線、等腰三角形”的模型和勾股定理，并且匯總成本節(jié)課的板書(shū).構(gòu)造菱形的過(guò)程，讓學(xué)生再次體會(huì)到翻折可以形成相等的角和相等的邊.

3.3編寫(xiě)題目，發(fā)散思維

問(wèn)題3同學(xué)們，剛剛我們一起通過(guò)翻折編了一道題，老師覺(jué)得這是一個(gè)出題的好方法.現(xiàn)在教師給大家準(zhǔn)備了一個(gè)正方形，大家能不能?chē)L試用翻折的方法來(lái)編寫(xiě)一些題目呢？這里可以入手的方向非常多，所以老師給定幾個(gè)元素，大家來(lái)嘗試一下.首先給的元素是正方形、 45^°

生6可以連接對(duì)角線，已知正方形的邊長(zhǎng)是1，求對(duì)角線長(zhǎng).

師很好，請(qǐng)你來(lái)解答一下這道題吧.（學(xué)生回答）好，那老師再加點(diǎn)難度，請(qǐng)利用正方形、翻折、角平分線試試看.

生7我可以這樣，把正方形相鄰的兩條邊沿著其一條對(duì)角線對(duì)折，使這兩條邊和對(duì)角線重合，形成了這樣一個(gè)圖形.我的題是：已知這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1，求這個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng).

師很好，這道題出得相當(dāng)精彩，我們來(lái)給她一點(diǎn)掌聲！然后請(qǐng)大家來(lái)嘗試做做看這道題，好嗎？ （請(qǐng)學(xué)生上黑板完成這道題并進(jìn)行簡(jiǎn)單的說(shuō)明）好，老師再追加一問(wèn)，此時(shí)三條線段有什么關(guān)系？

師真的是非常精彩的一個(gè)題，感謝剛剛那位同學(xué).有了這個(gè)圖形做啟發(fā)，老師又想到這樣一個(gè)題，同學(xué)們來(lái)幫我看看.在剛剛的圖形的基礎(chǔ)上，我移動(dòng)角的邊上的點(diǎn)，但是保持中間的這個(gè)角度 45^° 不變，大家看看這三條線段仍然滿足剛剛的關(guān)系嗎？你能不能?chē)L試證明呢？

生 （嘗試了作垂直，但是沒(méi)有解決問(wèn)題）

師老師提示一下，這個(gè) 45^° 的條件很重要，怎么去使用它呢？除了把這個(gè)角分開(kāi)，還可以把旁邊的兩個(gè)角拼到一起，是不是？也就是利用旋轉(zhuǎn)的方法，把這個(gè)三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，移到這個(gè)位置，請(qǐng)你試試看！

生8（恍然大悟）解決了問(wèn)題.我們可以這樣做.（學(xué)生回答解決問(wèn)題的方法）

設(shè)計(jì)意圖 借助編題的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)入到創(chuàng)設(shè)的情境中，同時(shí)，讓圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.而問(wèn)題的解決，類似于線段中的“截長(zhǎng)補(bǔ)短”思想方法，除了把角分割開(kāi)，還可以把兩個(gè)小的角拼到一起，這種思想方法也體現(xiàn)了大單元教學(xué)的思路，

3.4 回顧總結(jié)，提煉思想

通過(guò)本節(jié)課的復(fù)習(xí)，你對(duì)本章內(nèi)容有哪些新的理解？請(qǐng)學(xué)生回顧總結(jié)，暢所欲言，教師適當(dāng)給予補(bǔ)充，完善本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并且提煉出研究幾何圖形的一般方法，如圖1所示.

4 反思與評(píng)價(jià)

4.1 問(wèn)題與活動(dòng)生成，串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)

基于大單元的復(fù)習(xí)課，可以考慮通過(guò)巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)，把本章的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整理和梳理.本節(jié)課巧妙地利用折紙這一活動(dòng)，幫助學(xué)生再現(xiàn)圖形，整合有關(guān)圖形的基本知識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).同時(shí)，在這一過(guò)程中，還生成了新的問(wèn)題，師生再一起解決問(wèn)題.這培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的能力[2].

4.2 結(jié)構(gòu)化教學(xué)，并聯(lián)研究方法

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問(wèn)題本身更重要.”教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該更加注重對(duì)學(xué)生研究方法的指導(dǎo).以平行四邊形這一章為例，教師更應(yīng)該突出研究幾何圖形的一般方法.從學(xué)習(xí)過(guò)程上來(lái)說(shuō)，可以從圖形的定義、性質(zhì)、判定和應(yīng)用展開(kāi)學(xué)習(xí)；從關(guān)注的元素來(lái)看，可以研究圖形的邊、角、對(duì)角線；從研究的方法上來(lái)說(shuō)，可以運(yùn)用觀察、猜想、證明、從特殊到一般等方法.以后學(xué)生遇到圖形的章節(jié)，他們也會(huì)用這樣的方法來(lái)學(xué)習(xí)，從而更有利于他們理解知識(shí)，形成更加穩(wěn)定的知識(shí)體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu).

4.3多措并舉，深化思維

這節(jié)課除了大單元結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)外，還有一個(gè)亮點(diǎn)，就是通過(guò)復(fù)習(xí)引出了正方形的“半角模型”.以往在講“半角模型”的時(shí)候，總是通過(guò)例題來(lái)引入，而這次是通過(guò)折疊的情境創(chuàng)設(shè)，一步步推進(jìn)到\"半角模型”，可以說(shuō)是自然生成的.學(xué)生通過(guò)“半角模型”的發(fā)現(xiàn)、猜想、證明以及應(yīng)用，體會(huì)到了數(shù)學(xué)中的建模思想.整個(gè)教學(xué)過(guò)程從表層分析深人到深度分析，激發(fā)了學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)造力，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)課鞏固提高以及再生成的多重價(jià)值.

5結(jié)語(yǔ)

總之，本節(jié)課應(yīng)用了大單元結(jié)構(gòu)化的復(fù)習(xí)課模式，通過(guò)折紙的教學(xué)構(gòu)思，以學(xué)生的問(wèn)題探究為基石，借助問(wèn)題的生成、變式，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課梳理和建構(gòu)了知識(shí)體系，使學(xué)生感悟了數(shù)學(xué)思想、積累了研究幾何圖形的經(jīng)驗(yàn)以及體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)，最終達(dá)到提升學(xué)生幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]陳元云，邢成云.大單元背景下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（5）：42-45.