揭秘“隱形圓”的四種模型

圓是平面幾何問題的重要內(nèi)容，也是中考的命題熱點(diǎn).中考對圓的考查具有一定的靈活性與隱秘性，有些問題看似與圓無關(guān)，卻暗藏著“隱形圓”，這往往是解題的切入口.只要讓“隱形圓”浮出水面，并運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)，問題便可迎刃而解，俗話說，萬事萬物都有規(guī)律可循.“隱形圓”亦如此.本文介紹四種隱形圓模型，供大家參考.

1 定點(diǎn)定長模型

當(dāng)題目中出現(xiàn)共端點(diǎn)、等線段時，一般可利用圓的定義構(gòu)造輔助圓（隱形圓），共端點(diǎn)的那個點(diǎn)就是圓心，等線段的長度就是圓的半徑.

例1如圖1，在四邊形ABCD中， .AB=AC= AD ∠BAD=140^° ∠BDC=50^° ，則 ∠DBC= （ ）（A） 30^° .（B） 25^° ， （C）20^° ： （D）15^°

分析首先根據(jù) AB=AC=AD 得到點(diǎn) ^B，C ，D 三點(diǎn)在以點(diǎn) A 為圓心的圓上，然后根據(jù) ∠BDC= 50^° 得到 ∠BAC=2∠BDC=2×50^°=100^° ，利用圓周角定理即可求解.

解因?yàn)?AB=AC=AD ，所以點(diǎn) 三點(diǎn)在以點(diǎn) A 為圓心 AB，AC ，AD 為半徑的圓上，如圖2所示.因?yàn)?∠BDC=50^° ，所以 ∠BAC=2∠BDC=2×50^°=100^° 0因?yàn)?∠BAD=140^° .

所以 ∠DCA=40^°

所以 故選（C）.

2 90^° 圓周角模型

依據(jù)“圓中直徑所對的圓周角是直角”，當(dāng)題目中出現(xiàn) 90^° 的角時，角的頂點(diǎn)必在一個圓上，該角的對邊就是圓的直徑，據(jù)此可以作出輔助圓（隱形圓）.

例2如圖 3，ΔABC 中， ∠C=90^° ∠BAC= 0^°，AB=2 ，點(diǎn) P 從 C 點(diǎn)出發(fā)，沿 CB 運(yùn)動到點(diǎn) B 停止，過點(diǎn) B 作射線 AP 的垂線，垂足為 Q ，點(diǎn) Q 運(yùn)動的路徑長為

分析由 AQ⊥BQ ，得點(diǎn) Q 在以 AB 為直徑的?O 上運(yùn)動，運(yùn)動路徑為 ，連接 ，代入弧長公式即可計(jì)算.

解因?yàn)?AQ⊥BQ，∠C=90^° 所以ACQB四點(diǎn)共圓，

所以點(diǎn) Q 在以AB為直徑的 ?O 上運(yùn)動，運(yùn)動路徑為 ，連接 ，如圖4.

因?yàn)?∠C=90^° OA=OB ，所以 CO=OA=1 ，所以 的長為 0

故答案為 號

3定弦定角模型

依據(jù)圓的性質(zhì)，固定的線段只要對應(yīng)固定的角度，那么這個角的頂點(diǎn)軌跡為圓的一部分.據(jù)此可以發(fā)現(xiàn)\"隱形圓”

例3如圖5，在矩形 ABCD 中，點(diǎn) E 在 BC 邊上，點(diǎn) H 在 CD 邊上， ∠EAH=45^°， CG 是矩形的外角 ∠DCF 的平分線， ∠AEG=90^° ，連接 HG，AB= 5，HG=3，∠GHC=∠BAE ，則 EG 的長是

分析連接 HE ，推出 ∠GHC=∠GEC ，利用四點(diǎn)共圓得到 ∠HGE=∠HCE=90^°，∠HEG= ∠HCG ，可推出 ∠HEG=∠HCG=45^° ，由此得到EG 的長.

解連接 HE ，如圖6.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以 ∠B=∠BCD=∠DCF=90^° 因?yàn)?∠AEG=90^° ，

所以 ∠GEC=90^°-∠AEB=∠BAE 因?yàn)?∠GHC=∠BAE ，

所以 ∠GHC=∠GEC .

所以點(diǎn) E，C，G，H 四點(diǎn)共圓，

所以 ∠HGE=∠HCE=90^°

∠HEG=∠HCG

因?yàn)?CG 平分 ∠DCF ，

所以 ∠HCG=∠GCF=45^°

所以 ∠HEG=∠HCG=45^° 0

所以 ∠EHG=∠HEG=45^°

所以 EG=GH=3 ，

故答案為3.

對角互補(bǔ)模型

當(dāng)題目中出現(xiàn)四邊形，且四邊形的對角互補(bǔ)時，則四邊形的四個頂點(diǎn)必在同一個圓上，據(jù)此可以作出輔助圓（隱形圓）.

例4如圖 7，AB=AD=6，∠A=60^° ，點(diǎn) C 在內(nèi)部，且 ∠A+∠C=180^° ，則四邊形ABCD面積的最大值為

分析 連接 BD ，取 BD 的中點(diǎn) N ，連接 CN ，

AN ，證明 ΔABD 是等邊三角形，求出 ，要使四邊形ABCD的面積最大，只需ΔBCD 的面積最大.證明 A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，得出當(dāng) CN⊥BD 時， ΔBCD 取得最大面積，此時BN=DN=3 ∠BCD=180^°-60^°=120^° ，求出S△BCD BD·CN=3√3，最后求出結(jié)果即可.

解如圖15，連接 BD ，取 BD 的中點(diǎn) N ，連接

CN，AN ，因?yàn)?∠AD=AB=6，∠BAD=60^°， 所以 ΔABD 是等邊三角形所以 BD=6，AN⊥BD ， 所以 ，所以 所以要使四邊形ABCD的面積最大，只需

ΔBCD 的面積最大.因?yàn)?∠BAD+∠BCD=180^° 所以 A∨，B∨C，D 四點(diǎn)共圓，所以當(dāng) CN⊥BD 時， ΔBCD 取得最大面積，此時 BN=DN=3 ，∠BCD=180^°-60^°=120^° ，又因?yàn)?CN⊥BD ，所以 ∠DCN=60^° ，所以 此時S△BCD 所以四邊形 ABCD 面積的最大值為

·故答案為 ·