巧用整體思維，妙求分式的值

整體思維，即整體思想，就是從問(wèn)題的整體入手，注重對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和構(gòu)建，把問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征有意識(shí)地用到解題中去，從而達(dá)到提高解題效率，減少計(jì)算量，優(yōu)化解題過(guò)程的目的.整體思想，是一種十分重要的思想方法，在解題中有著廣泛的應(yīng)用.

1 整體代入

先把待求分式中的某幾個(gè)部分看成整體，利用已知條件求出這些整體的值，然后通過(guò)整體代入求出分式的值.整體代入法，可以規(guī)避解方程，讓解決問(wèn)題更快捷.

例1 已知 ，則 的1值為

解析 由 知， x≠0 ，1

所以

所以 0

所以 0

所以

所以 ·

因?yàn)?

所以 故答案為： 業(yè)

2 整體變形

代數(shù)解題的本質(zhì)就是變形，而整體變形更顯優(yōu)越性.所謂整體變形，就是根據(jù)已知條件，將待求分式整體恒等變形，最終變成一個(gè)與已知條件相關(guān)的“式子”，在整體變形過(guò)程中，需注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，以及合理運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算公式.

例2記 (1-x2）(1-y2），若a+b+c=abc ，則

解析 根據(jù)題意，可知 _{a，b，c} 均不為 0 因?yàn)? 所以 A=A_ab+A_bc+A_ca

因?yàn)?a+b+c=abc ，所以A=C-a2c-b2c+a2b2c

c-a2c-b2c+a2b2c+a-c2a-b2a+abc

b2c2a+b-c2b-a2b+c2a2b(a+b+c)-a2c-b2c+ab(a+b+c)-abc

c2a-b2a+bc(a+b+c)-c2b-a2b+ca(a+b+c)abc-a2c-b2c+a2b+ab2+abc-c2a-b2a+abc

故答案為：4.

3 整體設(shè)元

整體設(shè)元，也叫換元法，就是將某個(gè)“式子”當(dāng)成一個(gè)整體，并用其他字母來(lái)替代，其目的就是消元、化簡(jiǎn)或改變代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，此法往往能收到“以簡(jiǎn)馭繁，化生為熟”的效果.

例3 已知 則 的值為

解析 設(shè) 因?yàn)? ，

所以 m+n+t=1

因?yàn)?

所以 .

所以 ，

所以 nt+mt+mn=0 所以 (m+n+t)²-2(mn+nt+mt)=1²-0=1. 故答案為：1.

4整體建構(gòu)

整體建構(gòu)，就是將已知條件或待求分式重新建構(gòu)，如將幾個(gè)條件等式相加或相乘，對(duì)待求分式實(shí)施添項(xiàng)或拆項(xiàng)的“手術(shù)”使其發(fā)生整體變化等.整體構(gòu)建的思維層次較高，要求我們不僅具有敏銳的觀察力，即能“識(shí)破”已知條件與待求分式之間的聯(lián)系，還要有不畏艱難險(xiǎn)阻越戰(zhàn)越勇的解題毅力，只有這樣，才能有所發(fā)現(xiàn)，從而整體構(gòu)建出一個(gè)與待求分式“匹配”的式子，進(jìn)而利用這個(gè)式子解決問(wèn)題.這種方法具有前瞻性與預(yù)見(jiàn)性，是一種較為高級(jí)的數(shù)學(xué)思維.

例4 已知 那么 ）

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

解析 三式相加得 三式相乘得 （20所以 ，故 xyz=1 故選(A).